本頁使用了標題或全文手工轉換

傅立葉級數

維基百科,自由的百科全書
(已重新導向自 傅立叶级数)
前往: 導覽搜尋
以傅里葉級數模擬非正弦曲線的方波,經常運用於電子訊號的處理。

數學中,傅立葉級數Fourier transform, 英語發音:/ˈfɔəri/)是把類似波的函數表示成簡單正弦波的方式。更正式地說,它能將任何周期函數或周期訊號分解成一個(可能由無窮個元素組成的)簡單振蕩函數的集合,即正弦函數餘弦函數(或者,等價地使用複指數)。離散時間傅立葉變換是一個周期函數,通常用定義傅立葉級數的項進行定義。另一個應用的例子是Z變換,將傅立葉級數簡化為特殊情形 |z|=1。傅立葉級數也是取樣定理原始證明的核心。傅立葉級數的研究是傅立葉分析的一個分支。

歷史[編輯]

傅里葉級數得名於法國數學家約瑟夫·傅里葉(1768年–1830年),他提出任何函數都可以展開為三角級數。此前數學家如拉格朗日等已經找到了一些非週期函數的三角級數展開,而認定一個函數有三角級數展開之後,通過積分方法計算其係數的公式,歐拉達朗貝爾克萊羅早已發現,傅里葉的工作得到了丹尼爾·伯努利的贊助[1]。傅里葉介入三角級數用來解熱傳導方程,其最初論文在1807年經拉格朗日拉普拉斯勒讓德評審後被拒絕出版,他的現在被稱為傅里葉逆轉定理英語Fourier inversion theorem的理論後來發表於1820年的《熱的解析理論》中。將週期函數分解為簡單振盪函數的總和的最早想法,可以追溯至公元前3世紀古代天文學家的均輪和本輪學說。

傅立葉級數在數論組合數學訊號處理、機率論、統計學、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。

定義[編輯]

在這一節中,s(x) 表示實變量 x 的一個函數,且 s 在 [x0x0 + P] 上可積,x0 和 P 為實數。我們將嘗試用諧波關係的正弦函數的無窮和或級數來表示該區間內的  s 。在區間外,級數以 P 為周期(頻率為 1/P)。若 s 也具有該性質,則它的近似在整個實數線上有效。我們可以從有限求和(或部分和)開始:

s_N(x) = \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^N A_n\cdot \sin(\tfrac{2\pi nx}{P}+\phi_n), \quad \scriptstyle \text{for integer}\ N\ \ge\ 1.

s_N(x)  為周期為 P 的周期函數。運用恆等式:

\sin(\tfrac{2\pi nx}{P}+\phi_n) \equiv \sin(\phi_n) \cos(\tfrac{2\pi nx}{P}) + \cos(\phi_n) \sin(\tfrac{2\pi nx}{P})
\sin(\tfrac{2\pi nx}{P}+\phi_n) \equiv \text{Re}\left\{\frac{1}{i}\cdot e^{i \left(\tfrac{2\pi nx}{P}+\phi_n\right)}\right\} = \frac{1}{2i}\cdot e^{i \left(\tfrac{2\pi nx}{P}+\phi_n\right)} +\left(\frac{1}{2i}\cdot e^{i \left(\tfrac{2\pi nx}{P}+\phi_n\right)}\right)^*,
函數 s(x) (紅色)是六個不同振幅的諧波關係的正弦函數的和。它們的和叫做傅立葉級數。傅立葉變換 S(f) (藍色),針對振幅與頻率進行描繪,顯示出6種頻率和它們的振幅。

我們還可以用這些等價形式書寫這個函數:


\begin{align}
s_N(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^N \left(\overbrace{a_n}^{A_n \sin(\phi_n)} \cos(\tfrac{2\pi nx}{P}) + \overbrace{b_n}^{A_n \cos(\phi_n)} \sin(\tfrac{2\pi nx}{P})\right)\\
&= \sum_{n=-N}^N c_n\cdot e^{i \tfrac{2\pi nx}{P}},
\end{align}

