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二項式定理

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二項式係數出現在楊輝三角(帕斯卡三角)中。除邊緣的數字外,其他每一個數都為其上方兩數之和。

初等代數中,二項式定理英語Binomial theorem)描述了二項式的代數展開。根據該定理,可以將兩個數之和的整數次冪諸如(x + y)n 展開為類似 axbyc 項之和的恆等式,其中bc均為非負整數且b + c = n。係數a是依賴於nb的正整數。當某項的指數為0時,通常略去不寫。例如:[1]

(x+y)^4 \;=\; x^4 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\, y^4.

axbyc 中的係數a被稱為二項式係數,記作 \tbinom nb\tbinom nc(二者值相等)。二項式定理可以推廣到任意實數次冪,即廣義二項式定理[2]

歷史[編輯]

楊輝三角形

二項式係數的三角形排列通常被認為是法國數學家布萊茲·帕斯卡的貢獻,他在17世紀描述了這一現象[3]。但早在他之前,就曾有數學家進行類似的研究。例如,古希臘數學家歐幾里得於公元前4世紀提到了指數為2的情況[4][5]。公元前三世紀,印度數學家青目探討了更高階的情況。「帕斯卡三角形」的雛形於10世紀由印度數學家大力羅摩發現。在同一時期,波斯數學家卡拉吉英語Al-Karaji[6]和數學家兼詩人歐瑪爾·海亞姆得到了更為普遍的二項式定理的形式。13世紀,中國數學家楊輝也得到了類似的結果[7]卡拉吉英語Al-Karaji數學歸納法的原始形式給出了二項式定理和帕斯卡三角形的有關證明[6]艾薩克·牛頓勳爵將二項式定理的係數推廣到有理數[8]

定理的陳述[編輯]

以幾何的方式解釋二項式定理 [9]

根據此定理,可以將 x + y 的任意次冪展開成和的形式

(x+y)^n = {n \choose 0}x^n y^0 + {n \choose 1}x^{n-1}y^1 + {n \choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n}x^0 y^n,

其中每個  \tbinom nk 為一個稱作二項式係數的特定正整數,或記作  \rm{C}_k^n,其等於\frac{n!}{k!(n-k)!}。這個公式也稱二項式公式二項恆等式。使用求和符號,可以把它寫作

(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{k}y^{n-k}.

後面的表達式只是將根據 xy 的對稱性得出的,通過比較發現公式中的二項式係數也是對稱的。 二項式定理的一個變形是用 1 來代換 y 得到的,所以它只涉及一個變量。在這種形式中,公式寫作

(1+x)^n = {n \choose 0}x^0 + {n \choose 1}x^1 + {n \choose 2}x^2 + \cdots + {n \choose {n-1}}x^{n-1} + {n \choose n}x^n,

或者等價地

(1+x)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k.


證明[編輯]

數學歸納法[編輯]

n=1

 (a+b)^1 = \sum_{k=0}^1 { 1 \choose k } a^{1-k}b^k = { 1 \choose 0 }a^1b^0+{ 1 \choose 1 }a^0b^1 = a+b

假設二項展開式在 n=m 時成立。若n=m+1

 (a+b)^{m+1}  =  a(a+b)^m + b(a+b)^m
 =  a \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k} b^k + b \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^j
 =  \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}ab乘入
 =  a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1} 取出k=0的項
 =  a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{k=1}^{m+1} { m \choose k-1 }a^{m-k+1}b^{k} j = k-1
 =  a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1}b^k + \sum_{k=1}^{m} { m \choose k-1 }a^{m+1-k}b^{k} + b^{m+1} 取出k=m+1
 =  a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m \left[ { m \choose k } + { m \choose k-1 } \right] a^{m+1-k}b^k 兩者加起
 =  a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k 套用帕斯卡法則
 =  \sum_{k=0}^{m+1} { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k

組合方法[編輯]

考慮(a+b)^7=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b),共7個括號相乘,從7個括號選出其中的4個括號中的a,再從剩餘的3個括號中選出3個b相乘,便得一組a^4b^3,而這樣的選法共有\tbinom 74種,故總共有\tbinom 74a^4b^3;其他各項同理。

同理,(a+b)^n=(a+b)(a+b)....(a+b)(a+b),共n個括號相乘,從n個括號選出其中的k個括號中的a,再從剩餘的(n-k)個括號中選出(n-k)個b相乘,便得一組a^kb^{n-k},而這樣的選法共有\tbinom nk種,故總共有\tbinom nka^kb^{n-k};其他各項同理。

不盡相異物排列方法[編輯]

考慮(a+b)^7=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b),每一個括號可以出a或出b,而最後要有4個a、3個b相乘,這形同aaaabbb的「不盡相異物排列」,其方法數為\frac{7!}{4! \times3!},恰好等於\tbinom 74;其他各項同理。

