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二埠網路

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圖1:一個定義了符號的二埠網路。請注意埠條件:相同的電流從同一埠流入併流出。

二埠網路英語two-port network)又稱雙埠網路雙口網路,是四端子網路四端網路)的一種,是具有2個埠的電路或裝置,埠與電路內部網路相連接。一個埠由2個端子組成,當這2個端子滿足埠條件,即一個端子流入的電流等於另一個端子流出的電流時,則這2個端子就構成了一個埠,換句話說,也就是相同的電流從同一埠流入併流出。[1][2]二埠網路的實例包括三極體的小訊號模型(如混合π模型)、電子濾波器以及阻抗匹配網路。被動二埠網路的分析是互易定理的副產物,最初由洛倫茲提出[3]

二埠網路能將電路的整體或一部分用它們相應的外特性參數來表示,而不用考慮其內部的具體情況,這樣被表示的電路就成為具有一組特殊性質的「黑箱」,從而就能抽象化電路的物理組成,簡化分析。任意具有4個端子的線性電路都可以變換成二埠網路,且滿足不含獨立源的條件和埠條件。

描述二埠網路的參數不只有一組,常用的幾組參數是分別為阻抗參數Z、導納參數Y、混合參數h、g和傳輸參數,每組參數都在下文中有描述。這幾組參數只能用於線性網路,因為它們導出的條件是假定任何給定的電路情況都是各種短路和開路情況的線性疊加。這幾組參數通常用矩陣表示法表示,通過以下變數建立關係:

V_{1} \,{=}\, {} 輸入電壓
V_{2} \,{=}\, {} 輸出電壓
I_{1} \,{=}\, {} 輸入電流
I_{2} \,{=}\, {} 輸出電流

如圖1所示。這些電流電壓變數在低頻到中頻情況下是非常有用的。在高頻情況下(如微波頻率),使用功率能量變數會更合適,這時二埠電流-電壓法就應該由基於散射參數英語Scattering parametersS的方法代替。

請注意,四端子網路(four-terminal network)等同於四端網路(quadripole,注意與四極子英語quadrupole(quadrupole)區分),但不等同於二埠網路,因為只有2個端子滿足流入一個端子的電流等於流出另一個端子的電流時,即滿足埠條件時,才能稱這2個端子為一個,而四端子網路的端子可能無法滿足埠條件。因此對於一個四端子網路,只有當連接到其內部電路的2對端子滿足埠條件時,這個四端子網路才是一個二埠網路。[1][2]

一般性質[編輯]

二埠網路具有若干常用於實際網路中的特定性質,能大大簡化分析。這些性質包括:

  • 互易網路:在埠1上加一個電流,在埠2上產生相應的電壓;在埠2上加與前者相同的電流,在埠1上產生相應的電壓。若兩個埠產生的電壓相等,則稱二埠網路是互易的。將上述的電流和電壓交換,所描述的定義與上述定義是等價的。另一種表述方式與上述定義等價,內容為:埠1的電壓除以埠2的短路電流之商等於埠2的電壓除以埠1的短路電流之商,則稱二埠網路是互易的。通常,若組成網路的元件都是線性無源元件(電阻、電容和電感),則這個網路是互易的;若網路包含主動元件(如電晶體、集成運放、發生器、數位電路器件等),則網路不是互易的。另外,含有受控源的二埠網路一般不具有互易性。[4]互易二埠網路的各組參數滿足:
    • \textstyle \mathbf{Z}^\mathrm{T} = \mathbf{Z}\textstyle Z_{12} = Z_{21}
    • \textstyle \mathbf{Y}^\mathrm{T} = \mathbf{Y}\textstyle Y_{12} = Y_{21}
    • \textstyle h_{12} = -h_{21}
    • \textstyle g_{12} = -g_{21}
    • \textstyle \det(\mathbf{A}) = 1\textstyle AD-BC=1
    • \textstyle \mathbf{S} = \mathbf{S}^\mathrm{T}\quad S_{12} = S_{21}
  • 對稱網路:若一個網路的輸入阻抗等於輸出阻抗,則這個網路是電力對稱的。對稱網路一定是互易網路,但互易網路不一定是對稱網路。大多數情況下,對稱網路也是物理對稱的,不過這不是必要條件。這類網路的輸入和輸出阻抗是互逆的。有時,反對稱網路也是可以利用的性質。[5]對稱二埠網路的各組參數滿足:
    • \textstyle Z_{12} = Z_{21}, \quad Z_{11} = Z_{22}
    • \textstyle Y_{12} = Y_{21}, \quad Y_{11} = Y_{22}
    • \textstyle h_{12} = -h_{21}, \quad \det(\mathbf{H}) = 1
    • \textstyle g_{12} = -g_{21}, \quad \det(\mathbf{G}) = 1
    • \textstyle \det(\mathbf{A}) = 1, \quad a_{11} = a_{22}\textstyle AD-BC=1, \quad A=D
    • \textstyle S_{12} = S_{21}, \quad S_{11} = S_{22}
  • 無耗網路:無耗網路是不包含電阻或其他耗能元件的網路。[6]互易網路反映網路的電磁對稱性,而無耗網路反映網路的能量對稱性。無耗二埠網路的各組參數滿足:[7][8]
    • 非互易無耗網路滿足\textstyle \operatorname{Re}(\mathbf{Z})^\mathrm{T} = - \operatorname{Re}(\mathbf{Z}), \quad \operatorname{Im}(\mathbf{Z})^\mathrm{T} = \operatorname{Im}(\mathbf{Z}),其中Re(Z)為電阻矩陣,Im(Z)為電抗矩陣;互易無耗網路滿足\textstyle \operatorname{Re}(Z_{ij}) = 0 \quad (i,j=1,2)
    • 非互易無耗網路滿足\textstyle \operatorname{Re}(\mathbf{Y})^\mathrm{T} = - \operatorname{Re}(\mathbf{Y}), \quad \operatorname{Im}(\mathbf{Y})^\mathrm{T} = \operatorname{Im}(\mathbf{Y}),其中Re(Y)為電導矩陣,Im(Y)為電納矩陣;互易無耗網路滿足\textstyle \operatorname{Re}(Y_{ij}) = 0 \quad (i,j=1,2)
    • 非互易無耗網路滿足 \textstyle |\det(\mathbf{A})| = 1(似互易性,推廣到2n埠非互易無耗網路仍存在此性質);互易無耗網路滿足\textstyle \operatorname{Re}(a_{ij}) = 0 \quad (i,j=1,2, i \neq j), \quad \operatorname{Im}(a_{ij}) = 0 \quad (i,j=1,2, i = j)
    • 無論網路互易與否,\textstyle \mathbf{S^*S = I},其中S*為S的共軛轉置,I為單位矩陣,此關係表明無耗網路的S矩陣是酉矩陣。若網路有耗,則\Sigma\left|a_n\right|^2 > \Sigma\left|b_n\right|^2\,\mathbf{I-S^*S}\,正定矩陣

參數轉換[編輯]

