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傅立葉變換

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傅立葉變換法語Transformation de Fourier英語Fourier transform)是一種線性的積分變換,常在將信號在時域(或空域)和頻域之間變換時使用,在物理學工程學中有許多應用。因其基本思想首先由法國學者約瑟夫·傅立葉系統地提出,所以以其名字來命名以示紀念。

經過傅立葉變換而生成的函數 \hat f 稱作原函數 f 的傅立葉變換、亦或其頻譜。傅立葉變換是可逆的,即可通過 \hat f 確定其原函數 f。通常情況下,f實數函數,而 \hat f 則是複數函數,用一個複數來表示振幅相位

「傅立葉變換」一詞既可以指變換操作本身(將函數 f 進行傅立葉變換),又可以指該操作所生成的複數函數(\hat ff 的傅立葉變換)。

定義[編輯]

一般情況下,若「傅立葉變換」一詞不加任何限定語,則指的是「連續傅立葉變換」(連續函數的傅立葉變換)。定義傅立葉變換有許多不同的方式。本文中採用如下的定義:(連續)傅立葉變換將可積函數f : \mathbb R \rightarrow \mathbb C表示成複指數函數的積分或級數形式。

\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^\infty f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dxξ為任意實數

當自變數x表示時間(以秒為單位),變換變數ξ表示頻率(以赫茲為單位)。在適當條件下,\hat f可由逆變換(inverse Fourier transform)由下式確定f

f(x) = \int_{-\infty}^\infty \hat f(\xi)\ e^{2 \pi i \xi x}\,d\xix為任意實數。

傅立葉逆定理提出f可由\hat f確定,傅立葉在《熱分析理論》(Analytical Theory of Heat)中首次引入這個定理。雖然現在標準下的證明直到很久以後才出現。f\hat{f}常常被稱為傅立葉積分對傅立葉變換對

簡介[編輯]

傅立葉變換將函數的時域(紅色)與頻域(藍色)相關聯。頻譜中的不同成分頻率在頻域中以峰值形式表示。

傅立葉變換源自對傅立葉級數的研究。在對傅立葉級數的研究中,複雜的周期函數可以用一系列簡單的正弦餘弦波之和表示。傅立葉變換是對傅立葉級數的擴展,由它表示的函數的周期趨近於無窮。

中文譯名[編輯]

英語Fourier transform法語Transformée de Fourier 有多個中文譯名,常見的有「傅里叶变换」、「傅立叶变换」、「付立叶变换」、「傅利葉轉換」、「傅氏轉換」及「傅氏變換」等等。為方便起見,本文統一寫作「傅立葉變換」。

應用[編輯]

傅立葉變換在物理學聲學光學結構動力學量子力學數論組合數學機率論統計學信號處理密碼學海洋學通訊金融等領域都有著廣泛的應用。例如在信號處理中,傅立葉變換的典型用途是將信號分解成振幅分量和頻率分量。

基本性質[編輯]

線性性質[編輯]

兩函數之和的傅立葉變換等於各自變換之和。數學描述是:若函數f \left( x\right )g \left(x \right)的傅立葉變換\mathcal{F}[f]\mathcal{F}[g]都存在,\alpha\beta為任意常係數,則\mathcal{F}[\alpha f+\beta g]=\alpha\mathcal{F}[f]+\beta\mathcal{F}[g];傅立葉變換算符\mathcal{F}可經歸一化成為么正算符

平移性質[編輯]

若函數f \left( x\right )存在傅立葉變換,則對任意實數\omega_{0},函數f(x) e^{i \omega_{0} x}也存在傅立葉變換,且有\mathcal{F}[f(x)e^{i \omega_{0} x}]=F(\omega - \omega _0 )。式中花體\mathcal{F}是傅立葉變換的作用算子,平體F表示變換的結果(複函數),e自然對數的底,i虛數單位\sqrt{-1}

微分關係[編輯]

