五邊形

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正五邊形
Pentagon.svg
一個正五邊形
類型 正多邊形
5
頂點 5
對角線 5
施萊夫利符號 {5}
Coxeter diagram CDW ring.svgCDW 5.svgCDW dot.svg
對稱群 二面體群 (D5), order 2×5
面積 5
4
a2cotπ
5

1.720477400589a2
內角 () 108°
內角和 540°
對偶 正五邊形 (本身)
特性 , 圓內接多邊形, 等邊多邊形, 等角多邊形, isotoxal

五邊形幾何學上指所有有五條邊及五隻角的多邊形

正五邊形,是正多邊形的一種,有五條邊,且所有邊長均相等,每個內角均為108度。

將正五邊形的對角線連起來,可以造成一個五角星。組成的圖形裏可以找到一些和黃金分割(φ = (1+√5)/2)有關的長度。

面積[編輯]

正五邊形[編輯]

邊長為a的正五邊形,其面積就是\frac{5a^2}{4}\cot \frac{\pi}{5} \simeq 1.72048 a^2

一般五邊形[編輯]

構造一個正五邊形[編輯]

前300年歐幾里得在他的《幾何原本》中描述了一個用直尺和圓規做出正五邊形的過程。

Geom pentagon.png

Regular Pentagon Inscribed in a Circle.gif

  1. 畫一條水平線,通過此線上的任意點做一個
  2. 將圓規的一腿放在圓與直線的其一交點上,通過上述圓的圓心畫半圓,並與之交兩點。連接這兩點做垂直線,與先前的水平線相交與(a)點.
  3. 張開圓規,以水平線與第一個圓的兩個交點為圓心以相同半徑在水平線上下第一個圓外分別做兩個交點,這樣可以得到一條通過第一個圓圓心的正交線,與第一個圓相交的位於水平線上方的點稱之為(b).這是正五邊形的第一個角。
  4. 將圓規的一腳放在(a)點上,(a)(b)間距為半徑做另一個圓,交水平線於點(c)。
  5. 將圓規的一腳放在(b)點上,(b)(c)間距為半徑做圓,交第一個圓於兩點,這是正五邊形的第二、三兩點。
  6. 將圓規的一腳分別放在二、三兩點上,同樣是(b)(c)間距為半徑交第一個圓於另外兩點,這兩點就是正五邊形的最後兩點。
  7. 連接相鄰兩點就構成了正五邊形。
  8. 如果不是連接相鄰兩點(即對角線連接),就會得到一個五角星,在它的中間構成一個小的正五邊形。或者延長每一邊,得到一個大的正五角星。