  阻抗矩陣\mathbf{Z} 導納矩陣\mathbf{Y} 混合矩陣\mathbf{H} 第二類混合矩陣\mathbf{G} 傳輸矩陣\mathbf{A}
\mathbf{Z} \begin{bmatrix} Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{Y_{22}}{\det(\mathbf{Y})} & \frac{-Y_{12}}{\det(\mathbf{Y})} \\ \frac{-Y_{21}}{\det(\mathbf{Y})} & \frac{Y_{11}}{\det(\mathbf{Y})} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\det(\mathbf{H})}{h_{22}} & \frac{h_{12}}{h_{22}} \\ \frac{-h_{21}}{h_{22}} & \frac{1}{h_{22}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{g_{11}} & \frac{-g_{12}}{g_{11}} \\ \frac{g_{21}}{g_{11}} & \frac{\det(\mathbf{G})}{g_{11}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{a_{11}}{a_{21}} & \frac{\det(\mathbf{A})}{a_{21}} \\ \frac{1}{a_{21}} & \frac{a_{22}}{a_{21}} \end{bmatrix}
\mathbf{Y} \begin{bmatrix} \frac{Z_{22}}{\det(\mathbf{Z})} & \frac{-Z_{12}}{\det(\mathbf{Z})} \\ \frac{-Z_{21}}{\det(\mathbf{Z})} & \frac{Z_{11}}{\det(\mathbf{Z})} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Y_{11} & Y_{12} \\ Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{h_{11}} & \frac{-h_{12}}{h_{11}} \\ \frac{h_{21}}{h_{11}} & \frac{\det(\mathbf{H})}{h_{11}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\det(\mathbf{G})}{g_{22}} & \frac{g_{12}}{g_{22}} \\ \frac{-g_{21}}{g_{22}} & \frac{1}{g_{22}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{a_{22}}{a_{12}} & \frac{-\det(\mathbf{A})}{a_{12}} \\ \frac{-1}{a_{12}} & \frac{a_{11}}{a_{12}} \end{bmatrix}
\mathbf{H} \begin{bmatrix} \frac{\det(\mathbf{Z})}{Z_{22}} & \frac{Z_{12}}{Z_{22}} \\ \frac{-Z_{21}}{Z_{22}} & \frac{1}{Z_{22}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{Y_{11}} & \frac{-Y_{12}}{Y_{11}} \\ \frac{Y_{21}}{Y_{11}} & \frac{\det(\mathbf{Y})}{Y_{11}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} h_{11} & h_{12} \\ h_{21} & h_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{g_{22}}{\det(\mathbf{G})} & \frac{-g_{12}}{\det(\mathbf{G})} \\ \frac{-g_{21}}{\det(\mathbf{G})} & \frac{g_{11}}{\det(\mathbf{G})} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{a_{12}}{a_{22}} & \frac{\det(\mathbf{A})}{a_{22}} \\ \frac{-1}{a_{22}} & \frac{a_{21}}{a_{22}} \end{bmatrix}
\mathbf{G} \begin{bmatrix} \frac{1}{Z_{11}} & \frac{-Z_{12}}{Z_{11}} \\ \frac{Z_{21}}{Z_{11}} & \frac{\det(\mathbf{Z})}{Z_{11}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\det(\mathbf{Y})}{Y_{22}} & \frac{Y_{12}}{Y_{22}} \\ \frac{-Y_{21}}{Y_{22}} & \frac{1}{Y_{22}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{h_{22}}{\det(\mathbf{H})} & \frac{-h_{12}}{\det(\mathbf{H})} \\ \frac{-h_{21}}{\det(\mathbf{H})} & \frac{h_{11}}{\det(\mathbf{H})} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{a_{21}}{a_{11}} & \frac{-\det(\mathbf{A})}{a_{11}} \\ \frac{1}{a_{11}} & \frac{a_{12}}{a_{11}} \end{bmatrix}
\mathbf{A} \begin{bmatrix} \frac{Z_{11}}{Z_{21}} & \frac{\det(\mathbf{Z})}{Z_{21}} \\ \frac{1}{Z_{21}} & \frac{Z_{22}}{Z_{21}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{-Y_{22}}{Y_{21}} & \frac{-1}{Y_{21}} \\ \frac{-\det(\mathbf{Y})}{Y_{21}} & \frac{-Y_{11}}{Y_{21}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{-\det(\mathbf{H})}{h_{21}} & \frac{-h_{11}}{h_{21}} \\ \frac{-h_{22}}{h_{21}} & \frac{-1}{h_{21}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{g_{21}} & \frac{g_{22}}{g_{21}} \\ \frac{g_{11}}{g_{21}} & \frac{\det(\mathbf{G})}{g_{21}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}

其中\mathbf{Y} = \mathbf{Z}^{-1} \,\mathbf{G} = \mathbf{H}^{-1} \,

散射參數(S參數)一般通過直接測量得到,但也可通過與其他參數相互轉換導出,下面舉出S參數與其他參數的轉換公式示例。

電路變換[編輯]

等效電路[編輯]

T形等效電路
Π形等效電路
  • T形等效電路:選用阻抗參數Z可以非常容易地計算這種等效電路,注意對於互易網路,圖中的受控電壓源不存在。
  • Π形等效電路:選用導納參數Y可以非常容易地計算這種等效電路,注意對於互易網路,圖中的受控電流源不存在。

輸入、輸出阻抗和電流、電壓增益[編輯]

輸入阻抗Zin、輸出阻抗Zout、電流增益KI、電壓增益KV分別定義為: 
Z_{in}=\frac{V_1}{I_1}; \qquad
Z_{out}=\frac{V_2}{I_2}; \qquad
K_{I}=\frac{I_2}{I_1}; \qquad
K_{V}=\frac{V_2}{V_1}

阻抗參數Z\, 導納參數Y\, 混合參數h\, 第二類混合參數g\,

Z_{in}=\frac{\det(\mathbf{Z}) + Z_{11} Z_L}{Z_{22}+Z_L}

Z_{out}=\frac{\det(\mathbf{Z}) + Z_{22} Z_S}{Z_{22}+Z_S}

K_{I}=\frac{-Z_{21}}{Z_{22}+Z_L }

K_{V}=\frac{Z_{21} Z_L}{\det(\mathbf{Z})+Z_{11} Z_L}

Z_{in}=\frac{ 1+Y_{22} Z_L }{Y_{11}+\det(\mathbf{Y}) Z_L}

Z_{out}=\frac{1+Y_{11} Z_S}{Y_{22}+\det(\mathbf{Y}) Z_S}

K_{I}=\frac{Y_{21}}{Y_{11}+ \det(\mathbf{Y}) Z_L }

K_{V}=\frac{-Y_{21} Z_L}{1+Y_{22} Z_L}

Z_{in}=\frac{h_{11}+\det(\mathbf{H}) Z_L}{1+h_{22} Z_L}

Z_{out}=\frac{h_{11}+Z_S}{\det(\mathbf{H})+h_{22} Z_S}

K_{I}=\frac{h_{21}}{1+h_{22} Z_L}

K_{V}=\frac{-h_{21} Z_L}{h_{11}+\det(\mathbf{H}) Z_L}

Z_{in}=\frac{g_{22}+Z_L}{\det(\mathbf{G})+g_{11} Z_L}

Z_{out}=\frac{g_{22}+\det(\mathbf{G}) Z_S}{1+g_{11} Z_S}

K_{I}=\frac{-g_{21}}{\det(\mathbf{G})+g_{11} Z_L }

K_{V}=\frac{g_{21} Z_L}{g_{22}+Z_L}

其中ZL是連接到埠2上的負載阻抗,ZS是連接到埠1上的電源阻抗。

阻抗參數(Z參數)[編輯]