若函數f \left( x\right )|x|\rightarrow\infty時的極限為0,而其導函數f'(x)的傅立葉變換存在,則有\mathcal{F}[f'(x)]= i \omega \mathcal{F}[f(x)],即導函數的傅立葉變換等於原函數的傅立葉變換乘以因子 i\omega。更一般地,若f(\pm\infty)=f'(\pm\infty)=\ldots=f^{(k-1)}(\pm\infty)=0,且\mathcal{F}[f^{(k)}(x)]存在,則\mathcal{F}[f^{(k)}(x)]=( i \omega)^{k} \mathcal{F}[f],即k導數的傅立葉變換等於原函數的傅立葉變換乘以因子( i \omega)^{k}

卷積特性[編輯]

若函數f \left( x\right )g \left( x\right )都在(-\infty,+\infty)絕對可積,則卷積函數f*g=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x-\xi)g(\xi)d\xi(或者f*g=\int_{-\infty}^{+\infty} f(\xi)g(x-\xi)d\xi)的傅立葉變換存在,且\mathcal{F}[f*g]=\mathcal{F}[f]\cdot\mathcal{F}[g]。卷積性質的逆形式為\mathcal{F}^{-1}[F(\omega)*G(\omega)]=2\pi\mathcal{F}^{-1}[F(\omega)]\cdot\mathcal{F}^{-1}[G(\omega)],即兩個函數卷積的傅立葉逆變換等於它們各自的傅立葉逆變換的乘積乘以2\pi

帕塞瓦爾定理[編輯]

若函數f \left( x\right )可積且平方可積,則\int_{-\infty}^{+\infty} f^2 (x)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |F(\omega)|^{2}d\omega。其中F \left( \omega \right)f \left( x \right)的傅立葉變換。

更一般化而言,若函數f \left( x\right )g \left( x\right )皆為平方可積方程Square-integrable function),則\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)g^{*}(x) dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega)G^{*}(\omega)d\omega。其中F \left( \omega \right)G \left( \omega \right)分別是f \left( x \right)g \left( x \right)的傅立葉變換, *代表複共軛

傅立葉變換的不同變種[編輯]

傅立葉變換也可以寫成在角頻率形式: ω = 2πξ其單位是弧度每秒。

應用ξ=ω/(2π)到上述公式會成為下面的形式:

\hat{f}(\omega) = \int_{\mathbf R^n} f(x) e^{-i\omega\cdot x}\,dx.

根據這一形式,(傅立葉)逆變換變為:

f(x) = \frac{1}{(2\pi)^n} \int_{\mathbf R^n} \hat{f}(\omega)e^{i\omega \cdot x}\,d\omega.

若不按照本文中使用的,而像這樣定義傅立葉變換,那它將不再是L2(Rn)上的一個酉變換 。另外這樣的定義也使傅立葉變換與其逆變換顯得不太對稱。

另一個形式是把(2π)n均勻地分開給傅立葉變換和逆變換,即定義為:

 \hat{f}(\omega) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbf{R}^n} f(x) e^{- i\omega\cdot x}\,dx
f(x) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbf{R}^n} \hat{f}(\omega) e^{ i\omega \cdot x}\,d\omega.