同理,(a+b)^n=(a+b)(a+b)....(a+b)(a+b),每一個括號可以出a或出b,而最後要有ka、(n-k)個b相乘,這形同aa....aabb....bb的「不盡相異物排列」,其方法數為\frac{n!}{k! \times(n-k)!},恰好等於\tbinom nk;其他各項同理。

一般形式的證明[編輯]

通常二項式定理可以直接使用泰勒公式進行證明. 下面的方法不使用泰勒公式

f(x)=(1+x)^\alpha, g(x)=\sum_{k=0}^{\infty}{a \choose k}x^k. 注意只有當 |x|<1時上述兩個函數才收斂

  • 首先證明 f(x)收斂於1. 這裡省略
  • 之後, 易得f(x)滿足微分方程: (1+x)f'(x) = \alpha f(x). 用求導的一般方法就能得到這個結論, 這裡省略
  • 再證明 g(x)亦滿足上述微分方程:


\begin{align}
g'(x) & = \sum_{k=0}^{\infty}{a\choose k}k x^{k-1}  \\
      & = \sum_{k=-1}^{\infty}{a\choose (k+1)}(k+1)x^{k} \\
      & = {a \choose 0} 0 x^{-1} + \sum_{k=0}^{\infty}{a\choose {k+1}}(k+1) x^{k} \\
      & = \sum_{k=0}^{\infty}{a\choose {k+1}}(k+1) x^{k} \\
      & = \sum_{k=0}^{\infty}{a \choose k}(a-k) x^k \\
\end{align}


\begin{align}
{a \choose {k+1} }(k+1) & = \frac{(a)(a-1)\cdots(a - k + 1)(a - k)}{(k+1)!}(k+1) \\
                   & = \frac{(a)(a-1)\cdots(a - k + 1)(a - k)}{k!} \\
                   & = {a \choose k}(a-k)
\end{align}

於是 (1+x)g'(x) = g'(x) + \sum_{k=0}^{\infty}{a \choose k}kx^k = ag(x)

  • H(x) = \frac{g(x)}{f(x)}, 由於g(x)f(x)滿足同樣的微分方程, H'(x) = 0, 於是H(x)是一個常數, 即f(x) = ag(x)
  • 代入x = 0的情況, 證明a = 1

應用[編輯]

牛頓以二項式定理作為基石發明出了微積分[10] 。其在初等數學中應用主要在於一些粗略的分析和估計以及證明恆等式等。

證明組合恆等式[編輯]

二項式定理給出的係數可以視為組合數 {n \choose k} 的另一種定義。 因此二項式展開與組合數的關係十分密切。 它常常用來證明一些組合恆等式。比如證明  \sum _{k=0} ^n {n \choose k}^2 = {2n \choose n}

可以考慮恆等式  (1+x)^n (1+x)^n = (1+x)^{2n}。 展開等式左邊得到:  \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n { n \choose i} {n \choose j} x^i x^j。 注意這一步使用了有限求和與乘積可以交換的性質。 同時如果展開等式右邊可以得到  \sum_{k=0}^{2n}  { 2n \choose k} x^k 。 比較兩邊冪次為  k 的項的係數可以得到:  \sum_{i=0} ^k { n \choose i} {n \choose k - i} = {2n \choose k} 。 令  k=n,並注意到 { n \choose i} = {n \choose n - i} 即可得到所要證明的結論。

多倍角恆等式[編輯]

複數中,二項式定理可以與棣莫弗公式結合,成為多倍角公式[11]。根據棣莫弗公式:

\cos\left(nx\right)+i\sin\left(nx\right) = \left(\cos x+i\sin x\right)^n.\,

通過使用二項式定理,右邊的表達式可以擴展為

\left(\cos x+i\sin x\right)^2 = \cos^2 x + 2i \cos x \sin x - \sin^2 x,

由棣莫弗公式,實部與虛部對應,能夠得出

\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x \quad\text{and}\quad\sin(2x) = 2 \cos x \sin x,

即二倍角公式。同樣,因為

\left(\cos x+i\sin x\right)^3 = \cos^3 x + 3i \cos^2 x \sin x - 3 \cos x \sin^2 x - i \sin^3 x,

所以藉棣莫弗公式,能夠得出

\cos(3x) = \cos^3 x - 3 \cos x \sin^2 x \quad\text{and}\quad \sin(3x) = 3\cos^2 x \sin x - \sin^3 x.

整體而言,多倍角恆等式可以寫作

\cos(nx) = \sum_{k\text{ even}} (-1)^{k/2} {n \choose k}\cos^{n-k} x \sin^k x

\sin(nx) = \sum_{k\text{ odd}} (-1)^{(k-1)/2} {n \choose k}\cos^{n-k} x \sin^k x.

e級數[編輯]

數學常數e的定義爲下列極限值:[12]

e = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n.