圖2:Z參數等效的T形等效電路,其中I1I2為獨立變數。圖中的電阻表示一般的阻抗。

阻抗參數又稱開路阻抗參數,因為計算這一參數時電路滿足開路條件Ix=0(其中x = 1, 2,分別表示流過2個埠的輸入和輸出電流)。

一般形式的開路阻抗矩陣(Z參數矩陣)中,所有的輸出電壓都用Z參數矩陣和輸入電流表示,滿足如下矩陣方程:

\mathbf{V = Z I}

其中\mathbf{V}\mathbf{I}分別是n方陣\mathbf{V}_n\mathbf{I}_n。一般來說,開路阻抗矩陣中的元素都是複數和頻率函數。對於一埠網路,Z參數矩陣縮減為單元素矩陣,變成了2個端子間的普通阻抗

二埠網路的Z參數矩陣方程的具體形式如下,其中\begin{bmatrix} Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix}為二埠網路的開路阻抗矩陣(Z參數矩陣):

\begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \end{bmatrix}

其中

Z_{11} = {V_1 \over I_1 } \bigg|_{I_2 = 0} \qquad Z_{12} = {V_1 \over I_2 } \bigg|_{I_1 = 0}
Z_{21} = {V_2 \over I_1 } \bigg|_{I_2 = 0} \qquad Z_{22} = {V_2 \over I_2 } \bigg|_{I_1 = 0}

對於n埠網路,以上表達式可歸納為

Z_{ij} = {V_i \over I_j } \bigg|_{I_{k \neq j} = 0} \quad ( i,j,k = 1, 2, 3, \cdots , n )

Z參數矩陣中每一元素的單位均是歐姆

對於互易網路,\textstyle Z_{12} = Z_{21}。對於對稱網路,\textstyle Z_{11} = Z_{22}。對於互易無耗網路,所有的\textstyle Z_{ij}都是純虛數。[10]


射極退化的雙極型電流鏡[編輯]

圖3:雙極型電流鏡,RE是射極負回饋。i1 是基準電流,i2是輸出電流,小寫字母符號表明這些電流是包含直流分量的總電流。
圖4:小訊號雙極型電流鏡,RE是射極負回饋。I1是小訊號基準電流的幅值,I2是小訊號輸出電流的幅值。

圖3展示了一個雙極型電流鏡,射極接入電阻是為了增加電流鏡的輸出電阻。[注 1]電晶體Q1是二極體接法,也就是說其集極-基極電壓為零。圖4展示了一個與圖3電路等效的小訊號電路。電晶體Q1由其射極電阻rEVT / IEVT = 熱電壓IE = Q點射極電流)表示,這是因為Q1的混合π模型中的獨立電流源消耗的電流與rπ上跨接的電阻1 / gm消耗的電流相同,所以這樣簡化電路是可行的。第二個電晶體Q2用其混合π模型表示。表1列出的Z參數表達式使圖2中的Z參數等效電路與圖4中的小訊號電路成為電學等效電路。

表1 表達式 近似
R_{21} = \left. \frac{V_{2}}{I_{1} } \right|_{I_{2}=0}  -( \beta r_O - R_E ) \frac {r_E +R_E}{r_{ \pi}+r_E + 2R_E}  -\beta r_o \frac {r_E+R_E }{r_{\pi} + 2R_E}
 R_{11} = \left. \frac{V_{1}}{I_{1}} \right|_{I_{2}=0}  (r_E + R_E) \| (r_{\pi} +R_E)
  R_{22} = \left. \frac{V_{2}}{I_{2}} \right|_{I_{1}=0}     ( 1 + \beta \frac {R_E}{r_{\pi} + r_E + 2R_E } ) r_O + \frac { r_{ \pi}+r_E +R_E }{r_{ \pi}+r_E +2R_E } R_E      ( 1 + \beta \frac {R_E}{r_{ \pi}+2R_E}  ) r_O   
  R_{12} = \left. \frac{V_{1}}{I_{2}} \right|_{I_{1}=0} R_E  \frac {r_E+R_E} {r_{ \pi} +r_E +2R_E} R_E  \frac {r_E+R_E} {r_{ \pi} +2R_E}

電阻RE引入的負回饋在參數中有所體現。例如,當電流鏡在差分放大器中用作主動負載時,I1 ≈ -I2,這使得電流鏡的輸出阻抗近似為R22 -R21 ≈ 2 β rORE /( rπ+2RE ),但是如果未接入負回饋(即RE = 0 Ω),輸出阻抗僅為rO。同時,電流鏡基準測的阻抗近似為R11 − R12  \frac {r_{\pi}} {r_{\pi}+2R_E}    (r_E+R_E),僅是一個不大的值,但仍比無負回饋時的阻抗rE大。在差分放大器應用中,較大的輸出電阻可以增大差模電壓放大倍數,這是一個優點,而較小的電流鏡輸入電阻可以避免密勒效應,因此這也是一個優點。

導納參數(Y參數)[編輯]

圖5:Y參數等效的Π形等效電路,其中V1V2為獨立變數。圖中的電阻表示一般的導納。

導納參數又稱短路導納參數,因為計算這一參數時電路滿足短路條件Vx=0(其中x=1,2,分別表示2個埠上的輸入和輸出電壓)。

一般形式的短路導納參數(Y參數矩陣)中,所有的輸出電流都用Y參數矩陣和輸入電壓表示,滿足如下矩陣方程:

\mathbf{I = Y V}

其中\mathbf{I}\mathbf{V}分別是n方陣\mathbf{I}_n\mathbf{V}_n。一般來說,短路導納參數中的元素都是複數和頻率函數。對於一埠網路,Y參數矩陣縮減為單元素矩陣,變成了2個端子間的普通導納

二埠網路的Y參數矩陣方程的具體形式如下,其中\begin{bmatrix} Y_{11} & Y_{12} \\ Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix}為二埠網路的短路導納矩陣(Y參數矩陣):

\begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Y_{11} & Y_{12} \\ Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \end{bmatrix}

其中

Y_{11} = {I_1 \over V_1 } \bigg|_{V_2 = 0} \qquad Y_{12} = {I_1 \over V_2 } \bigg|_{V_1 = 0}
Y_{21} = {I_2 \over V_1 } \bigg|_{V_2 = 0} \qquad Y_{22} = {I_2 \over V_2 } \bigg|_{V_1 = 0}

對於n埠網路,以上表達式可歸納為

Y_{ij} = {I_i \over V_j } \bigg|_{V_{k \neq j} = 0} \quad ( i,j,k = 1, 2, 3, \cdots , n )

Y參數矩陣中每一元素的單位均是西門子

對於互易網路,\textstyle Y_{12} = Y_{21}。對於對稱網路,\textstyle Y_{11} = Y_{22}。對於互易無耗網路,所有的\textstyle Y_{ij}都是純虛數。[10]

混合參數(h參數)[編輯]

圖6:h參數等效的二埠網路,其中I1V2為獨立變數;h22取倒數以表示一個電阻。圖中的電阻表示一般的阻抗。

混合參數(h參數)又稱第一類混合參數。下式中的\begin{bmatrix} h_{11} & h_{12} \\ h_{21} & h_{22} \end{bmatrix}為二埠網路的混合矩陣(h參數矩陣,第一類混合矩陣)。

 \begin{bmatrix} V_1 \\ I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} h_{11} & h_{12} \\ h_{21} & h_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_1 \\ V_2 \end{bmatrix}

其中

h_{11} \,{=}\, \left. \frac{V_1}{I_1} \right|_{V_2 = 0} \qquad h_{12} \,{=}\, \left. \frac{V_1}{V_2} \right|_{I_1 = 0}
h_{21} \,{=}\, \left. \frac{I_2}{I_1} \right|_{V_2 = 0} \qquad h_{22} \,{=}\, \left. \frac{I_2}{V_2} \right|_{I_1 = 0}