根據這一形式,傅立葉變換是再次成為L2(Rn)上的一個么正變換。它也恢復了傅立葉變換和逆變換之間的對稱。

所有三種形式的變化可以通過對正向和反向變換的複指數核取共軛來實現。核函數的符號必須是相反的。除此之外,選擇是習慣問題。

常用的傅立葉變換形式總結
普通頻率ξ( 赫茲) 酉變換 \displaystyle \hat{f}_1(\xi)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{\mathbf{R}^n} f(x) e^{-2 \pi i x\cdot\xi}\, dx = \hat{f}_2(2 \pi \xi)=(2 \pi)^{n/2}\hat{f}_3(2 \pi \xi)
\displaystyle f(x) = \int_{\mathbf{R}^n} \hat{f}_1(\xi) e^{2 \pi i x\cdot \xi}\, d\xi \
角頻率ω( 弧度/秒) 非酉變換 \displaystyle \hat{f}_2(\omega) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\int_{\mathbf{R}^n} f(x) e^{-i\omega\cdot x} \, dx \ = \hat{f}_1 \left ( \frac{\omega}{2 \pi} \right ) = (2 \pi)^{n/2}\ \hat{f}_3(\omega)
\displaystyle f(x) = \frac{1}{(2 \pi)^n} \int_{\mathbf{R}^n} \hat{f}_2(\omega) e^{i \omega\cdot x} \, d \omega \
酉變換 \displaystyle \hat{f}_3(\omega) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{1}{(2 \pi)^{n/2}} \int_{\mathbf{R}^n} f(x) \ e^{-i \omega\cdot x}\, dx = \frac{1}{(2 \pi)^{n/2}} \hat{f}_1\left(\frac{\omega}{2 \pi} \right) = \frac{1}{(2 \pi)^{n/2}} \hat{f}_2(\omega)
\displaystyle f(x) = \frac{1}{(2 \pi)^{n/2}} \int_{\mathbf{R}^n} \hat{f}_3(\omega)e^{i \omega\cdot x}\, d \omega \

如上所討論的,一個隨機變數的特徵函數是相同的傅立葉變換斯蒂爾切斯其分布的測量,但在這種情況下它是典型採取不同的慣例為常數。通常情況下特徵函數的定義E(e^{it\cdot X})=\int e^{it\cdot x}d\mu_X(x)

在上面「非統一角頻率」形式的情況下,存在的2π無因子出現在任一積分的,或在指數。不同於任何約定的上面出現的,本公約採取的指數符號相反。

傅立葉級數[編輯]

連續形式的傅立葉變換其實是傅立葉級數(Fourier series)的推廣,因為積分其實是一種極限形式的求和算子而已。對於周期函數,其傅立葉級數是存在的:

f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx} ,

其中F_n為復振幅。對於實值函數,函數的傅立葉級數可以寫成:

f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]

其中anbn頻率分量的振幅。

傅立葉分析最初是研究周期性現象,即傅立葉級數的,後來通過傅立葉變換將其推廣到了非周期性現象。理解這種推廣過程的一種方式是將非周期性現象視為周期性現象的一個特例,即其周期為無限長。

離散時間傅立葉變換[編輯]

離散傅立葉變換是離散時間傅立葉變換(DTFT)的特例(有時作為後者的近似)。DTFT在時域上離散,在頻域上則是周期的。DTFT可以被看作是傅立葉級數的逆轉換。

離散傅立葉變換[編輯]

為了在科學計算和數位訊號處理等領域使用計算機進行傅立葉變換,必須將函數xn定義在離散點而非連續域內,且須滿足有限性周期性條件。這種情況下,使用離散傅立葉變換,將函數xn表示為下面的求和形式:

x_n = \sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{-i\frac{2\pi}{N} kn} \qquad n = 0,\dots,N-1

其中X_k是傅立葉振幅。直接使用這個公式計算的計算複雜度\mathcal{O}(n^2),而快速傅立葉變換(FFT)可以將複雜度改進為\mathcal{O}(n \log n)。計算複雜度的降低以及數字電路計算能力的發展使得DFT成為在信號處理領域十分實用且重要的方法。

在阿貝爾群上的統一描述[編輯]

以上各種傅立葉變換可以被更統一的表述成任意局部緊緻阿貝爾群上的傅立葉變換。這一問題屬於調和分析的範疇。在調和分析中,一個變換從一個群變換到它的對偶群(dual group)。此外,將傅立葉變換與卷積相聯繫的卷積定理在調和分析中也有類似的結論。傅立葉變換的廣義理論基礎參見龐特里亞金對偶性(Pontryagin duality)中的介紹。

時頻分析變換[編輯]

小波變換chirplet轉換分數傅立葉變換試圖得到時間信號的頻率信息。同時解析頻率和時間的能力在數學上受不確定性原理的限制。

傅立葉變換家族[編輯]

主條目:傅立葉變換家族中的關係

下表列出了傅立葉變換家族的成員。容易發現,函數在時(頻)域的離散對應於其像函數在頻(時)域的周期性.反之連續則意味著在對應域的信號的非周期性.