其中:

c_n \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \begin{cases}\frac{A_n}{2i} e^{i\phi_n} = \frac{1}{2}(a_n - i b_n) & \text{for } n > 0 \\\frac{1}{2}a_0 & \text{for }n = 0\\c_{|n|}^*  & \text{for } n < 0.\end{cases}

當係數(即傅立葉係數)以下面方式計算時:[2]

a_n = \frac{2}{P}\int_{x_0}^{x_0+P} s(x)\cdot  \cos(\tfrac{2\pi nx}{P})\ dx

b_n = \frac{2}{P}\int_{x_0}^{x_0+P} s(x)\cdot  \sin(\tfrac{2\pi nx}{P})\ dx

            c_n = \frac{1}{P}\int_{x_0}^{x_0+P} s(x)\cdot e^{-i \tfrac{2\pi nx}{P}}\ dx,

s_N(x)  在 [x_0,\ x_0+P] 近似了 s(x) ,該近似程度會隨著 N → ∞ 逐漸改善。這個無窮和 s_{\infty}(x) 叫做 s 的傅立葉級數表示。在工程應用中,一般假定傅立葉級數除了在不連續點以外處處收斂,原因是工程上遇到的函數比數學家提供的這個假定的反例表現更加良好。特別地,傅立葉級數絕對收斂且均勻收斂於 s(x),只要在 s(x) 的導數(或許不會處處存在)是平方可積的。[3]  如果一個函數在區間 [x0, x0+P]上是平方可積的,那麼此傅立葉級數在幾乎所有點都收斂於該函數。傅立葉級數的收斂性取決於函數有限數量的極大值和極小值,這就是通常稱為傅立葉級數的狄利克雷條件。參見傅立葉級數的收斂性英語Convergence of Fourier series之一。對於廣義函數或分布也可以用範數或弱收斂英語Weak convergence (Hilbert space)定義傅立葉係數.

例1:一個簡單的傅立葉級數[編輯]

鋸齒波周期函數的圖
前五個部分傅立葉級數的動態圖

我們現在用上面的公式給出一個簡單函數的傅立葉級數展開式。考慮一個鋸齒波

s(x) = \frac{x}{\pi}, \quad \mathrm{for } -\pi < x < \pi,
s(x + 2\pi k) = s(x), \quad \mathrm{for } -\infty < x < \infty \text{ and } k \in \mathbb{Z} .

在這種情況下,傅立葉級數為

\begin{align}a_n &{} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}s(x) \cos(nx)\,dx = 0, \quad n \ge 0. \\b_n &{} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}s(x) \sin(nx)\, dx\\&= -\frac{2}{\pi n}\cos(n\pi) + \frac{2}{\pi^2 n^2}\sin(n\pi)\\&= \frac{2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}, \quad n \ge 1.\end{align}

可以證明,當 s 可微時,傅立葉級數在每個點 x 都收斂於 s(x),於是:

   

\begin{align}s(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos\left(nx\right)+b_n\sin\left(nx\right)\right] \\&=\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx), \quad \mathrm{for} \quad x - \pi \notin 2 \pi \mathbf{Z}.\end{align}

 

 

 

 

(Eq.1)

   

x = π 時,傅立葉級數收斂於 0,為在 x = π 處 s 的左極限和右極限之和的一半。這是傅立葉級數的狄利克雷定理的特例。

金屬板內的熱分布,使用傅立葉方法求解

這個例子為我們引出了巴塞爾問題的一種解法。

例2:傅立葉誘導[編輯]

例1中我們的函數的傅立葉級數展開式看起來不比 s(x) = x/π 簡單,因此人們需要傅立葉級數的原因也就不會立即顯現出來。但還有很多應用,我們舉用傅立葉誘導解熱方程式的例子。考慮邊長為 π 米的方形金屬版,座標為 (xy) ∈ [0, π] × [0, π]。如果板內沒有熱源,並且四個邊中三個都保持在 0 攝氏度,而第四條邊 y = π,對於 x 屬於 (0, π),保持在溫度梯度 T(xπ) = x 攝氏度,於是可以證明穩態熱分布(或者說在很長一段時間過去後的熱分布)為

T(x,y) = 2\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx) {\sinh(ny) \over \sinh(n\pi)}.