對於互易網路,\textstyle h_{12} = -h_{21}。對於對稱網路,\textstyle \det(\mathbf{H}) = 1

當輸出端需要電流放大電路時,這種等效電路常被選用。請注意,混合參數矩陣的非對角線元素均為無量綱量,而對角線元素的量綱互為倒數。

三極體的h參數微變等效電路[編輯]

圖7:一般化的NPN型三極體的h參數微變等效電路x替換為ebc分別表示共射極、共基極或共集電極拓撲。
  • hix = hie:三極體的輸入阻抗(對應基極-射極動態電阻 rbe)。
  • hrx = hre: 代表VCE對應的三極體IBVBE曲線。此值通常非常小,而且常被忽略(假定為零)。
  • hfx = hfe:三極體的電流增益。此參數通常指數據手冊中的hFE或者直流電流增益(βDC)。
  • hox = hoe:三極體的輸出阻抗。這個量實際上是導納,通常需要將其轉換成阻抗

hixhrxhfxhox分別對應h11h12h21和1/h22

共基極放大器[編輯]

圖8:共基極放大器,交流電流源I1作為訊號輸入,V2是非特定負載支撐電壓,I2是受控電流。

表2中列出的公式使圖6中的電晶體與圖8中其相應的小訊號低頻混合π模型成為h參數等效電路。

圖8中:

  • rπ = 電晶體基極電阻
  • rO = 輸出電阻
  • gm = 跨導
表2 表達式 近似
h_{21} = \left. \frac{ I_{2} }{ I_{1} } \right|_{V_{2}=0}  -\frac{ \frac{\beta}{\beta+1} r_O + r_E }{ r_O+r_E }  -\frac{ \beta }{ \beta+1 }
h_{11}= \left. \frac{V_{1}}{I_{1}} \right|_{V_{2}=0}   r_E \| r_O r_E
  h_{22} = \left. \frac{I_{2}}{V_{2}} \right|_{I_{1}=0}   \frac {1}{ ( \beta +1) ( r_O +r_E) }  \frac {1}{ ( \beta +1)  r_O }
  h_{12} = \left. \frac{ V_{1} }{ V_{2} } \right|_{I_{1}=0} \ \frac{r_E}{r_E+r_O} \ \ \frac{r_E}{r_O} \ll 1 \

如上所示,h21為負,這是因為一般規定電流I1I2流入二埠的方向為正方向。h12為非零值表明輸出電壓對輸入電壓有影響,也就是說放大電路為雙向放大電路;若h12 = 0,則放大電路為單向放大電路。

第二類混合參數(g參數)[編輯]

圖9:g參數等效的二埠網路,其中V1I2為獨立變數;g11取倒數以表示一個電阻。圖中的電阻表示一般的阻抗。

下式中的\begin{bmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{bmatrix}為二埠網路的第二類混合矩陣(g參數矩陣)。

 \begin{bmatrix} I_1 \\ V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_1 \\ I_2 \end{bmatrix}

其中

g_{11} \,{=}\, \left. \frac{I_1}{V_1} \right|_{I_2 = 0} \qquad g_{12} \,{=}\, \left. \frac{I_1}{I_2} \right|_{V_1 = 0}
g_{21} \,{=}\, \left. \frac{V_2}{V_1} \right|_{I_2 = 0} \qquad g_{22} \,{=}\, \left. \frac{V_2}{I_2} \right|_{V_1 = 0}

對於互易網路,\textstyle g_{12} = -g_{21}。對於對稱網路,\textstyle \det(\mathbf{G}) = 1

當輸出端需要電壓放大電路時,這種等效電路常被選用。請注意,g參數矩陣的非對角線元素均為無量綱量,而對角線元素的量綱互為倒數。

共基極放大器[編輯]

圖10:共基極放大器,交流電壓源V1作為訊號輸入,I2是受控電壓V2上的非特定負載傳輸電流。

表3中列出的公式使圖9中的電晶體與圖10中其相應的小訊號低頻混合π模型成為h參數等效電路。

圖10中:

  • rπ = 電晶體基極電阻
  • rO = 輸出電阻
  • gm = 跨導
表3 表達式 近似
g_{21} = \left. \frac{ V_{2} }{ V_{1} } \right|_{I_{2}=0}    \frac { r_o }{ r_{ \pi} } + g_m r_O + 1    g_m r_O
g_{11} = \left. \frac{I_{1}}{V_{1}} \right|_{I_{2}=0}  \frac {1} {r_{\pi}}  \frac {1} {r_{\pi}}
 g_{22} = \left. \frac{ V_{2} }{ I_{2} } \right|_{V_{1}=0}   r_O    r_O
 g_{12} = \left. \frac{ I_{1} }{ I_{2} } \right|_{V_{1}=0}  -\frac{ \beta + 1 }{ \beta }  -1

如上所示,g12為負,這是因為一般規定二埠電流I1I2流入的方向為正方向。g12為非零值表明輸出電流對輸入電流有影響,也就是說放大電路為雙向放大電路;若g12 = 0,則放大電路為單向放大電路。

傳輸參數[編輯]

傳輸參數又稱ABCD參數、級聯參數、傳輸線參數、F參數、T參數(注意不要與散射傳輸參數混淆),其定義有多種不同的形式,下面列出兩種最常見的等價定義形式。

定義一(ABCD參數)[編輯]

最常見的一種定義形式如下,下式中的\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}為二埠網路的傳輸矩陣(ABCD參數矩陣、A參數矩陣、T參數矩陣):[11][12]

 \begin{bmatrix} V_1 \\ I_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_2 \\ -I_2 \end{bmatrix}

其中

A = {V_1 \over V_2 } \bigg|_{I_2 = 0} \qquad B = -{V_1 \over I_2 } \bigg|_{V_2 = 0}
C = {I_1 \over V_2 } \bigg|_{I_2 = 0} \qquad D = -{I_1 \over I_2 } \bigg|_{V_2 = 0}

對於互易網路,\textstyle AD-BC=1。對於對稱網路,\textstyle A=D。對於互易無耗網路,AD為純實數,而BC為純虛數。[6]

這種表示法是首選方法,因為當參數用於表示二埠的級聯時,書寫矩陣的順序與繪製電路圖相同,都是從左到右。

下面給出的定義形式是上述定義的變體,下式中的\begin{bmatrix} A' & B' \\ C' & D' \end{bmatrix}為二埠網路的逆向傳輸矩陣(逆向ABCD參數矩陣、B參數矩陣、T'參數矩陣):

 \begin{bmatrix} V_2 \\ I'_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A' & B' \\ C' & D' \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_1 \\ I_1 \end{bmatrix}

其中

\begin{align}
A' &\,{=}\, \left. \frac{V_2}{V_1} \right|_{I_1 = 0} &\qquad B' &\,{=}\, \left. \frac{V_2}{I_1} \right|_{V_1 = 0}\\
C' &\,{=}\, \left. -\frac{I_2}{V_1} \right|_{I_1 = 0} &\qquad D' &\,{=}\, \left. -\frac{I_2}{I_1} \right|_{V_1 = 0}
\end{align}