變換 時間 頻率
連續傅立葉變換 連續,非週期性 連續,非週期性
傅立葉級數 連續,週期性 離散,非週期性
離散時間傅立葉變換 離散,非週期性 連續,週期性
離散傅立葉變換 離散,週期性 離散,週期性

常用傅立葉變換表[編輯]

下面的表記錄了一些封閉形式的傅立葉變換。對於函數f(x), g(x)和h(x),它們的傅立葉變換分別表示為\hat{f}, \hat{g}\hat{h}。只包含了三種最常見的形式。注意條目105給出了一個函數的傅立葉變換與其原函數,這可以看作是傅立葉變換及其逆變換的關係。

函數關係[編輯]

下表列出的常用的傅立葉變換對可以在Erdélyi (1954)Kammler (2000, appendix)中找到。

函數 傅立葉變換
酉,普通的頻率
傅立葉變換
酉,角頻率
傅立葉變換
非酉,角頻率
注釋
\displaystyle f(x)\, \displaystyle \hat{f}(\xi)=

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x) e^{-2\pi i x\xi}\, dx

\displaystyle \hat{f}(\omega)=

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i \omega x}\, dx

\displaystyle \hat{f}(\nu)=

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x) e^{-i \nu x}\, dx

定義
101 \displaystyle a\cdot f(x) + b\cdot g(x)\, \displaystyle a\cdot \hat{f}(\xi) + b\cdot \hat{g}(\xi)\, \displaystyle a\cdot \hat{f}(\omega) + b\cdot \hat{g}(\omega)\, \displaystyle a\cdot \hat{f}(\nu) + b\cdot \hat{g}(\nu)\, 線性
102 \displaystyle f(x - a)\, \displaystyle e^{-2\pi i a \xi} \hat{f}(\xi)\, \displaystyle e^{- i a \omega} \hat{f}(\omega)\, \displaystyle e^{- i a \nu} \hat{f}(\nu)\, 時域平移
103 \displaystyle e^{ 2\pi iax} f(x)\, \displaystyle \hat{f} \left(\xi - a\right)\, \displaystyle \hat{f}(\omega - 2\pi a)\, \displaystyle \hat{f}(\nu - 2\pi a)\, 頻域平移,變換102的頻域對應
104 \displaystyle f(a x)\, \displaystyle \frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\xi}{a} \right)\, \displaystyle \frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\omega}{a} \right)\, \displaystyle \frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\nu}{a} \right)\, 在時域中定標。如果\displaystyle |a|\,值較大,則\displaystyle f(a x)\,會收縮到原點附近,而\displaystyle \frac{1}{|a|}\hat{f} \left( \frac{\omega}{a} \right)\,會擴散並變得扁平。當\displaystyle |a|\,趨向無窮時,成為狄拉克δ函數
105 \displaystyle \hat{f}(x)\, \displaystyle f(-\xi)\, \displaystyle f(-\omega)\, \displaystyle 2\pi f(-\nu)\, 傅立葉變換的二元性性質。這裡\hat{f}的計算需要運用與傅立葉變換那一列同樣的方法。通過交換變數x\xi\omega\nu得到。
106 \displaystyle \frac{d^n f(x)}{dx^n}\, \displaystyle  (2\pi i\xi)^n  \hat{f}(\xi)\, \displaystyle (i\omega)^n  \hat{f}(\omega)\, \displaystyle (i\nu)^n  \hat{f}(\nu)\, 傅立葉變換的微分性質
107 \displaystyle x^n f(x)\, \displaystyle \left (\frac{i}{2\pi}\right)^n \frac{d^n \hat{f}(\xi)}{d\xi^n}\, \displaystyle i^n \frac{d^n \hat{f}(\omega)}{d\omega^n} \displaystyle i^n \frac{d^n \hat{f}(\nu)}{d\nu^n} 變換106的頻域對應
108 \displaystyle (f * g)(x)\, \displaystyle \hat{f}(\xi) \hat{g}(\xi)\, \displaystyle \sqrt{2\pi} \hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega)\, \displaystyle \hat{f}(\nu) \hat{g}(\nu)\, 記號\displaystyle f * g\,表示fg的卷積—這就是卷積定理
109 \displaystyle f(x) g(x)\, \displaystyle (\hat{f} * \hat{g})(\xi)\, \displaystyle (\hat{f} * \hat{g})(\omega) \over \sqrt{2\pi}\, \displaystyle \frac{1}{2\pi}(\hat{f} * \hat{g})(\nu)\, 變換108的頻域對應。
110 \displaystyle f(x)是實變函數 \displaystyle \hat{f}(-\xi) = \overline{\hat{f}(\xi)}\, \displaystyle \hat{f}(-\omega) = \overline{\hat{f}(\omega)}\, \displaystyle \hat{f}(-\nu) = \overline{\hat{f}(\nu)}\, 埃爾米特對稱。\displaystyle \overline{z}\,表示複共軛
111 \displaystyle f(x)是實偶函數 \displaystyle \hat{f}(\omega), \displaystyle \hat{f}(\xi)\displaystyle \hat{f}(\nu)\,都是實偶函數
112 \displaystyle f(x)是實奇函數 \displaystyle \hat{f}(\omega), \displaystyle \hat{f}(\xi)\displaystyle \hat{f}(\nu)都是奇函數
113 \displaystyle \overline{f(x)} \displaystyle \overline{\hat{f}(-\xi)} \displaystyle \overline{\hat{f}(-\omega)} \displaystyle \overline{\hat{f}(-\nu)} 複共軛,110的一般化