這裡,sinh 為雙曲正弦函數。熱方程的這個解是通過將 Eq.1 的每一項乘以 sinh(ny)/sinh(nπ) 得到的。我們示例的函數 s(x) 的傅立葉級數似乎很複雜,熱分布 T(xy) 是非平凡的。函數 T 不能寫成解析解。用傅立葉的方法卻可以求解這個熱分布問題。

延伸[編輯]

希爾伯特空間的解讀[編輯]

正弦和餘弦形成了正交集合。正弦、餘弦及其乘積的積分,當mn不同或二函數不同時是0(綠色和紅色區域相等抵消),僅當mn相等並且函數相同時為π。

所謂的兩個不同向量正交是指它們的內積為0,這也就意味著這兩個向量之間沒有任何相關性,例如,在三維歐氏空間中,互相垂直的向量之間是正交的。事實上,正交是垂直在數學上的一種抽象化和一般化。一組n個互相正交的向量必然是線性獨立的,所以必然可以張成一個n維空間,也就是說,空間中的任何一個向量可以用它們來線性表出。

希爾伯特空間釋義下,函數的集合{en = einx; nZ}是[−π, π]平方可積函數L2([−π, π])的正交基。這個空間實際上是一個希爾伯特空間,有著針對任何兩個的元素fg的如下內積:

\langle f,\, g \rangle \;\stackrel{\mathrm{def}}{=} \; \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\overline{g(x)}\,dx.

三角函數族的正交性用公式表示出來就是:

\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\, \cos(nx)\, dx = \pi \delta_{mn}, \quad m, n \ge 1, \,
\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx)\, \sin(nx)\, dx = \pi \delta_{mn}, \quad m, n \ge 1

(這裡的δmn克羅內克函數),而

\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\, \sin(nx)\, dx = 0;\,

傅立葉級數的收斂性[編輯]

至今還沒有判斷傅立葉級數的收斂性充分必要條件,但是對於實際問題中出現的函數,有很多種判別條件可用於判斷收斂性。比如x(t)的可微性或級數的均勻收斂性。在閉區間上滿足狄利克雷條件的函數表示成的傅立葉級數都收斂。狄利克雷條件如下:

  1. 在定義區間上,x(t)須絕對可積
  2. 在任一有限區間中,x(t)只能取有限個極值點;
  3. 在任何有限區間上,x(t)只能有有限個第一類間斷點

滿足以上條件的x(t)傅立葉級數都收斂,且:

1.當t是x(t)的連續點時,級數收斂於x(t);
2.當t是x(t)的間斷點時,級數收斂於\frac{1}{2}[x(t^-)+x(t^+)].

1966年,里納特·卡爾松證明了勒貝格二次可積函數的傅立葉級數一定是幾乎處處收斂的,即級數在除了一個可數點集外均收斂。

吉布斯現象:在x(t)的不可導點上,如果我們只取(1)式右邊的無窮級數中的有限項作和X(t),那麼X(t)在這些點上會有起伏。一個簡單的例子是方波訊號

傅立葉級數的一些例子[編輯]

參閱[編輯]

註釋與引用[編輯]

  1. ^ 詳見莫里斯·克萊因《古今數學思想》,第20章無窮級數,第5節三角級數;第28章十九世紀的偏微分方程,第5節熱方程與傅里葉級數。
    see here, pg.s 209 & 210,
  2. ^ Dorf, Richard C.; Tallarida, Ronald J. Pocket Book of Electrical Engineering Formulas 1. Boca Raton,FL: CRC Press. 1993-07-15: 171–174. ISBN 0849344735. 
  3. ^ Georgi P. Tolstov. Fourier Series. Courier-Dover. 1976. ISBN 0-486-63317-9. 

參考書目[編輯]

  • 電機電子類科《工程數學》,ISBN 957-584-377-0,作者陳錫冠、曾致煌,高立出版社。