以上公式中的\textstyle C'\textstyle D'為負,因為\textstyle I'_2被定義為\textstyle I_2的相反數,即\textstyle I'_2=-I_2。採用這一約定的原因是若滿足上述關係,一個二埠網路的輸出電流與下一個與其級聯的二埠網路的輸入電流相等。因此,輸入電壓/電流矩陣向量可以被直接替換為前一個二埠網路的矩陣方程以構造組合\textstyle A'B'C'D'矩陣。

電話四線傳輸系統(Telephony four-wire Transmission Systems)的ABCD矩陣是於1977年由P·K·韋伯(P. K. Webb)在British Post Office Research Department Report 630中定義。

定義二(A參數、B參數)[編輯]

部分學者將\textstyle ABCD參數矩陣的元素符號指定為aij (i, j = 1, 2)[13],將逆\textstyle A'B'C'D'參數矩陣的元素符號指定為bij (i, j = 1, 2),二者都很簡潔,且不會與電路元件的符號混淆。下列公式中的\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}為二埠網路的A參數矩陣(傳輸矩陣、傳輸參數矩陣、T參數矩陣),\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}為二埠網路的B參數矩陣(逆向傳輸矩陣、逆向傳輸參數矩陣、T'參數矩陣)。

\mathbf{A}=\begin{bmatrix}\mathbf{a}_{ij}\end{bmatrix}_{2 \times 2}= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}
\mathbf{B}=\begin{bmatrix}\mathbf{b}_{ij}\end{bmatrix}_{2 \times 2}= \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A' & B' \\ C' & D' \end{bmatrix}

兩種形式滿足的關係非常簡單,互為逆矩陣,即

\mathbf{B}=\mathbf{A}^{-1}

請注意,A矩陣、B矩陣分別代表ABCD矩陣、逆向ABCD矩陣,不要與定義一中的參數A、B混淆。

基本電路元件的傳輸參數[編輯]

下表列出了一些簡單的基本電路元件的逆向傳輸參數矩陣(B參數矩陣)。

元件 B矩陣 備註
串聯電阻 \begin{bmatrix} 1 & -R \\ 0 & 1 \end{bmatrix} R = 電阻
並聯電阻 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1/R & 1 \end{bmatrix} R = 電阻
串聯電導 \begin{bmatrix} 1 & -1/G \\ 0 & 1 \end{bmatrix} G = 電導
並聯電導 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -G & 1 \end{bmatrix} G = 電導
串聯電感 \begin{bmatrix} 1 & -sL \\ 0 & 1 \end{bmatrix} L = 電感
s = 複頻率
並聯電容 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -sC & 1 \end{bmatrix} C = 電容
s = 複頻率

二埠網路的組合聯接[編輯]

當聯接2個或2個以上的二埠網路時,組合網路的二埠參數可以通過對組合網路的每一組成部分的參數矩陣進行矩陣代數運算求取。若恰當的選取與二埠聯接方式相匹配的二埠參數,矩陣運算將會極為簡單,例如串聯聯接最好用Z參數來描述。

二埠網路的聯接中要注意埠的組合規則,因為當連接電勢相異的部分時,有一些連接會導致組合網路不滿足埠條件,且違反組合規則。要解決這一難題,可以在出現問題的二埠網路輸出端接入匝數比為1:1的理想變壓器。這一舉動並不會改變二埠網路的參數,而且還能保證二埠網路互相聯接時滿足埠條件。圖12和圖13中分別展示了串聯聯接中有關這一問題的一個實例和解決方案。[14]

簡表:

聯接方式 圖示 參數 聯接方式 圖示 參數
串聯 串聯 \mathbf{Z}=\mathbf{Z_1}+\mathbf{Z_2} 並聯 並聯 \mathbf{Y}=\mathbf{Y_1}+\mathbf{Y_2}
串-並聯 串-並聯 \mathbf{H}=\mathbf{H_1}+\mathbf{H_2} 並-串聯 並-串聯 \mathbf{G}=\mathbf{G_1}+\mathbf{G_2}

\mathbf{H^\mathrm{T}}=\mathbf{H^\mathrm{T}_1}+\mathbf{H^\mathrm{T}_2}
級聯 級聯 \mathbf{A}=\mathbf{A_1}\mathbf{A_2}

\mathbf{A^\mathrm{T}}=\mathbf{A^\mathrm{T}_2}\mathbf{A^\mathrm{T}_1}
級聯 級聯 \mathbf{B}=\mathbf{B_1}\mathbf{B_2}

\mathbf{B^\mathrm{T}}=\mathbf{B^\mathrm{T}_2}\mathbf{B^\mathrm{T}_1}

串聯[編輯]

圖11:兩個輸入埠串聯,輸出埠也為串聯的二埠網路。

若兩個二埠網路以串聯方式聯接(圖11),最好選擇Z參數來描述二埠網路。組合網路的Z參數矩陣是由兩個獨立網路分別的Z參數矩陣相加得到:[15][16]

[\mathbf z]=[\mathbf z]_1 + [\mathbf z]_2

兩個獨立網路的Z參數矩陣方程如下:

\begin{bmatrix} V_1' \\ V_2' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Z_{11}' & Z_{12}' \\ Z_{21}' & Z_{22}' \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_1' \\ I_2' \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} V_1'' \\ V_2''\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Z_{11}'' & Z_{12}'' \\ Z_{21}'' & Z_{22}'' \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_1'' \\ I_2'' \end{bmatrix}

此時,\textstyle V_1\textstyle V_2\textstyle I_1\textstyle I_2分別滿足關係\textstyle V_1 = V_1' + V_1''\textstyle V_2 = V_2' + V_2''\textstyle I_1 = I_1' + I_1''\textstyle I_2 = I_2' + I_2'',故如下關係成立:

\begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} V_1' \\ V_2' \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} V_1'' \\ V_2'' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Z_{11}' + Z_{11}'' & Z_{12}' + Z_{12}'' \\ Z_{21}' + Z_{21}'' & Z_{22}' + Z_{22}'' \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \end{bmatrix}

因此,串聯二埠網路的Z參數矩陣為

 \begin{bmatrix} Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Z_{11}' + Z_{11}'' & Z_{12}' + Z_{12}'' \\ Z_{21}' + Z_{21}'' & Z_{22}' + Z_{22}'' \end{bmatrix}
圖12:不當的二埠網路串聯,因為下方二埠網路中的電阻R1被所加旁路短接。
圖13:利用理想變壓器使內部電路滿足埠條件。

如前文所述,有些組合網路不能通過分析結果直接串聯得到。[14]一個簡單的實例是由電阻R1R2組成的L形網路。這一網路的Z參數為:

[\mathbf z]_1 = \begin{bmatrix} R_1 + R_2 & R_2 \\ R_2 & R_2 \end{bmatrix}

圖12展示了2個串聯的相同網路。理論上,由矩陣相加得到的整體Z參數為

[\mathbf z] =[\mathbf z]_1 + [\mathbf z]_2 = 2[\mathbf z]_1 = \begin{bmatrix} 2R_1 + 2R_2 & 2R_2 \\ 2R_2 & 2R_2 \end{bmatrix}

但是,如果直接分析這一組合網路會得到

[\mathbf z] = \begin{bmatrix} R_1 + 2R_2 & 2R_2 \\ 2R_2 & 2R_2 \end{bmatrix}

二者的分歧在於下方二埠網路中的R1被加在輸出埠的2個端子間的電阻短接,這就導致2個獨立網路中每一網路的輸入埠中分別有一個端子無電流流過,但另一個端子仍有電流流入。因此,2個原始網路的輸入埠都無法滿足埠條件。解決方案是在2個二埠網路中至少一個網路的輸出端接入一個理想變壓器(圖13)。雖然這種方法是教科書上常見的介紹二埠網路原理的方法,在每個獨立二埠網路的設計中都使用變壓器是否實用是需要考慮的問題。

