二次方程

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二次方程是一種整式方程,主要特點是未知項的最高次數是2,其中最常見的是一元二次方程[1]

一元二次方程[編輯]

表達式[編輯]

一元二次方程是指只含有一個未知數的二次方程,它的基本表達式為:ax^2+bx+c=0\, 其中 (a\ne 0)。a為方程的二次項係數b\,為一次項係數,c\,常數。若a=0\,,則該方程沒有二次項,即變為一次方程

判別式[編輯]

32x2+12x43
43x2+43x13
x2+12

 \Delta=b^2-4ac\,

方程的根和判別式的關係[編輯]

\Delta>0\,,該方程有兩個不相等的實數根: x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

\Delta=0\,,該方程有兩個相等的實數根: x_{1,2} = \frac{-b}{2a}

\Delta<0\,,該方程有兩個共軛虛數根: x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{4ac-b^2}i}{2a} ,其中i=\sqrt{-1},為虛數單位

根與係數的關係[編輯]

x_1\,x_2\,是一元二次方程 ax^2+bx+c=0\, 的兩根,那麼

(兩根之和)x_1+x_2=-\frac{b}{a},(兩根之積)x_1x_2=\frac{c}{a}

求根公式的由來[編輯]

中亞細亞花拉子米 (約780-約850) 在公元820年左右出版了《代數學》。書中給出了一元二次方程的求根公式,並把方程的未知數叫做「根」,其後譯成拉丁文radix

我們通常把 x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} 稱之為 ax^2+bx+c=0\, 的求根公式:


\begin{align}
ax^2+bx+c&=0 \\
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}&=0 \\
x^2+\frac{b}{a}x+\left (\frac{b}{2a}  \right )^2-\left (\frac{b}{2a}  \right )^2+\frac{c}{a}&=0 \\
\left (x+\frac{b}{2a}  \right )^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}&=0 \\
\left (x+\frac{b}{2a}  \right )^2&=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a} \\
\left (x+\frac{b}{2a}  \right )^2&=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \\
x+\frac{b}{2a}&=\frac{\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\
x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{align}

或不將x^2係數化為1:


\begin{align}
ax^2+bx+c&=0 \\
ax^2+bx+ \left (\frac{b}{2\sqrt{a}} \right)^2&=\left (\frac{b}{2\sqrt{a}} \right)^2 - c \\
\left (x\sqrt{a}+\frac{b}{2\sqrt{a}} \right)^2&=\left (\frac{b}{2\sqrt{a}} \right)^2 - c \\
x\sqrt{a}+\frac{b}{2\sqrt{a}}&=\pm\sqrt{\left (\frac{b}{2\sqrt{a}} \right)^2 - c} \\
x\sqrt{a}+\frac{b}{2\sqrt{a}}&=\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a} - c} \\
x+\frac{b}{2a}&=\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}} \\
x+\frac{b}{2a}&=\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2}} \\
x&=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \\
x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{align}

極值[編輯]

極值的公式[編輯]

y=ax^2+bx+c\,
將其求導,可得出

\frac{\mathop{\mbox{d}}y}{\mathop{\mbox{d}}x} = 2ax+b

\frac{\mathop{\mbox{d}}y}{\mathop{\mbox{d}}x}=0,可得 x\,y\, 中的極值極大值極小值x_e\,滿足:


\begin{align}
2ax_e+b&=0 \\
x_e&=-\frac{b}{2a}
\end{align}

x_e=-\frac{b}{2a} 代入 y\,,可得 y\, 的極值 y_e\,


\begin{align}
y_e&=a(-\frac{b}{2a})^2+b(-\frac{b}{2a})+c \\
y_e&=\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}+c \\
y_e&=\frac{b^2-2b^2}{4a}+c \\
y_e&=-\frac{b^2}{4a}+c
\end{align}

極值的類型[編輯]

由函數取極值的充分條件可知:
f''(x_e)<0\,x_e\,f(x)\,極大值點
f''(x_e)>0\,x_e\,f(x)\,極小值點
f''(x_e)=0\,x_e\,f(x)\,拐點)。

\frac{\mathop{\mbox{d}}^2y}{\mathop{\mbox{d}}x^2}=2a可知:
a<0\,y\, 的極值y_e\,為極大值;
a>0\,y\, 的極值y_e\,為極小值;
a=0\,y\, 並非二次函數。
所以二次函數亦沒有拐點(反曲點)。

參見[編輯]


參考[編輯]

  1. ^ 一般二次方程的討論