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代數

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代數是一個較為基礎的數學分支。它的研究對象有許多。諸如數量、代數式、關係方程理論代數結構等等都是代數學的研究對象。

初等代數一般在中學時講授,介紹代數的基本思想:研究當我們對數字加法乘法時會發生什麼,以及了解變數的概念和如何建立多項式並找出它們的

代數的研究對象不僅是數字,還有各種抽象化的結構。例如整數集作為一個帶有加法、乘法和序關係的集合就是一個代數結構。在其中我們只關心各種關係及其性質,而對於「數本身是甚麼」這樣的問題並不關心。常見的代數結構類型有、環、線性空間等。

歷史[編輯]

希臘數學家歐幾里得在其著作幾何原本中詳述幾何性的代數。

代數的起源可以追溯到古巴比倫的時代[1],當時的人們發展出了較之前更進步的算術系統,使其能以代數的方法來做計算。經由此系統的被使用,他們能夠列出含有未知數的方程並求解,這些問題在今日一般是使用線性方程二次方程不定線性方程等方法來解答的。相對地,這一時期大多數的埃及人及西元前1世紀大多數的印度希臘中國等數學家則一般是以幾何方法來解答此類問題的,如在萊因德數學紙草書繩法經幾何原本九章算術等書中所描述的一般。希臘在幾何上的工作,以幾何原本為其經典,提供了一個將解特定問題解答的公式廣義化成描述及解答方程之更一般的系統之架構。

代數(algebra)導源於阿拉伯語單字「al-jabr」,其出自 al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala這本書的書名上,意指移項和合並同類項之計算的摘要,其為波斯回教數學家花拉子米於820年所著。Al-Jabr此詞的意思為「重聚」。傳統上,希臘數學家丟番圖被認為是「代數之父」,但現在則有著花拉子米是否應該從丟番圖中取得此稱號的爭議。[2]支持花拉子米的人指出其對於約化的成果到今日都還有用途,且他更給出了一個解答二次方程的一詳盡說明。而支持丟番圖的人則主張在Al-Jabr裡出現的代數比在Arithmetica裡出現的更為基本,且Arithmetica是簡字的而Al-Jabr卻完全是文辭的。[3]另一位波斯數學家歐瑪爾·海亞姆發展出代數幾何出,且找出了三次方程的一般幾何解法。印度數學家摩訶吠羅婆什迦羅與中國數學家朱世傑解出了許多三次、四次五次及更高次多項式方程的解了。

代數更進一步發展的另一個關鍵事件在於三次及四次方程的一般代數解,其發展於16世紀中葉。行列式的概念發展於17世紀的日本數學家關孝和手中,並於十年後由萊布尼茨繼續發展著,其目的是為了以矩陣來解出線性方程組的答案來。加布里爾·克拉默也在18世紀時在矩陣和行列式上做了一樣的工作。抽象代數的發展始於19世紀,一開始專注在今日稱為伽羅瓦理論規矩數的問題上。

發展歷程[編輯]

符號代數發展的階段可大致區分如下:

  • 文辭代數,其發展於巴比倫時期,且直至16世紀都還維持著其主流的地位;
  • 幾何建構代數,被吠陀時期和古典希臘數學家們所強調著;
  • 簡字代數,由丟番圖所發展並寫於巴赫沙裏手稿中;及
  • 符號代數,於萊布尼茨的工作中達到其尖峰。
丟番圖著的Arithmetica1621年版的封面,由梅齊里亞克翻成拉丁文

代數數個關鍵的發展的時間軸,表述如下:

  • 西元前1800年左右,舊巴比倫斯特拉斯堡泥板書中記述其尋找著二次橢圓方程的解法。
  • 西元前1600年左右,普林頓322號泥板書中記述了以巴比倫楔形文字寫成的勾股數列表。
  • 西元前800年左右,印度數學家包德哈亞那在其著作包德哈爾那繩法經中以代數方法找到了勾股數,給出了線性方程和如ax2 = c與ax2 + bx = c等形式之二次方程的幾何解法,且找出了兩組丟番圖方程組的正整數解。
  • 西元前600年左右,印度數學家阿帕斯檀跋在其著作'阿帕斯檀跋繩法經中給出了一次方程的一般解法和使用多達五個未知數的丟番圖方程組。
  • 西元前300年左右,在幾何原本的第二卷裡,歐幾里德給出了有正實數根之二次方程的解法,使用尺規作圖的幾何方法。此一方法是基於幾何學中的畢達哥拉斯學派。
  • 西元前300年左右,加倍立方體問題的幾何解法被提了出來。現已知道此問題無法使用尺規作圖求解。
  • 西元前100年左右,中國數學書《九章算術》中處理了代數方程的問題,其包括用試位法解線性方程、二次方程的幾何解法及用相當於現今所用之消元法來解線性方程組。還應用一次內插法。
  • 西元前100年左右,寫於古印度巴赫沙裏手稿中使用了以字母和其他符號寫成的代數標記法,且包含有三次與四次方程,多達五個未知道的線性方程之代數解,二次方程的一般代數公式,以及不定二次方程與方程組的解法。
  • 西元150年左右,希臘化埃及數學家希羅在其三卷數學著作中論述了代數方程。
  • 200年左右,希臘化巴比倫數學人丟番圖,他居住於埃及且常被認為是「代數之父」,寫有一本著名的算術,此書為論述代數方程的解法及數論之作。
  • 不晚於473年,《孫子算經》提出中國餘數定理
  • 499年,印度數學家阿耶波多在其所著之阿耶波多書裡以和現代相同的方法求得了線性方程的自然數解,描述不定線性方程的一般整數解,給出不定線性方程組的整數解,而描述了微分方程
  • 600年劉焯編制《皇極曆》曾用等間距內插法[4]
  • 625年左右,中國數學家王孝通在《緝古算經》找出了三次方程的數值解。
  • 628年,印度數學家婆羅摩笈多在其所著之梵天斯普塔釋哈塔中,介紹了用來解不定二次方程的宇宙方法,且給出了解線性方程和二次方程的規則。他發現二次方程有兩個,包括負數無理數根。
  • 724年,僧一行用不等間距內插法計算《大衍曆》[5]
  • 820年,代數(algebra)導源於一個運算,其描述於波斯數學家花拉子米所著之Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala(意指移項和合並同類項之計算的摘要)中對於線性方程二次方程系統性的求解方法。花拉子米常被認為是「代數之父」,其大多數的成果簡化後會被收錄在書籍之中,且成為現在代數所用的許多方法之一。
  • 850年左右,波斯數學家al-Mahani相信可以將如加倍立方體問題等幾何問題變成代數上的問題。
  • 850年左右,印度數學家摩訶吠羅解出了許多二次、三次、四次、五次及更高次方程,以及不定二次、三次和更高次方程的解。
  • 990年左右,波斯阿爾卡拉吉在其所著之al-Fakhri中更進一步地以擴展花拉子米的方法論來發展代數,加入了未知數的整數次方及整數開方。他將代數的幾何運算以現代的算術運算代替,且定義了單項式x、x2、x3、…和1/x、1/x2、1/x3、…等並給出上述任兩個相乘的規則。
  • 1050年左右,中國數學家賈憲賈憲三角形找到了多項式方程的數值解。
  • 1072年,波斯數學家歐瑪爾·海亞姆發展出來代數幾何,且在Treatise on Demonstration of Problems of Algebra中給出了可以以圓錐曲線相交來得到一般幾何解之三次方程的完整分類。
  • 1090年左右,北宋科學家沈括在《夢溪筆談》中給出高階等差級數的和。|
  • 1114年,印度數學家婆什迦羅在其所著之代數學'中,認知到一正數會有正負兩個平方根,且解出一個以上未知數的二次方程、許多三次、四次及更高次多項式方程、佩爾方程、一般的不定二次方程,以及不定三次、四次及更高次方程。
  • 1150年,婆什迦拉在其所著之Siddhanta Shiromani中解出了微分方程。
  • 1202年,代數傳到了歐洲斐波那契所著的計算之書對此有很大的貢獻。
  • 1247年南宋數學家秦九韶在《數書九章》中用秦九韶演算法(即「霍納法演算法」)解一元高次方程。
  • 1248年,金朝數學家李治的《測圓海鏡》利用天元術將大量幾何問題化為一元多項式方程,是一部幾何代數化的代表作。
  • 1300年左右,中國數學家朱世傑處理了多項式代數,發明四元術解答了多達四個未知數的多項式方程組,發明非線性多元方程的消元法,將相關多項式進行乘法、加法和減法運算,逐步消元,將多元非線性方程組化為單個未知數的高次多項式方程;並以數值解出了288個四次、五次、六次、七次、八次、九次、十次、十一次、十二次、和十四次次多項式方程[6]。朱世傑發展了垛積術,給出多種高階等差級數求和公式。
  • 1400年左右,印度數學家瑪達瓦找到了以重複來求超越方程的解法,求非線性方程解的疊代法及微分方程的解法。
  • 1515年,費羅求得了沒有兩次項之三次方程的解。
  • 1535年,塔爾塔利亞求得了沒有一次項之三次方程的解。
  • 1545年,卡爾達諾出版了大術一書,書中給出了各種三次方程的解法和其學生費拉里對一特定四次方程的解法。
  • 1572年,拉斐爾·邦貝利認知到三次方程中的複根並改進了當時流行的符號。
  • 1591年,弗朗索瓦·韋達出版了分析方法入門一書,書中發展出了更為良好的符號標記,在未知數不同的次方上。並且使用母音來表示未知數而子音則用來表示常數。
  • 1631年,托馬斯·哈里奧特在其死後的出版品中使用了指數符號且首先以符號來表示「大於」和「小於」。
  • 1682年,萊布尼茨發展出他稱做一般性特徵(characteristica generalis)之形式規則的符號操作概念。
  • 1683年,日本數學家關孝和在其所著之Method of solving the dissimulated problems中發明了行列式判別式伯努利數
  • 1685年,關孝和解出了三次方程的通解,及一些四次與五次方程的解。
  • 1693年,萊布尼茨使用矩陣和行列式解出了線性方程組的解。
  • 1750年,加布里爾·克拉默在其所著之Introduction to the analysis of algebraic curves中描述了克萊姆法則且研究了代數曲線、矩陣和行列式。
  • 1830年,伽羅瓦理論埃瓦裡斯特·伽羅瓦對抽象代數的工作中得到發展。

