五角星

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一顆五角星

五角星,又稱五芒星,是指一種有五隻尖角,並以五條直線畫成的星星圖形。英文「五角星」(pentagram)一詞出於希臘語πεντάγραμμος」(pentagrammos)或「πεντέγραμμος」(pentegrammos)的名詞形式「πεντάγραμμον」(pentagrammon),原意大概是「五條直線的」或「五條線」。而中文「五角星」的意義則顯而易見,指有五隻角的星形。然而,中文「五角星」不一定指本文所談論的「標準」五角星。中文「五角星」一詞有時亦泛指所有有五隻角的星形物。

本文以下所討論的五角星是指「標準」五角星。即正五角星。

幾何[編輯]

含有黃金分割的正五邊形

五角星是邊數最少多角形。最簡單畫它的方法是先畫一個正五邊形,把各角和其對角用直線相連,並擦去原來的五邊形。也可以延長原五邊形的各邊直到它們相交,從而得到一個大的五角星。

黃金分割比(golden ratio),\varphi = (1 + \sqrt{5})/2 = 1.618 \cdots,滿足:

\varphi=1+2\sin(\pi/10)=1+2\sin 18^\circ\,
\varphi=1/(2\sin(\pi/10))=1/(2\sin 18^\circ)\,
\varphi=2\cos(\pi/5)=2\cos 36^\circ\,

在正五邊形和五角星中扮演一個重要的角色。每條邊都被分割成幾段小的線段,如果用一對線段中較長線段的長度除以較短線段的長度將得到\varphi

\varphi =
紅色 藍色 綠色
藍色 綠色 紫色

大五邊形的一條邊與一條藍色線段等長,同樣的小五角星的一條對角線與一條綠色線段等長。

如果線段有長度(線條),那圖中就有兩個相似的正五邊形。「線段」怎樣,線條就怎樣,並且它們的交點也可能變化。例如,在摩洛哥的國旗上,綠色五角星有一個黑色的外輪廓,它不「穿過」相交的線條。這跟衣索比亞國旗上五角星中的完全黃色和沒有外輪廓,是不一樣的。

一些相關幾何值[編輯]

\sin \frac{\pi}{10} = \sin 18^\circ = \frac{\sqrt 5 - 1}{4}=(\varphi-1)/2=1/(2\varphi)
\cos \frac{\pi}{10} = \cos 18^\circ = \frac{\sqrt{2(5 + \sqrt 5)}}{4}
\tan \frac{\pi}{10} = \tan 18^\circ = \frac{\sqrt{5(5 - 2 \sqrt 5)}}{5}
\cot \frac{\pi}{10} = \cot 18^\circ = \sqrt{5 + 2 \sqrt 5}
\sin \frac{\pi}{5} = \sin 36^\circ = \frac{\sqrt{2(5 - \sqrt 5)} }{4}
\cos \frac{\pi}{5} = \cos 36^\circ = \frac{\sqrt 5+1}{4} = \varphi/2
\tan \frac{\pi}{5} = \tan 36^\circ =  \sqrt{5 - 2\sqrt 5}
\cot \frac{\pi}{5} = \cot 36^\circ = \frac{ \sqrt{5(5 + 2\sqrt 5)}}{5}

因此,在一個有一個或兩個36°角的等腰三角形里,兩邊中較長邊的長度,是較短邊的\phi倍,無論是銳角三角形或者鈍角三角形

國旗上的五角星[編輯]

摩洛哥國旗

有許多國家的國旗設計都包含五角星:如衣索比亞摩洛哥越南朝鮮中華人民共和國美國馬來西亞等等。很多時候,五角星的中間被填滿,移除了五角形和五個等腰三角形之間的分界。Ivan Sache 指出,摩洛哥國旗上的五角星代表神和摩洛哥國之間的聯繫。[1]

其他方面[編輯]

晴明紋
  • 五角星被很多國家的軍隊作為軍官(尤其是高級軍官)的軍銜標誌使用。
  • 一直以來,五角星都與對金星維納斯的崇拜有密切關係。造成這關係的各個可能原因中,最可信的是史前天文學家的觀察。由地球望去,圍著太陽的金星軌道每八年重覆一次。它自成的五個交叉點恰好畫出一個近乎完美的五角星。
  • 古希臘巴比倫,五角星也有特殊的象徵意義。五角星是魔術的代表符號,是非猶太教徒的符號。初期基督教會亦有用五角星代表耶穌的五個傷口,但現在則多代表異教徒和撒但主義者。
  • 五角星在魔法中是一種特別的圖形,用正的五角星作魔法陣白魔法,用倒的五角星則是象徵黑魔法
  • 而在東方陰陽五行裡面,五行相生相剋的連線剛好是五角星。在日本,安倍晴明使用桔梗紋變形的五芒星,被稱為桔梗印,現在是晴明神社神紋
  • 從最直觀的方面看,五角星是最類似人形的多邊形。
  • 倒五芒星可以是代表魔鬼。

參考[編輯]

  1. ^ Moroccan flag on Flagspot.net accessed on 10 February, 2006.

另見[編輯]

外部連結[編輯]