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均值定理

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均值定理

相關條目微積分學

微積分學
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函數 · 導數 · 微分 · 積分

實分析中,均值定理(mean value theorem)描述了連續光滑曲線在兩點之間的光滑性:

f(x)為連續且光滑,任取其上兩點(a, f(a))(b, f(b))a < b,那麼在這兩端點之間必定存在一點(c, f(c)), a < c < b,其切線斜率f'(c)等於該二端點割線的斜率:f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}。連續函數任二點之間的連續性,則由介值定理來描述。


均值定理包括微分均值定理積分均值定理

微分均值定理[編輯]

微分均值定理分為羅爾均值定理拉格朗日均值定理柯西均值定理,又(統)稱為微分學基本定理有限改變數定理有限增量定理,是微分學的基本定理之一,內容是說一段連續光滑曲線中必然有一點,它的斜率與整段曲線平均斜率相同(嚴格的數學表達參見下文)。

羅爾均值定理[編輯]

羅爾定理的幾何意義

如果函數f(x)滿足

  1. 在閉區間[a,b]連續
  2. 在開區間(a,b)內可導;
  3. 在區間端點處的函數值相等,即f(a)=f(b)

那麼在(a,b)內至少有一點\xi (a<\xi<b),使得f^\prime(\xi)=0。這個定理稱為羅爾定理

拉格朗日均值定理及正式敘述[編輯]

拉格朗日均值定理的幾何意義

f:[a,b]\rightarrow \mathbf R為閉區間[a,b]上的一個連續函數,且在開區間(a,b)可導,其中a<b那麼在(a,b)上存在某個c使得

f ' (c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

此定理稱為拉格朗日均值定理拉格朗日均值定理羅爾均值定理的推廣,同時也是柯西均值定理的特殊情形。

這個定理在一個更一般的條件下仍然成立。只需假設f:[a,b]\rightarrow \mathbf R[a,b] 連續,那麼在(a,b)內對任意x極限

\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

存在,為一個有限數字或者等於+∞或−∞.如果有限,則極限等於f(x).定理的這個版本的應用的一個例子由從xx^{1/3}的實值三次方根函數映射給出,其導數在原點趨於無窮。

注意若一個可導函數是複變量的而不是實變數的,上面敘述的這個定理就不正確了。例如,對全部實數x定義f(x)=e^{ix}。那麼

f(2\pi)-f(0)=0=0(2\pi - 0)

|f'(x)| = 1時。

柯西均值定理[編輯]

柯西均值定理,也叫拓展均值定理,是均值定理的一般形式。它敘述為:如果函數fg都在閉區間[a,b]上連續,且在開區間(a, b)上可導,那麼存在某個c ∈ (a,b),使得

柯西定理的幾何意義
(f(b)-f(a))g\,'(c)=(g(b)-g(a))f\,'(c).\,

當然,如果g(a) ≠ g(b)並且g′(c) ≠ 0,這等價於:

\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot

在幾何上,這表示曲線

\begin{array}{ccc}[a,b]&\longrightarrow&\mathbb{R}^2\\t&\mapsto&\bigl(f(t),g(t)\bigr),\end{array}

的圖像存在平行於由(f(a),g(a))和(f(b),g(b))確定的直線的切線。但柯西定理不能表明在任何情況下不同的兩點(f(a),g(a))和(f(b),g(b))都存在切線,因為可能存在一些c值使f′(c) = g′(c) = 0,換句話說取某個值時位於曲線的駐點;在這些點似乎曲線根本沒有切線。下面是這種情形的一個例子

t\mapsto(t^3,1-t^2),

在區間[−1,1]上,曲線由(−1,0)到(1,0),卻並無一個水平切線;然而它有一個駐點(實際上是一個尖點)在t = 0時。

柯西均值定理可以用來證明羅必達法則. (拉格朗日)均值定理是柯西均值定理當g(t) = t時的特殊情況。

積分均值定理[編輯]

積分均值定理分為積分第一均值定理積分第二均值定理,它們各包含兩個公式。其退化狀態均指在ξ的變化過程中存在一個時刻使兩個圖形的面積相等(嚴格表述在下面)。

積分第一均值定理[編輯]

f:[a,b]\rightarrow \mathbb R為一連續函數,g:[a,b]\rightarrow \mathbb R要求g(x)是可積函數且在積分區間不變號,那麼存在一點\xi\in [a,b]使得

\int_a^b f(x)g(x)\,dx= f(\xi)\int_a^b g(x)\,dx

證明[編輯]

在不失去一般性的條件下,設對所有xg(x)≥0; 因為f是閉區間上的連續函數,f取得最大值M和最小值m。於是

mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)。對不等式求積分,我們有
m\int_a^b g(x)\,dx\leq \int_a^b f(x)g(x)\,dx \leq M\int_a^b g(x)\,dx。若\int_a^b g(x)\,dx=0,則\int_a^b f(x)g(x)\,dx=0\xi可取[a,b]上任一點。

若不等於零那麼\int_a^b g(x)\,dx>0

m\leq \frac{\int_a^b f(x)g(x)\,dx}{\int_a^b g(x)\,dx}\leq M 。因為m\leq f(x)\leq M是連續函數,則必存在一點\xi\in [a,b],使得
f(\xi)= \frac{\int_a^b f(x)g(x)\,dx}{\int_a^b g(x)\,dx}

g(x)<0的情況按同樣方法證明。

積分第一均值定理推論的幾何意義

推論(拉格朗日均值定理的積分形式)[編輯]

在上式中令g(x)=1,則可得出:

f:[a,b]\rightarrow \mathbf R為一連續函數,則∃\xi \in [a,b],使

f(\xi)= \frac{\int_a^b f(x)\,dx}{b-a}

它也可以由拉格朗日均值定理推出:

F(x)[a,b]上可導,f(x)=F^\prime(x),則∃\xi \in [a,b],使

f(\xi) = F^\prime(\xi)= \frac{F(b)-F(a)}{b-a} = \frac{\int_a^b f(x)\,dx}{b-a}

積分第二均值定理[編輯]

積分第二均值定理與積分第一均值定理相互獨立,卻又是更精細的積分均值定理。它可以用來證明Dirichlet-Abel反常Rieman積分判別法

內容[編輯]

若f,g在[a,b]上黎曼可積且f(x)在[a,b]上單調,則存在[a,b]上的點ξ使

\int\limits_a^b {f(x)g(x)dx = } f(a)\int\limits_a^\xi  {g(x)dx + } f(b)\int\limits_\xi ^b {g(x)dx}

退化態的幾何意義[編輯]

第二積分均值定理退化形式的幾何意義

令g(x)=1,則原公式可化為:

\int\limits_a^b {f(x)dx}=f(a)(\xi-a)+f(b)(b-\xi)

進而導出:

\int\limits_a^\xi {f(x)dx}-f(a)(\xi-a)=f(b)(b-\xi)-\int\limits_\xi^b {f(x)dx}

此時易得其幾何意義為: 能找到ξ∈[a,b],使得S[紅]+S[藍]=S[陰影],即S[I]=S[II]

參見[編輯]