內射模

內射模（英語：injective module），在模論中，是具有與有理數 $\mathbb {Q}$（視為 $\mathbb {Z}$-模）相似性質的模。內射模是投射模的對偶概念，由Reinhold Baer於1940年引進。

定義

一個環 $R$ 上的左模 $Q$ 若滿足以下等價條件，則稱之為內射模：

• 若 $Q$ 是另一個左 $R$-模 $M$ 的子模，則存在另一個子模 $R\subset M$ 使得 $M=R\oplus Q$。
• 若 $f:X\to Y$ 是左 $R$-模的單射，$g:X\to Q$ 為同態，則存在同態 $h:Y\to Q$ 使得 $h\circ f=g$。圖示如下：

• 任何短正合序列 $0\to Q\to M\to K\to 0$ 都分裂。
• 函子 $\mathrm {Hom} _{R}(-,Q)$ 為正合函子。

右模的定義類此。抽象地說，內射模乃是模範疇中的內射對象。

例子

• 零模是內射模的平凡例子。
• 設 $R$ 為域，則任何 $R$-模（即 $R$-向量空間）都是內射模，此點可由基的性質證明。
• 設 $G$ 為緊群（例如有限群），$k$ 為特徵為零的域。根據緊群的表示理論，可知任何表示的子表示都是其直和項；若翻譯為模的語言，即是：群代數 $kG$ 上的所有模都是內射模。
• 設 $A$ 為域 $k$ 上含單位元的有限維結合代數。則逆變函子 $\mathrm {Hom} _{k}(-,k)$ 給出有限生成左 $A$-模與有限生成右 $k$-模的對偶性。因此，有限生成的左 $A$-模在同構的意義下皆可寫作 $\mathrm {Hom} _{k}(P,k)$，其中 $P$ 是某個有限生成的投射右 $A$-模。
• 在一般的環上也存在充足的（在內射分解的意義下）投射模，以下將述及相關理論。初步的例子包括：$\mathbb {Q}$ 對加法形成內射 $\mathbb {Z}$-模。群 $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ （$n>1$）是內射 $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$-模，而非內射 $\mathbb {Z}$-模。
• 若一個環作為它自身的左模是內射的，就稱為一個左自內射環（英語：left self-injective ring）。右自內射環可對稱的定義。半單環，整數的剩餘類環是自內射環。一個左自內射環不一定是右自內射的。

性質

內射模的直積（包括無窮直積）仍是內射模，內射模的有限直和仍為內射模。一般而言，內射模的子模、商模或無窮直和並不一定是內射模。

Baer 在其論文中證明了一個有用的結果，通常稱作 Baer 判準：一個左 $R$-模 $Q$ 是內射模若且唯若定義在任一理想 $I$ 上的態射 $I\to Q$ 都能延拓到整個 $R$ 上。

利用此判準，可證明主理想域 $R$ 上的模 $Q$ 是內射模若且唯若 $Q$ 可除，即：對任何 $r\neq 0\in R.\;q\in Q$，存在 $q'\in Q$ 使得 $rq'=q$，由此可證 $\mathbb {Q}$ 是內射 $\mathbb {Z}$-模，向量空間都是內射模。

最重要的內射模當屬 $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$：它是 $\mathbb {Z}$-模範疇中的內射上生成元，換言之，這是內射模，而且任何 $\mathbb {Z}$-模皆可嵌入某個 $(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )^{a}$ 中，其中 $a$ 是夠大的基數。由此可知任何 $\mathbb {Z}$-模皆可嵌入某個內射 $\mathbb {Z}$-模。此性質對任意環 $R$ 上的左模都成立，要點在於利用 $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ 的特性構造左 $R$-模範疇中的內射上生成元。

我們也可以定義模的內射包（基本上是包含一個模的最小內射模）。任意模 $M$ 都有內射分解，這是形式如下的正合序列：

$0\to M\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots I^{n}\to \cdots$

其中每個 $I^{j}$ 都是內射的。內射分解可以用以定義模的內射維度（基本上是內射分解的最短長度，可能是無限的）及導函子。

不可分解內射模的自同態環是局部環。

文獻

• F.W. Anderson and K.R. Fuller: Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 13, 2nd Ed., Springer-Verlag, New York, 1992.

參見

• 模論
• 投射模