並聯[編輯]

圖14:兩個輸入埠並聯,輸出埠也為並聯的二埠網路。

若兩個二埠網路以並聯方式聯接(圖14),最好選擇Y參數來描述二埠網路。組合網路的Y參數矩陣是由兩個獨立網路分別的Y參數矩陣相加得到:[17]

[\mathbf y]=[\mathbf y]_1 + [\mathbf y]_2

兩個獨立網路的Y參數矩陣方程如下:

\begin{bmatrix} I_1' \\ I_2' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Y_{11}' & Y_{12}' \\ Y_{21}' & Y_{22}' \end{bmatrix}\begin{bmatrix} V_1' \\ V_2' \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} I_1'' \\ I_2'' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Y_{11}'' & Y_{12}'' \\ Y_{21}'' & Y_{22}'' \end{bmatrix}\begin{bmatrix} V_1'' \\ V_2'' \end{bmatrix}

此時,\textstyle I_1\textstyle I_2\textstyle V_1\textstyle V_2分別滿足關係\textstyle I_1 = I_1' + I_1''\textstyle I_2 = I_2' + I_2''\textstyle V_1 = V_1' + V_1''\textstyle V_2 = V_2' + V_2'',故如下關係成立:

\begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_1' \\ I_2' \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} I_1'' \\ I_2'' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Y_{11}' + Y_{11}'' & Y_{12}' + Y_{12}'' \\ Y_{21}' + Y_{21}'' & Y_{22}' + Y_{22}'' \end{bmatrix}\begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \end{bmatrix}

因此,並聯二埠網路的Y參數矩陣為

 \begin{bmatrix} Y_{11} & Y_{12} \\ Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Y_{11}' + Y_{11}'' & Y_{12}' + Y_{12}'' \\ Y_{21}' + Y_{21}'' & Y_{22}' + Y_{22}'' \end{bmatrix}

串-並聯[編輯]

圖15:兩個輸入埠串聯,輸出埠並聯的二埠網路。

若兩個二埠網路以串-並聯方式聯接(圖15),最好選擇h參數來描述二埠網路。組合網路的h參數矩陣是由兩個獨立網路分別的h參數矩陣相加得到:[18]

[\mathbf h]=[\mathbf h]_1 + [\mathbf h]_2

兩個獨立網路的h參數矩陣方程如下:

\begin{bmatrix} V_1' \\ I_2' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} h_{11}' & h_{12}' \\ h_{21}' & h_{22}' \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_1' \\ V_2' \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} V_1'' \\ I_2'' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} h_{11}'' & h_{12}'' \\ h_{21}'' & h_{22}'' \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_1'' \\ V_2'' \end{bmatrix}

此時,\textstyle I_1\textstyle I_2\textstyle V_1\textstyle V_2分別滿足關係\textstyle I_1 = I_1' + I_1''\textstyle I_2 = I_2' + I_2''\textstyle V_1 = V_1' + V_1''\textstyle V_2 = V_2' + V_2'',故如下關係成立:

\begin{bmatrix} V_1 \\ I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} V_1' \\ I_2' \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} V_1'' \\ I_2'' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} h_{11}' + h_{11}'' & h_{12}' + h_{12}'' \\ h_{21}' + h_{21}'' & h_{22}' + h_{22}'' \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_1 \\ V_2 \end{bmatrix}

因此,並聯二埠網路的h參數矩陣為

 \begin{bmatrix} h_{11} & h_{12} \\ h_{21} & h_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} h_{11}' + h_{11}'' & h_{12}' + h_{12}'' \\ h_{21}' + h_{21}'' & h_{22}' + h_{22}'' \end{bmatrix}

並-串聯[編輯]

圖16:兩個輸入埠並聯,輸出埠串聯的二埠網路。

若兩個二埠網路以並-串聯方式聯接(圖16),最好選擇g參數來描述二埠網路。組合網路的g參數矩陣是由兩個獨立網路分別的h參數矩陣相加得到:

[\mathbf g]=[\mathbf g]_1 + [\mathbf g]_2

兩個獨立網路的g參數矩陣方程如下:

\begin{bmatrix} I_1' \\ V_2' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} g_{11}' & g_{12}' \\ g_{21}' & g_{22}' \end{bmatrix}\begin{bmatrix} V_1' \\ I_2' \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} I_1'' \\ V_2'' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} g_{11}'' & g_{12}'' \\ g_{21}'' & g_{22}'' \end{bmatrix}\begin{bmatrix} V_1'' \\ I_2'' \end{bmatrix}

此時,\textstyle I_1\textstyle I_2\textstyle V_1\textstyle V_2分別滿足關係\textstyle I_1 = I_1' + I_1''\textstyle I_2 = I_2' + I_2''\textstyle V_1 = V_1' + V_1''\textstyle V_2 = V_2' + V_2'',故如下關係成立:

\begin{bmatrix} I_1 \\ V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_1' \\ V_2' \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} I_1'' \\ V_2'' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} g_{11}' + g_{11}'' & g_{12}' + g_{12}'' \\ g_{21}' + g_{21}'' & g_{22}' + g_{22}'' \end{bmatrix}\begin{bmatrix} V_1 \\ I_2 \end{bmatrix}

因此,並聯二埠網路的g參數矩陣為

 \begin{bmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} g_{11}' + g_{11}'' & g_{12}' + g_{12}'' \\ g_{21}' + g_{21}'' & g_{22}' + g_{22}'' \end{bmatrix}

級聯[編輯]

圖17:兩個級聯的二埠網路。

級聯又稱鏈聯,是將二埠網路輸出埠的2個端子分別連接到下一個二埠網路輸入埠的2個端子的聯接方式。若兩個二埠網路以級聯方式聯接(圖17),最好選擇ABCD參數來描述二埠網路。組合網路的ABCD參數矩陣是由兩個獨立網路分別的ABCD參數矩陣進行矩陣相乘得到:[19]

[\mathbf a]=[\mathbf a]_1 [\mathbf a]_2

n個二埠網路組成的級聯網路的參數可以通過對n個矩陣進行矩陣相乘得到。若利用b參數矩陣計算級聯網路的參數,也是通過對n個矩陣進行矩陣相乘實現,不過矩陣相乘的順序必須顛倒:

[\mathbf b]=[\mathbf b]_2 [\mathbf b]_1

兩個獨立網路的ABCD參數矩陣方程如下:

\begin{bmatrix} V_1 \\ I_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_1 & B_1 \\ C_1 & D_1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} V_2 \\ I_2 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} V_2 \\ I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_2 & B_2 \\ C_2 & D_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} V_3 \\ I_3 \end{bmatrix}

此時,V_1I_1V_3I_3滿足如下關係:

\begin{bmatrix} V_1 \\ I_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_1 & B_1 \\ C_1 & D_1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A_2 & B_2 \\ C_2 & D_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} V_3 \\ I_3 \end{bmatrix}

因此,級聯二埠網路的Y參數矩陣為

 \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_1 & B_1 \\ C_1 & D_1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A_2 & B_2 \\ C_2 & D_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_1A_2+B_1C_2 & A_1B_2+B_1D_2 \\ C_1A_2+D_1C_2 & C_1B_2+D_1D_2 \end{bmatrix}