平方可積函數[編輯]

時域信號 角頻率表示的
傅立葉變換
弧頻率表示的
傅立葉變換
注釋
 g(t)\!\equiv\!

 \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!G(\omega) e^{i \omega t} \mathrm{d} \omega \,
 G(\omega)\!\equiv\!

\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i \omega t} \mathrm{d}t \,
 G(f)\!\equiv

\int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i 2\pi f t} \mathrm{d}t \,
10 \mathrm{rect}(a t) \, \frac{1}{\sqrt{2 \pi a^2}}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi a}\right) \frac{1}{|a|}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{f}{a}\right) 矩形脈衝和歸一化的sinc函數
11  \mathrm{sinc}(a t)\, \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2 \pi a}\right) \frac{1}{|a|}\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{f}{a} \right)\, 變換10的頻域對應。矩形函數是理想的低通濾波器,sinc函數是這類濾波器對反因果衝擊的響應。
12  \mathrm{sinc}^2 (a t) \,  \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \mathrm{tri} \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right)  \frac{1}{|a|}\cdot \mathrm{tri} \left( \frac{f}{a} \right) tri三角形函數
13  \mathrm{tri} (a t) \, \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}} \cdot \mathrm{sinc}^2 \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right) \frac{1}{|a|}\cdot \mathrm{sinc}^2 \left( \frac{f}{a} \right) \, 變換12的頻域對應
14 e^{-\alpha t^2}\, \frac{1}{\sqrt{2 \alpha}}\cdot e^{-\frac{\omega^2}{4 \alpha}} \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{-\frac{(\pi f)^2}{\alpha}} 高斯函數\exp(-\alpha t^2)的傅立葉變換是他本身.只有當\mathrm{Re}(\alpha)>0時,這是可積的。
15  e^{iat^2} = \left. e^{-\alpha t^2}\right|_{\alpha = -i a} \,  \frac{1}{\sqrt{2 a}} \cdot e^{-i \left(\frac{\omega^2}{4 a} -\frac{\pi}{4}\right)}  \sqrt{\frac{\pi}{a}} \cdot e^{-i \left(\frac{\pi^2 f^2}{a} -\frac{\pi}{4}\right)} 光學領域應用較多
16 \cos ( a t^2 ) \,  \frac{1}{\sqrt{2 a}} \cos \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right)  \sqrt{\frac{\pi}{a}} \cos \left( \frac{\pi^2 f^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right)
17 \sin ( a t^2 ) \,  \frac{-1}{\sqrt{2 a}} \sin \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right)  - \sqrt{\frac{\pi}{a}} \sin \left( \frac{\pi^2 f^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right)
18 \mathrm{e}^{-a|t|} \,  \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{a}{a^2 + \omega^2}  \frac{2 a}{a^2 + 4 \pi^2 f^2} a>0
19  \frac{1}{\sqrt{|t|}} \,  \frac{1}{\sqrt{|\omega|}}  \frac{1}{\sqrt{|f|}} 變換本身就是一個公式
20  J_0 (t)\,  \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{\mathrm{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}}  \frac{2\cdot \mathrm{rect} (\pi f)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 f^2}} J0(t)0階第一類貝索函數
21  J_n (t) \,  \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{ (-i)^n T_n (\omega) \mathrm{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}}  \frac{2 (-i)^n T_n (2 \pi f) \mathrm{rect} (\pi f)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 f^2}} 上一個變換的推廣形式; Tn (t)第一類切比雪夫多項式
22  \frac{J_n (t)}{t} \,  \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{i}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (\omega)\,

