二項式定理

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二項式定理英語Binomial theorem),又稱牛頓二項式定理,由艾薩克·牛頓於1664年、1665年期間提出。

定理給出兩個數之和的整數次冪諸如 (x + y)^n 展開為類似 a x^b y^c 項之和的恆等式。二項式定理可以推廣到任意實數次冪,即廣義二項式定理

簡介[編輯]

(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k,其中{n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} 又有  \rm
{C}_k^n 等記法,稱為二項式係數,即  nk 的組合數目,此係數亦可表示為帕斯卡三角形(在中國稱賈憲三角或楊輝三角形)(Pascal's Triangle)。

證明[編輯]

數學歸納法[編輯]

n=1

 (a+b)^1 = \sum_{k=0}^1 { 1 \choose k } a^{1-k}b^k = { 1 \choose 0 }a^1b^0+{ 1 \choose 1 }a^0b^1 = a+b

假設二項展開式在 n=m 時成立。若n=m+1

 (a+b)^{m+1}  =  a(a+b)^m + b(a+b)^m
 =  a \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k} b^k + b \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^j
 =  \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}ab乘入
 =  a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1} 取出k=0的項
 =  a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{k=1}^{m+1} { m \choose k-1 }a^{m-k+1}b^{k} j = k-1
 =  a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1}b^k + \sum_{k=1}^{m} { m \choose k-1 }a^{m+1-k}b^{k} + b^{m+1} 取出k=m+1
 =  a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m \left[ { m \choose k } + { m \choose k-1 } \right] a^{m+1-k}b^k 兩者加起
 =  a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k 套用帕斯卡法則
 =  \sum_{k=0}^{m+1} { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k

一般形式的證明[編輯]

通常二項式定理可以直接使用泰勒公式進行證明. 下面的方法不使用泰勒公式

f(x)=(1+x)^\alpha, g(x)=\sum_{k=0}^{\infty}{a \choose k}x^k. 注意只有當 |x|<1時上述兩個函數才收斂


  • 首先證明 f(x)收斂於1. 這裡省略
  • 之後, 易得f(x)滿足微分方程: (1+x)f'(x) = \alpha f(x). 用求導的一般方法就能得到這個結論, 這裡省略
  • 再證明 g(x)亦滿足上述微分方程:


\begin{align}
g'(x) & = \sum_{k=0}^{\infty}{a\choose k}k x^{k-1}  \\
      & = \sum_{k=-1}^{\infty}{a\choose (k+1)}(k+1)x^{k} \\
      & = {a \choose 0} 0 x^{-1} + \sum_{k=0}^{\infty}{a\choose {k+1}}(k+1) x^{k} \\
      & = \sum_{k=0}^{\infty}{a\choose {k+1}}(k+1) x^{k} \\
      & = \sum_{k=0}^{\infty}{a \choose k}(a-k) x^k \\
\end{align}


\begin{align}
{a \choose {k+1} }(k+1) & = \frac{(a)(a-1)\cdots(a - k + 1)(a - k)}{(k+1)!}(k+1) \\
                   & = \frac{(a)(a-1)\cdots(a - k + 1)(a - k)}{k!} \\
                   & = {a \choose k}(a-k)
\end{align}

於是 (1+x)g'(x) = g'(x) + \sum_{k=0}^{\infty}{a \choose k}kx^k = ag(x)

  • H(x) = \frac{g(x)}{f(x)}, 由於g(x)f(x)滿足同樣的微分方程, H'(x) = 0, 於是H(x)是一個常數, 即f(x) = ag(x)
  • 代入x = 0的情況, 證明a = 1

應用[編輯]

牛頓以二項式定理作為基石發明出了微積分。其在初等數學中應用主要在於一些粗略的分析和估計以及證明恆等式等。

證明組合恆等式[編輯]

二項式定理給出的係數可以視為組合數 {n \choose k} 的另一種定義。 因此二項式展開與組合數的關係十分密切。 它常常用來證明一些組合恆等式。比如證明  \sum _{k=0} ^n {n \choose k}^2 = {2n \choose n}

可以考慮恆等式  (1+x)^n (1+x)^n = (1+x)^{2n}。 展開等式左邊得到:  \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n { n \choose i} {n \choose j} x^i x^j。 注意這一步使用了有限求和與乘積可以交換的性質。 同時如果展開等式右邊可以得到  \sum_{k=0}^{2n}  { 2n \choose k} x^k 。 比較兩邊冪次為  k 的項的係數可以得到:  \sum_{i=0} ^k { n \choose i} {n \choose k - i} = {2n \choose k} 。 令  k=n,並注意到 { n \choose i} = {n \choose n - i} 即可得到所要證明的結論。

開高次的計算[編輯]

估算高次冪的值[編輯]

證明一些恆等式和關於自然數命題[編輯]

推廣[編輯]

該定理可以推廣到對任意實數次冪的展開, 即所謂的牛頓廣義二項式定理:

 (x + y)^\alpha = \sum _{k=0}^\infty {\alpha \choose k} x^{\alpha - k} y^k 。其中 {\alpha \choose k} = \frac{\alpha (\alpha-1) ... (\alpha - k +1)}{k!} = \frac{(\alpha)_k}{k!} .

參見[編輯]

外部連接[編輯]

從牛頓二項式定理開方到牛頓切線法