使用二項式定理能得出

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 1 + {n \choose 1}\frac{1}{n} + {n \choose 2}\frac{1}{n^2} + {n \choose 3}\frac{1}{n^3} + \cdots + {n \choose n}\frac{1}{n^n}.

k項之總和為

{n \choose k}\frac{1}{n^k} \;=\; \frac{1}{k!}\cdot\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^k}

因為n → ∞,右邊的表達式趨近1。因此

\lim_{n\to\infty} {n \choose k}\frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!}.

這表明e可以表示為[13][14]

e = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots.

推廣[編輯]

該定理可以推廣到對任意實數次冪的展開,即所謂的牛頓廣義二項式定理

 (x + y)^\alpha = \sum _{k=0}^\infty {\alpha \choose k} x^{\alpha - k} y^k 。其中 {\alpha \choose k} = \frac{\alpha (\alpha-1) ... (\alpha - k +1)}{k!} = \frac{(\alpha)_k}{k!}

多項式展開[編輯]

對於多元形式的多項式展開,可以看做二項式定理的推廣:[15][16]
\left ( x_1+x_2+...+x_n \right )^{k}=\sum_{\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha _n=k}\frac{k!}{\alpha _1!...\alpha _n!}x_1^{\alpha _1}...x_n^{\alpha _n}.

證明:


數學歸納法。對元數n做歸納:
當n=2時,原式為二項式定理,成立。
假設對n-1元成立,則:

\left ( x_1+x_2+...+x_n \right )^{k}
= ((x_1+x_2+...+x_{n-1})+x_n)^{k}
= \sum_{\alpha _n=0}^{k}\frac{k!}{\alpha _n!\left ( k-\alpha_n \right )!}\left ( x_1+x_2+...+x_{n-1} \right )^{k-\alpha _n}x_n^{\alpha _n}
= \sum_{\alpha _n=0}^{k}\frac{k!}{\alpha _n!\left ( k-\alpha_n \right )!}\sum_{\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha _{n-1}=k-\alpha _n}\frac{\left ( k-\alpha _n \right )!}{\alpha _1!...\alpha _{n-1}!}x_1^{\alpha _1}...x_{n-1}^{\alpha _{n-1}}x_n^{\alpha _n}
= \sum_{\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha _n=k}\frac{k!}{\alpha _1!...\alpha _n!}x_1^{\alpha _1}...x_n^{\alpha _n}
證畢

參見[編輯]

參考文獻[編輯]

  1. ^ Binomial Expansions - leeds uk
  2. ^ Roman, Steven "The Umbral Calculus", Dover Publications, 2005, ISBN 0-486-44129-3
  3. ^ Devlin, Keith, The Unfinished Game: Pascal, Fermat, and the Seventeenth-Century Letter that Made the World Modern, Basic Books; 1 edition (2008), ISBN 978-0-465-00910-7, p. 24.
  4. ^ Binomial Theorem - wolfram mathworld
  5. ^ The Story of the Binomial Theorem by J. L. Coolidge, The American Mathematical Monthly 56:3 (1949), pp. 147–157
  6. ^ 6.0 6.1 O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji//MacTutor History of Mathematics archive 
  7. ^ Landau, James A. Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] Pascal's Triangle (mailing list email). Archives of Historia Matematica. 1999-05-08 [2007-04-13]. 
  8. ^ Bourbaki: History of mathematics
  9. ^ The Geometry of the Binomial Theorem The Geometry of the Binomial Theorem - Math Awareness
  10. ^ Błaszczyk, Piotr; Katz, Mikhail; Sherry, David, Ten misconceptions from the history of analysis and their debunking, Foundations of Science, 2012, arXiv:1202.4153, doi:10.1007/s10699-012-9285-8 
  11. ^ Multiple-Angle Formulas - MathWorld
  12. ^ The Constant e - NDE/NDT Resource Center
  13. ^ Series - NTEC
  14. ^ Encyclopedic Dictionary of Mathematics 142.D
  15. ^ 多項式定理的新證明及其展開 - 佛山科學技術學院信息科學與數學系
  16. ^ Multinomial coefficient//Hazewinkel, Michiel (編), 數學百科全書, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 

參考書目[編輯]

  • Bag, Amulya Kumar. Binomial theorem in ancient India. Indian J. History Sci. 1966, 1 (1): 68–74. 
  • Barth, Nils R. (November 2004). "Computing Cavalieri's Quadrature Formula by a Symmetry of the n-Cube". The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 111 (9): 811–813. doi:10.2307/4145193. ISSN 0002-9890. JSTOR 4145193, author's copy, further remarks and resources
  • Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren. (5) Binomial Coefficients. Concrete Mathematics 2nd. Addison Wesley. 1994: 153–256. ISBN 0-201-55802-5. OCLC 17649857. 

外部連結[編輯]

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