  \cdot \ \sqrt{1 - \omega^2} \mathrm{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)

 \frac{2 \mathrm{i}}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (2 \pi f)\,

  \cdot \ \sqrt{1 - 4 \pi^2 f^2} \mathrm{rect} ( \pi f )

Un (t)第二類切比雪夫多項式

分布[編輯]

時域信號 角頻率表示的
傅立葉變換
弧頻率表示的
傅立葉變換
注釋
 g(t)\!\equiv\!

 \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!G(\omega) e^{i \omega t} d \omega \,
 G(\omega)\!\equiv\!

\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i \omega t} dt \,
 G(f)\!\equiv

\int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i 2\pi f t} dt \,
23 1\, \sqrt{2\pi}\cdot \delta(\omega)\, \delta(f)\, \delta(\omega)代表狄拉克δ函數分布.這個變換展示了狄拉克δ函數的重要性:該函數是常函數的傅立葉變換
24 \delta(t)\, \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, 1\, 變換23的頻域對應
25 e^{i a t}\, \sqrt{2 \pi}\cdot \delta(\omega - a)\, \delta(f - \frac{a}{2\pi})\, 由變換3和24得到.
26 \cos (a t)\, \sqrt{2 \pi} \frac{\delta(\omega\!-\!a)\!+\!\delta(\omega\!+\!a)}{2}\, \frac{\delta(f\!-\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})\!+\!\delta(f\!+\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})}{2}\, 由變換1和25得到,應用了歐拉公式\cos(a t) = (e^{i a t} + e^{-i a t})/2.
27 \sin( at)\, \sqrt{2 \pi}\frac{\delta(\omega\!-\!a)\!-\!\delta(\omega\!+\!a)}{2i}\, \frac{\delta(f\!-\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})\!-\!\delta(f\!+\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})}{2i}\, 由變換1和25得到
28 t^n\, i^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega)\, \left(\frac{i}{2\pi}\right)^n \delta^{(n)} (f)\, 這裡, n是一個自然數. \delta^{(n)}(\omega)是狄拉克δ函數分布的n階微分。這個變換是根據變換7和24得到的。將此變換與1結合使用,我們可以變換所有多項式
29 \frac{1}{t}\, -i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)\, -i\pi\cdot \sgn(f)\, 此處\sgn(\omega)符號函數;注意此變換與變換7和24是一致的.
30 \frac{1}{t^n}\, -i \begin{matrix} \sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot \frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\end{matrix} \sgn(\omega)\, -i\pi \begin{matrix} \frac{(-i 2\pi f)^{n-1}}{(n-1)!}\end{matrix} \sgn(f)\, 變換29的推廣.
31 \sgn(t)\, \sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \frac{1}{i\ \omega }\, \frac{1}{i\pi f}\, 變換29的頻域對應.
32  u(t) \, \sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{i \pi \omega} + \delta(\omega)\right)\, \frac{1}{2}\left(\frac{1}{i \pi f} + \delta(f)\right)\, 此處u(t)單位階躍函數;此變換根據變換1和31得到.
33  e^{- a t} u(t) \, \frac{1}{\sqrt{2 \pi} (a + i \omega)} \frac{1}{a + i 2 \pi f} u(t)單位階躍函數,且a > 0.
34 \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (t - n T) \, \begin{matrix} \frac{\sqrt{2\pi }}{T}\end{matrix} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \omega -k \begin{matrix} \frac{2\pi }{T}\end{matrix} \right)\, \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( f -\frac{k }{T}\right) \, 狄拉克梳狀函數Dirac comb)——有助於解釋或理解從連續到離散時間的轉變.