下面給出一個實例:

假設一個二埠網路由串聯電阻R後接並聯電容C組成,這一網路整體上可以被視為2個結構更為簡單的網路的級聯:

[\mathbf b]_1  =  \begin{bmatrix} 1 & -R \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
[\mathbf b]_2  =  \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -sC & 1 \end{bmatrix}

整個網路的傳輸矩陣\textstyle [\mathbf b]只需要將2個二埠網路組成部分的傳輸矩陣進行矩陣相乘即可得出:

[\mathbf b] = [\mathbf b]_2 [\mathbf b]_1
 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -sC & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -R \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
 = \begin{bmatrix} 1 & -R \\ -sC & 1+sCR \end{bmatrix}

因此

 \begin{bmatrix} V_2 \\ I'_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -R \\ -sC & 1+sCR \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_1 \\ I_1 \end{bmatrix}

散射參數(S參數)[編輯]

圖18:S參數定義中的功率波符號。

上述參數都是就埠的電壓和電流而言定義的,而S參數是就埠的反射波英語Signal reflection而言定義的。S參數常用於特高頻微波頻率,因為在這類高頻條件下,電壓和電流很難直接測定。另一方面,利用定向耦合器英語directional coupler可以很容易地測定入射功率和反射功率。S參數矩陣方程定義為[20]

 \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} S_{11} & S_{12} \\ S_{21} & S_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix}

其中\textstyle a_k是埠k上的入射波,\textstyle b_k是埠k上的反射波,一般規定\textstyle a_k\textstyle b_k與功率的平方根有關,因此二者與波電壓有關[21],定義如下:[22]

每一個埠的入射波定義為

a = \frac{1}{2}\, k (V + Z_{p} I)\,

每一個埠的反射波定義為

b = \frac{1}{2}\, k (V - Z_{p}^{*} I)\,

其中Z_p\,是每一個埠基準阻抗構成的對角矩陣Z_p^{*}\,Z_p\,的按元素的(element-wise)複共軛矩陣,V\,I\,分別是每一個埠電壓和電流的列向量,且  k =\scriptstyle \left(\sqrt{\left|\operatorname{Re}(Z_{p})\right|}\right)^{-1}\,

若假設每一個埠上的基準阻抗均相等,則定義可簡化為

a = \frac{1}{2}\, \frac{(V + Z_{0} I)}{\sqrt{\left|\operatorname{Re}(Z_{0})\right|}}\,
b = \frac{1}{2}\, \frac{(V - Z_{0}^{*} I)}{\sqrt{\left|\operatorname{Re}(Z_{0})\right|}}\,

其中Z_0是每一埠的特性阻抗

上述矩陣方程以參數S_{11}\,S_{12}\,S_{21}\,S_{22}\,給出了每一埠的反射功率波與入射功率波的關係。若在埠1加入射功率波a_1\,,由其引起的出射波一部分會出現在埠1(b'_1\,),另一部分會出現在埠2(b'_2\,);同理,埠2加入射功率波a_2\,,由其引起的出射波一部分會出現在埠1(b''_1\,),另一部分會出現在埠2(b''_2\,)。埠1的兩股出射波之和為b_1\,,埠2的兩股出射波之和為b_2\,。不過還存在一種特殊情況:按照S參數的定義,若埠2終端接入的負載阻抗與系統阻抗Z_0\,相等(埠2匹配),那麼由最大功率傳輸定理英語Maximum power theoremb_2\,會被完全吸收,這使得a_2\,等於零。因此,

S_{11} = \frac{b_1}{a_1} \bigg|_{a_2=0} = \frac{V_1^-}{V_1^+}S_{21} = \frac{b_2}{a_1} \bigg|_{a_2=0} = \frac{V_2^-}{V_1^+}\,

同樣,如果埠1終端接入的負載阻抗與系統阻抗相等(埠1匹配),a_1\,會為零,則

S_{12} = \frac{b_1}{a_2} \bigg|_{a_1=0} = \frac{V_1^-}{V_2^+}\,S_{22} = \frac{b_2}{a_2} \bigg|_{a_1=0} = \frac{V_2^-}{V_2^+}\,

各參數的物理含義和網路特性如下:

S_{11}\,是輸入埠電壓反射係數,即埠2匹配時,埠1的反射係數
S_{12}\,是逆向電壓增益,即埠1匹配時,埠2到埠1的逆向傳輸係數
S_{21}\,是順向電壓增益,即埠2匹配時,埠1到埠2的順向傳輸係數
S_{22}\,是輸出埠電壓反射係數,即埠1匹配時,埠2的反射係數

對於互易網路,\textstyle S_{12} = S_{21}。對於對稱網路,\textstyle S_{11} = S_{22}。對於反對稱網路,\textstyle S_{11} = -S_{22}[23]對於互易無耗網路,\textstyle |S_{11}|=|S_{22}|\textstyle |S_{11}|^2+|S_{21}|^2=1[24]

二埠網路的S參數矩陣很常用,是生成的大型網路的高階矩陣的基本組成部分。[25]

特性參數[編輯]

非互易網路的一個典型例子是工作在線性(小訊號)條件下的放大器,而互易網路的例子是匹配衰減器。在以下的參數中,按一般約定假設輸入和輸出分別連接到埠1和埠2。系統額定阻抗、頻率以及其他會影響裝置的因素也都一定要事先精確規定。

