偏導數

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微積分學
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函數 · 導數 · 微分 · 積分

數學中,一個多變數的函數的偏導數是它關於其中一個變數的導數,而保持其他變數恆定(相對於全導數,在其中所有變數都允許變化)。偏導數在向量分析微分幾何中是很有用的。

函數f關於變數x的偏導數寫為f_x^{\prime}\frac{\partial f}{\partial x}。偏導數符號\partial是圓體字母[來源請求],區別於全導數符號的正體 d。 這個符號是阿德里安-馬里·勒讓德引入的並在雅可比的重新引入後得到普遍接受。

簡介[編輯]

假設ƒ是一個多元函數。例如:

 z = f(x, y) = x^2 + xy + y^2
f = x2 + xy + y2的圖像。我們希望求出函數在點(1, 1, 3)的對x的偏導數;對應的切線與xOz平面平行。

因為曲面上的每一點都有無窮多條切線,描述這種函數的導數相當困難。偏導數就是選擇其中一條切線,並求出它的斜率。通常,最感興趣的是垂直於y軸(平行於xOz平面)的切線,以及垂直於x軸(平行於yOz平面)的切線。

這是右圖中y = 1時的圖像片段。

一種求出這些切線的好辦法是把其他變數視為常數。例如,欲求出以上的函數在點(1, 1, 3)的與xOz平面平行的切線。右圖中顯示了函數的圖像以及這個平面。左圖中顯示了函數在平面y = 1上是什麼樣的。我們把變數y視為常數,通過對方程求導,我們發現ƒ在點(x, y, z)的。我們把它記為:

\frac{\partial z}{\partial x} = 2x+y

於是在點(1, 1, 3)的與xOz平面平行的切線的斜率是3。

\frac{\part f}{\part x} = 3

在點(1, 1, 3),或稱「f在(1, 1, 3)的關於x的偏導數是3」。

定義[編輯]

函數f可以解釋為y為自變數而x為常數的函數:

f(x,y) = f_x(y) = \,\! x^2 + xy + y^2

也就是說,每一個x的值定義了一個函數,記為fx,它是一個一元函數。也就是說:

f_x(y) = x^2 + xy + y^2

一旦選擇了一個x的值,例如a,那麼f(x,y)便定義了一個函數fa,把y映射到a2 + ay + y2

f_a(y) = a^2 + ay + y^2

在這個表達式中,a常數,而不是變數,因此fa是只有一個變數的函數,這個變數是y。這樣,便可以使用一元函數的導數的定義:

f_a'(y)= a + 2y

以上的步驟適用於任何a的選擇。把這些導數合併起來,便得到了一個函數,它描述了fy方向上的變化:

\frac{\part f}{\part y}(x,y) = x + 2y

這就是f關於y的偏導數,在這裡,∂是一個彎曲的d,稱為偏導數符號。為了把它與字母d區分,∂有時讀作「der」、「del」、「dah」或「偏」,而不是「dee」。

一般地,函數f(x1,...,xn)在點(a1,...,an)關於xi的偏導數定義為:

\frac{\part f}{\part x_i}(a_1,\ldots,a_n) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a_1,\ldots,a_i+h,\ldots,a_n) - f(a_1,\ldots,a_n)}{h}

在以上的差商中,除了xi以外的所有變數都是固定的。這個固定值的選擇決定了一個一元函數f_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}(x_i) = f(a_1,\ldots,a_{i-1},x_i,a_{i+1},\ldots,a_n),根據定義,

\frac{df_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}}{dx_i}(a_1,\ldots,a_n) = \frac{\part f}{\part x_i}(a_1,\ldots,a_n)

這個表達式說明了偏導數的計算可以化為一元導數的計算。

多變數函數的一個重要的例子,是歐幾里德空間Rn(例如R2R3)上的純量值函數f(x1,...xn)。在這種情況下,f關於每一個變數xj具有偏導數∂f/∂xj。在點a,這些偏導數定義了一個向量:

\nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right)

這個向量稱為f在點a梯度。如果f在定義域中的每一個點都是可微的,那麼梯度便是一個向量值函數∇f,它把點a映射到向量∇fa)。這樣,梯度便決定了一個向量場

一個常見的符號濫用是在歐幾里得空間R3中用單位向量 \mathbf{\hat{i}}, \mathbf{\hat{j}}, \mathbf{\hat{k}}來定義Nabla算子 (∇) 如下:

\nabla = \bigg[{\frac{\partial}{\partial x}} \bigg] \mathbf{\hat{i}} + \bigg[{\frac{\partial}{\partial y}}\bigg] \mathbf{\hat{j}} + \bigg[{\frac{\partial}{\partial z}}\bigg] \mathbf{\hat{k}}

