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傅立葉級數

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以傅里葉級數模擬非正弦曲線的方波,經常運用於電子訊號的處理。

任何周期函數都可以用正弦函數餘弦函數構成的無窮級數來表示(選擇正弦函數與餘弦函數作為基函數是因為它們是正交的),這種三角級數後世稱為傅立葉級數法語série de Fourier,或譯為傅立葉級數)。傅立葉級數在數論組合數學訊號處理、機率論、統計學、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。

歷史[編輯]

傅里葉級數得名於法國數學家約瑟夫·傅里葉(1768年–1830年),他提出任何函數都可以展開為三角級數。此前數學家如拉格朗日等已經找到了一些非週期函數的三角級數展開,而認定一個函數有三角級數展開之後,通過積分方法計算其係數的公式,歐拉達朗貝爾克萊羅早已發現,傅里葉的工作得到了丹尼爾·伯努利的贊助[1]。傅里葉介入三角級數用來解熱傳導方程,其最初論文在1807年經拉格朗日拉普拉斯勒讓德評審後被拒絕出版,他的現在被稱為傅里葉逆轉定理英語Fourier inversion theorem的理論後來發表於1820年的《熱的解析理論》中。將週期函數分解為簡單振盪函數的總和的最早想法,可以追溯至公元前3世紀古代天文學家的均輪和本輪學說。

複數形式的傅立葉級數[編輯]

給定一個周期為T的函數x(t),那麼它可以表示為無窮級數

x(t)=\sum _{k=-\infty}^{+\infty}a_k\cdot e^{ik(\frac{2\pi}{T})t}i虛數單位)(1)

其中,a_k可以按下式計算:

a_k=\frac{1}{T}\int_{T}x(t)\cdot e^{-ik(\frac{2\pi}{T})t}dt(2)

注意到f_k(t)=e^{ik(\frac{2\pi}{T})t}是周期為T的函數,故k 取不同值時的周期訊號具有諧波關係(即它們都具有一個共同周期T)。k=0時,(1)式中對應的這一項稱為直流分量,也就是x(t)在整個週期的平均值。k=\pm 1時具有基波頻率\omega_0=\frac{2\pi}{T},稱為一次諧波基波,類似的有二次諧波,三次諧波等等。

傅立葉級數的收斂性[編輯]

至今還沒有判斷傅立葉級數的收斂性充分必要條件,但是對於實際問題中出現的函數,有很多種判別條件可用於判斷收斂性。比如x(t)的可微性或級數的一致收斂性。在閉區間上滿足狄利赫里條件的函數表示成的傅立葉級數都收斂。狄利赫里條件如下:

  1. 在定義區間上,x(t)須絕對可積
  2. 在任一有限區間中,x(t)只能取有限個極值點;
  3. 在任何有限區間上,x(t)只能有有限個第一類間斷點

滿足以上條件的x(t)傅立葉級數都收斂,且:

1.當t是x(t)的連續點時,級數收斂於x(t);
2.當t是x(t)的間斷點時,級數收斂於\frac{1}{2}[x(t^-)+x(t^+)].

1966年,里納特·卡爾松證明了勒貝格二次可積函數的傅立葉級數一定是幾乎處處收斂的,即級數在除了一個可數點集外均收斂。

吉布斯現象:在x(t)的不可導點上,如果我們只取(1)式右邊的無窮級數中的有限項作和X(t),那麼X(t)在這些點上會有起伏。一個簡單的例子是方波訊號

三角函數族的正交性[編輯]

正弦和餘弦形成了正交集合。正弦、餘弦及其乘積的積分,當mn不同或二函數不同時是0(綠色和紅色區域相等抵消),僅當mn相等並且函數相同時為π。

所謂的兩個不同向量正交是指它們的內積為0,這也就意味著這兩個向量之間沒有任何相關性,例如,在三維歐氏空間中,互相垂直的向量之間是正交的。事實上,正交是垂直在數學上的一種抽象化和一般化。一組n個互相正交的向量必然是線性無關的,所以必然可以張成一個n維空間,也就是說,空間中的任何一個向量可以用它們來線性表出。

希爾伯特空間釋義下,函數的集合{en = einx; nZ}是[−π, π]平方可積函數L2([−π, π])的正交基。這個空間實際上是一個希爾伯特空間,有著針對任何兩個的元素fg的如下內積:

\langle f,\, g \rangle \;\stackrel{\mathrm{def}}{=} \; \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\overline{g(x)}\,dx.

三角函數族的正交性用公式表示出來就是:

\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\, \cos(nx)\, dx = \pi \delta_{mn}, \quad m, n \ge 1, \,
\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx)\, \sin(nx)\, dx = \pi \delta_{mn}, \quad m, n \ge 1

(這裡的δmn克羅內克函數),而

\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\, \sin(nx)\, dx = 0;\,

奇函數和偶函數[編輯]

對於周期為2L的,滿足收斂定理的周期函數,

奇函數f_o(x)可以表示為正弦級數:

f_o(x) = \sum _{k=1}^{+\infty}b_k \sin(kx)

其中

b_k = \frac{2}{L}\int_{0}^L f_o(x) \sin(kx)\, dx, \quad k \ge 1

偶函數f_e(x)則可以表示成餘弦級數:

f_e(x) = \frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^{+\infty}a_k\cos(kx)

其中

a_k = \frac{2}{L}\int_{0}^L f_e(x) \cos(kx)\, dx, \quad k \ge 0

只要注意到歐拉公式e^{i\theta} = \cos \theta + i\;\sin \theta,這些公式便可以很容易從上面傅立葉級數的複數形式中導出。

傅立葉級數的一些例子[編輯]

參閱[編輯]

註釋與引用[編輯]

  1. ^ 詳見莫里斯·克萊因《古今數學思想》,第20章無窮級數,第5節三角級數;第28章十九世紀的偏微分方程,第5節熱方程與傅里葉級數。
    see here, pg.s 209 & 210,

參考書目[編輯]

  • 電機電子類科《工程數學》,ISBN 957-584-377-0,作者陳錫冠、曾致煌,高立出版社。