  • 線性增益
複線性增益G定義為
G = S_{21}\,
這一參數是電壓增益,即輸出電壓除以輸入電壓的線性比,所有的值都是複數量。
而純量線性增益是複線性增益的大小,定義為
\left|G\right| = \left|S_{21}\right|\,
這一參數是純量電壓增益,由於是純量,故不用考慮相位。
  • 對數增益
增益g的純量對數(單位dB)表達式為
g = 20\log_{10}\left|S_{21}\right|\, dB
這一參數比線性增益更常用,是一個正數量,常被直接稱為增益,而負數量可被稱為負增益,不過更常用的說法是稱為損耗,等同於其以dB為單位的幅度。例如,一條10米長的電纜在100 MHz條件下的增益是- 1 dB,或者說這條電纜在100 MHz條件下的損耗是1 dB。
  • 插入損耗
插入損耗英語Insertion LossIL\,的單位一般為dB,定義為:
IL = 10\log_{10}\frac{\left|S_{21}\right|^2}{1-\left|S_{11}\right|^2}\, dB
按其定義來說,由於插入損耗是一種損耗(負增益),上式中得到的符號可以略去。插入損耗常與上述的g\,混淆,在這裡需要特別考慮。二者的不同在於g\,描述了裝置的輸入失配,而插入損耗並不是輸入阻抗或電源阻抗的函數。因此二者的表達式可以進一步改寫為
g = P_{out}/P_{av}\,,其中P_{av}是電源的可用功率
IL = P_{out}/P_{in}\,,其中P_{in}是埠1的插入損耗對應的功率
  • 輸入回波損耗
輸入回波損耗英語return lossRL_\mathrm{in}\,是一個關於網路的實際輸入阻抗與系統額定阻抗值接近程度的純量量度,以對數幅值表達,定義為
RL_\mathrm{in} = \left|20\log_{10} \left| S_{11}\right|\right|\, dB
由定義來看,回波損耗是一個正純量值,因為公式中包含2對幅值符號(|)。線性部分\left|S_{11}\right|\,相當於反無線電壓幅值除以入無線電壓幅值。
  • 輸出回波損耗
輸出回波損耗RL_\mathrm{out}\,與輸入回波損耗的定義相似,只不過描述對象是輸出埠(埠2)而不是輸入埠,定義為
RL_\mathrm{out} = \left|20\log_{10}\left|S_{22}\right|\right|\, dB
  • 逆向增益與逆向隔離度
逆向增益g_\mathrm{rev}\,的純量對數(單位dB)表達式為
g_\mathrm{rev} = 20\log_{10}\left|S_{12}\right|\, dB
逆向增益常會被表達為逆向隔離度I_\mathrm{rev}\,。逆向隔離度是一個正數量,與g_\mathrm{rev}\,的大小相等,表達式為
I_\mathrm{rev} =  \left|g_\mathrm{rev}\right|   = \left|20\log_{10}\left|S_{12}\right|\right|\, dB
  • 電壓反射係數
輸入埠電壓反射係數\rho_\mathrm{in}\,以及輸出埠電壓反射係數\rho_\mathrm{out}\,分別等於S_{11}\,S_{22}\,,定義為
\rho_\mathrm{in} = S_{11}\,\rho_\mathrm{out} = S_{22}\,
S_{11}\,S_{22}\,是複數量,因此\rho_\mathrm{in}\,\rho_\mathrm{out}\,也是複數量。
電壓反射係數是複數量,可以用極坐標圖史密斯圖表示。
  • 電壓駐波比
埠的電壓駐波比英語Standing wave ratio(VSWR)用小寫s表示,是於回波損耗相匹配的一個類似量度,不過不同之處在於,電壓駐波比這個線性純量描述的是駐波最大電壓與駐波最小電壓的比。因此,其與電壓反射係數的大小有關,也與輸入埠的S_{11}\,和輸出埠的S_{22}\,的大小有關。
對於輸入埠,電壓駐波比s_\mathrm{in}\,定義為
s_\mathrm{in} = \frac{1+\left|S_{11}\right|}{1-\left|S_{11}\right|}\,
對於輸出埠,電壓駐波比s_\mathrm{out}\,定義為
s_\mathrm{out} = \frac{1+\left|S_{22}\right|}{1-\left|S_{22}\right|}\,

散射傳輸參數(T參數)[編輯]

散射傳輸參數又稱T參數,是從入射波和反射波的角度來定義的參數。T參數與S參數的不同之處,在於T參數是將埠1的訊號波與埠2的訊號波關聯起來,而S參數是將反射波與入射波關聯起來。從這一方面來說,T參數與ABCD參數充當了相同的角色,能通過將級聯網路組成部分的T參數進行矩陣相乘得到級聯組合網路的T參數。同ABCD參數一樣,T參數也可稱為傳輸參數。T參數不像S參數一樣容易直接測出,但是可以通過S參數非常容易地轉換得出。[26]

二埠網路的T參數矩陣與S參數矩陣非常接近,T參數是與歸一化入射波和歸一化反射波有關,符合如下關係:[20][27]

\begin{bmatrix}a_1 \\ b_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} T_{11} & T_{12} \\ T_{21} & T_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_2 \\ a_2 \end{bmatrix}\,

另一種定義方式:

\begin{bmatrix}b_1 \\ a_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} T_{11} & T_{12} \\ T_{21} & T_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_2 \\ b_2 \end{bmatrix}\,

MATLAB的RF工具箱外掛程式[28]以及多部著作(如《Network scattering parameters》[29])均採用第一種定義,而本節的S與T參數的轉換公式是基於第二種定義推導的,因此要特別注意,而將第一種定義中的T11和T22交換,T12和T21交換並不會影響定義的正確性。

與S參數相比,T參數的優點在於其只需要將每個級聯的獨立二埠的T參數矩陣進行矩陣相乘,就能確定若干個級聯二埠網路的效果。將二埠網路1、2和3的T參數矩陣分別設為\mathbf{T}_1\mathbf{T}_2\mathbf{T}_3,則3個級聯的二埠網路的T參數矩陣順序相乘就能得到組合網路的矩陣\mathbf{T}_T

\mathbf{T}_T = \mathbf{T}_1 \mathbf{T}_2 \mathbf{T}_3

如S參數一樣,T參數是複值,二者可以直接轉換。雖然級聯T參數是由獨立網路的T參數進行簡單的矩陣相乘得到,但是將每個網路的S參數轉換為T參數進行運算後,再將級聯網路的T參數轉換為等效的級聯網路S參數是有意義的,因為這種運算方法在實際中常常需要應用。不過在運算完成後,所有埠間的雙向複全波互作用就要考慮到。下列等式是S與T參數相互轉換的公式。[30]

S參數轉換為T參數:

T_{11} = \frac{-\det(\mathbf{S})}{S_{21}}\,
T_{12} = \frac{S_{11}}{S_{21}}\,
T_{21} = \frac{-S_{22}}{S_{21}}\,
T_{22} = \frac{1}{S_{21}}\,

T參數轉換為S參數:

S_{11} = \frac{T_{12}}{T_{22}}\,
S_{12} = \frac{\det(\mathbf{T})}{T_{22}}\,
S_{21} = \frac{1}{T_{22}}\,
S_{22} = \frac{-T_{21}}{T_{22}}\,

多於2個埠的網路[編輯]

二埠網路非常普遍,如放大器和濾波器都是二埠網路,但是如定向耦合器環行器英語circulator等電阻網路有多於2個的埠。下列表示法可用於具有任意埠數的網路:

例如,三埠網路的阻抗參數為下列形式:

 \begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \\V_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Z_{11} & Z_{12} & Z_{13} \\ Z_{21} & Z_{22} &Z_{23} \\ Z_{31} & Z_{32} & Z_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \\I_3 \end{bmatrix}

而下列參數只限於在二埠網路中應用:

  • 混合參數(h參數)
  • 第二類混合參數(g參數)
  • 傳輸參數(ABCD參數)
  • 散射傳輸參數(T參數)

參見[編輯]

注釋[編輯]

  1. ^ 射極引線上的電阻是為了抵消電晶體VBE降低導致的任何電流增大也就是說,電阻RE 產生了負回饋的作用,抑制了電流變化。特別的一點是,輸出電壓的任何變化都會導致有負回饋時的電流比無負回饋時變化小,這就意味著電流鏡的輸出電阻增加了。

參考文獻[編輯]

註腳[編輯]

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  8. ^ 梁昌洪. 關於電磁理論的若干思考. 電力電子教學學報. 2004-02, 26 (1): 1-15 [2010-08-23]. ISSN 1008-0686 (中文). 
  9. ^ 9.0 9.1 Simon Ramo等,第537-541頁
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參考書目[編輯]

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  • Ghosh, Smarajit, Network Theory: Analysis and Synthesis, Prentice Hall of India ISBN 8120326385.
  • Jaeger, R.C.; Blalock, T.N. Microelectronic Circuit Design 3rd. Boston: McGraw–Hill. 2006. ISBN 9780073191638. 
  • Matthaei, Young, Jones, Microwave Filters, Impedance-Matching Networks, and Coupling Structures, McGraw-Hill, 1964.
  • Mahmood Nahvi, Joseph Edminister, Schaum's outline of theory and problems of electric circuits, McGraw-Hill Professional, 2002 ISBN 0071393072.
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  • Simon Ramo, John R. Whinnery, Theodore Van Duzer, "Fields and Waves in Communication Electronics", Third Edition, John Wiley & Sons Inc.; ISBN 0-471-58551-3.