二元函數[編輯]

時域信號 傅立葉變換
單一,普通頻率
傅立葉變換
酉,角頻率
傅立葉變換
非酉,角頻率
400 \displaystyle f(x,y) \displaystyle \hat{f}(\xi_x, \xi_y)=
\displaystyle \iint f(x,y) e^{-2\pi i(\xi_x x+\xi_y y)}\,dx\,dy
\displaystyle \hat{f}(\omega_x,\omega_y)=
\displaystyle \frac{1}{2 \pi} \iint f(x,y) e^{-i (\omega_x x +\omega_y y)}\, dx\,dy
\displaystyle \hat{f}(\nu_x,\nu_y)=
\displaystyle \iint f(x,y) e^{-i(\nu_x x+\nu_y y)}\, dx\,dy
401 \displaystyle e^{-\pi\left(a^2x^2+b^2y^2\right)} \displaystyle \frac{1}{|ab|} e^{-\pi\left(\xi_x^2/a^2 + \xi_y^2/b^2\right)} \displaystyle \frac{1}{2\pi\cdot|ab|} e^{\frac{-\left(\omega_x^2/a^2 + \omega_y^2/b^2\right)}{4\pi}} \displaystyle \frac{1}{|ab|} e^{\frac{-\left(\nu_x^2/a^2 + \nu_y^2/b^2\right)}{4\pi}}
402 \displaystyle \mathrm{circ}(\sqrt{x^2+y^2}) \displaystyle \frac{J_1\left(2 \pi \sqrt{\xi_x^2+\xi_y^2}\right)}{\sqrt{\xi_x^2+\xi_y^2}} \displaystyle \frac{J_1\left(\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2}\right)}{\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2}} \displaystyle \frac{2\pi J_1\left(\sqrt{\nu_x^2+\nu_y^2}\right)}{\sqrt{\nu_x^2+\nu_y^2}}
注釋

400: 變數ξxξyωxωyνxνy為實數。 對整個平面積分。

401: 這兩個函數都是高斯分布,而且可能不具有單位體積。

402: 此圓有單位半徑,如果把circ(t)認作階梯函數u(1-t); Airy分布用J1(1階第一類貝索函數)表達。(Stein & Weiss 1971,Thm. IV.3.3)

三元函數[編輯]

時域信號 角頻率表示的
傅立葉變換
弧頻率表示的
傅立葉變換
注釋
\mathrm{circ}(\sqrt{x^2+y^2+z^2})  4 \pi \frac{\sin[2 \pi f_r] - 2 \pi f_r \cos[2 \pi f_r]}{(2 \pi f_r)^3} 此球有單位半徑;fr是頻率矢量的量值{fx,fy,fz}.

參見[編輯]

參考資料[編輯]

外部連結[編輯]