分類[編輯]

初等代數[編輯]

初等代數是代數中最基本的一種類型。其教導對象為假定不具有對算術基本原則之類的數學知識之學生。雖然在算術裡,只有和其算術運算(如加減乘除)會出現,在代數,數則通常會以符號(如axy等)來標記。這是很有用的,因為:

  • 它允許對算術定律之一般性公式的描述(如a+b=b+a,∀a,b),且此為對實數性質做系統性描述的第一步。
  • 它允許指涉未知數、將方程公式化及學習如何去解答(如「找一數x,使其3x+1=10的方程成立)。
  • 它允許將函數關係公式化(如「若你賣了x張票,則你將獲利3x-10元,亦即f(x)=3x-10,其中f為其函數,且x為此函數輸入的值。」)。

抽象代數[編輯]

抽象代數將基本代數和算術中的一些相似概念延廣成更一般的概念。

集合:不單只考量的不同類型,抽象代數處理更為一般的概念-集合:一群稱為元素之物件的聚集。所有相似類型的數都是一種集合。另一些集合的例子有所有兩階方陣組成之集合、所有兩次多項式組成的集合、所有平面的二維向量所組之集合、及如如整數同餘n的群之循環群等各種有限群集合論邏輯的一個分支且技術上不屬於代數的一種分支。

二元運算加法(+)的概念被抽象化成了一種二元運算,稱之為*。對於在集合S內的兩個元素aba*b會給出集合內的另一個元素(技術上,此條件稱之為封閉性)。加法(+)、減法(-)、乘法(×)和除法(÷)都是二元運算,且矩陣、向量及多項式等之加法和乘法也是二元運算。

單位元素:零和一兩個數被抽象化成單位元素的概念。零是加法的單位元素而一則是乘法的單位元素。對於一任意的二元運算*,單位元素e必須得滿足a*e=ae*a=a兩個條件。其在加法中為a+0=a和0+a=a,而在乘法中則為a×1=a和1×a=a。但若取正自然數和加法,則其不存在有單位元素。

逆元素:負數導致出了逆元素的概念。對加法而言,a的逆元素為-a,而對乘法而言,其逆元素則為1/a。一通常之逆元素a-1必須滿足a*a-1=ea-1*a=e之性質。

結合律:整數的加法有一稱為結合律的性質。亦即,數相加的順序不影響其總和。例如:(2+3)+4=2+(3+4)。一般化地,其可以被寫成(a * b)* c = a *(b * c)。此一性質在大多數的二元運算中存在著,但不包括減法和除法。

交換律:整數的加法有一稱為交換律的性質。亦即,數被加的順序不影響其總和。例如:2+3=3+2。一般化地,其可以被寫成a * b = b * a。只有一些二元運算擁有此一性質。其在整數的加法和乘法上成立,但在矩陣乘法上則不成立。

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結合上面的概念可給出在數學中最重要的結構之一:。群為一個集合S和一二元運算*之結合,使其可有如下性質:

  • 此運算是封閉的:若abS之元素,則a*b也會是。
實際上,提及此性質是很多餘的,因為每一個二元運算都已經說過其運算為封閉了。但封閉性經常被強調為群的一種性質。
  • 存在單位元素e,使得對每個於S內的元素ae*aa*e都會等同於a
  • 每一元素都存在一逆元素:對每一於S內的元素a,存在一元素a-1,使得a * a-1a-1 * a都會等同於單位元素。
  • 此運算是可結合的:若abcS的元素,則(a * b)* c會等同於a *(b * c)。

若一群亦為可交換的-即對任兩個於S內的元素aba*b會等同於b*a-則此群稱為阿貝爾群

例如,加法的運算下之整數集合為一個群。在此一群中,其單位元素是0且其任一元素a的逆元素為其負數-a。其有關結合律的要求亦是吻合的,因為對任何整數abc,(a + b) + c = a +(b + c)。

非零有理數會形成一個於乘法下的群。在此,其單位元為1,當對於任一有理數a,1 × a = a × 1 = aa的逆元素為1/a,當a × 1/a = 1。

但無論如何,於乘法運算下的整數不會形成一個群。這是因此一整數的乘法逆元通常不會是一個整數。例如,4是一個整數,但其乘法逆元為1/4,不為一個整數。

群的理論被學習於群論中。此一理論的一主要成果為有限簡單群分類,主要發表於1955年至1983年之間,其目的在於將所有的有限簡單群分類至約30種的基本類型中。

例子
Set: 自然數\mathbb{N} 整數\mathbb{Z} 有理數\mathbb{Q}實數\mathbb{R}複數\mathbb{C} 整數同餘3: {0,1,2}
運算 + ×(不含零) + ×(不含零) + ×(不含零) ÷(不含零) + ×(不含零)
封閉性
單位元素 0 1 0 1 0 NA 1 NA 0 1
逆元素 NA NA -a NA -a a \begin{matrix} \frac{1}{a} \end{matrix} a 分別為0,2,1 分別為NA, 1, 2
結合律
交換律
結構 么半群 么半群 阿貝爾群 么半群 阿貝爾群 擬群 阿貝爾群 擬群 阿貝爾群 阿貝爾群(\mathbb{Z}_2

半群擬群么半群是類似於群的結構,但更具一般性。它們由一個集合和一個封閉二元運算所組成,但不必然滿足其他條件。半群有一結合二元運算,但沒有單位元素。么半群是一有單位元素但可能沒有每個元素之逆元素的半群。擬群滿足任一元素皆以一唯一的前或後運算轉換成另一元素,但此一二元運算可能不具結合律。

所有的群都是么半群,且所有的么半群都是半群。

環和體-具兩個二元運算的結構[編輯]

群只有一個二元運算。但為了完整說明不同類型的數之行為,具兩個運算子的結構是需要的。其中最重要的為

分配律廣義化了數中的分配律,且要求其運算子運算時應採之順序(稱為優先權)。對於整數而言,(a + b) × c = a×c+ b×cc × (a + b) = c×a + c×b,而且×稱之此於+上是可分配的。

有兩個二元運算(+)和(×),其中×於+上是可分配的。在第一個運算(+)下,它會形成一個阿貝爾群。而在第二個運算(×)下,其為結合的,但不需要有一單位元素或逆元素,所以除法是不被允許的。其加法(+)單位元寫成0,而其a的加法逆元則寫成-a

整數是環的一個例子。其有使其為一整環的額外性質。

是一具有在運算×下,除了0的所有元素會形成一阿貝爾群之額外性質的。其乘法(×)單位元素寫成1,而其a的乘法逆元則寫成a-1

有理數、實數和複數都是體的例子。

代數[編輯]

代數一詞亦可用來稱呼不同的代數結構,包含有:

參見[編輯]

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參考文獻[編輯]

  1. ^ Struik, Dirk J. (1987). A Concise History of Mathematics. New York: Dover Publications.
  2. ^ Carl B. Boyer, A History of Mathematics, Second Edition (Wiley, 1991), pages 178, 181
  3. ^ Carl B. Boyer, A History of Mathematics, Second Edition (Wiley, 1991), page 228
  4. ^ 李儼 《劉焯的內插法計算》《李儼.錢寶琮科學史全集》卷3 111-112頁
  5. ^ 李儼《中算家的內插法研究》《李儼.錢寶琮科學史全集》卷2 290頁
  6. ^ 吳文俊主編《中國數學史大系》第六卷第四編《朱世傑的數學成就》246-247頁

外部連結[編輯]