或者,更一般地,對於n維歐幾里得空間Rn 的坐標(x1, x2, x3,...,xn)和單位向量(\mathbf{\hat{e}_1}, \mathbf{\hat{e}_2}, \mathbf{\hat{e}_3}, \dots , \mathbf{\hat{e}_n}):

\nabla = \sum_{j=1}^n \bigg[{\frac{\partial}{\partial x_j}}\bigg] \mathbf{\hat{e}_j} = \bigg[{\frac{\partial}{\partial x_1}}\bigg] \mathbf{\hat{e}_1} + \bigg[{\frac{\partial}{\partial x_2}}\bigg] \mathbf{\hat{e}_2} + \bigg[{\frac{\partial}{\partial x_3}}\bigg] \mathbf{\hat{e}_3} + \dots + \bigg[{\frac{\partial}{\partial x_n}}\bigg] \mathbf{\hat{e}_n}

例子[編輯]

圓錐的體積與它的高度和半徑有關

考慮一個圓錐體積V;它與高度h半徑r有以下的關係:

V(r, h) = \frac{\pi r^2 h}{3}

V關於r的偏導數為:

\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2 \pi r h}{3}

它描述了高度固定而半徑變化時,圓錐的體積的變化率。V關於h的偏導數為:

\frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{\pi r^2}{3}

它描述了半徑固定而高度變化時,圓錐的體積的變化率。

現在考慮V關於rh全導數。它們分別是:

\frac{\operatorname dV}{\operatorname dr} = \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r} + \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h}\frac{\partial h}{\partial r}

以及

\frac{\operatorname dV}{\operatorname dh} = \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h} + \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial h}

現在假設,由於某些原因,高度和半徑的比k需要是固定的:

k = \frac{h}{r} = \frac{\partial h}{\partial r}

這便給出了關於r的全導數:

\frac{\operatorname dV}{\operatorname dr} = \frac{2 \pi r h}{3} + k\frac{\pi r^2}{3}

可以化簡為:

\frac{\operatorname dV}{\operatorname dr} = k\pi r^2

類似地,關於h的全導數是:

\frac{\operatorname dV}{\operatorname dh} = k\pi r^2

含有未知函數的偏導數的方程,稱為偏微分方程,它在物理學工程學,以及其它應用科學中經常會見到。

與關於rh二者相關的全導數是由雅可比矩陣給出的,它的形式為梯度向量\nabla V =(\frac{\partial V}{\partial r},\frac{\partial V}{\partial h}) = (\frac{2}{3}\pi rh, \frac{1}{3}\pi r^2)

記法[編輯]

在以下的例子中,設fxyz的函數。

f的一階偏導數為:

\frac{ \partial f}{ \partial x} = f_x = \partial_x f

二階偏導數為:

\frac{ \partial^2 f}{ \partial x^2} = f_{xx} = \partial_{xx} f

二階混合偏導數為:

\frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) = f_{xy} = \partial_{yx} f

高階偏導數為:

\frac{ \partial^{i+j+k} f}{ \partial x^i\, \partial y^j\, \partial z^k } = f^{(i, j, k)}

當處理多變數函數時,有些變數可能互相有關,這樣就需要明確指定哪些變數是固定的。在諸如統計力學的領域中,f關於x的偏導數,把yz視為常數,通常記為:

\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_{y,z}

正式定義和性質[編輯]

像導數一樣,偏導數也是定義為一個極限。設URn的一個開子集f : UR是一個函數。我們定義f在點a = (a1, ..., an) ∈ U關於第i個變數xi的偏導數為:

\frac{ \partial }{\partial x_i }f(\mathbf{a}) =
\lim_{h \rightarrow 0}{
f(a_1, \dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) -
f(a_1, \dots ,a_n) \over h }

即使在某個給定的點a,所有的偏導數∂f/∂xi(a)都存在,函數仍然不一定在該點連續。然而,如果所有的偏導數在a的一個鄰域內存在並連續,那麼f在該鄰域內完全可微分,且全導數是連續的。在這種情況下,我們稱f是一個C1函數。

偏導數\frac{\partial f}{\partial x}可以視為定義在U內的另外一個函數,並可以再次求偏導數。如果所有的混合二階偏導數在某個點(或集合)連續,我們便稱f為在該點(或集合)的一個C2函數;在這種情況下,根據克萊羅定理,偏導數可以互相交換:

\frac{\partial^2f}{\partial x_i\, \partial x_j} = \frac{\partial^2f} {\partial x_j\, \partial x_i}

參見[編輯]

參考文獻[編輯]

  • George B. Thomas & Ross L. Finney. Calculus and Analytic Geometry. Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 1994: 833–840. ISBN 0-201-52929-7.