全機率公式

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假設{ Bn : n = 1, 2, 3, ... } 是一個機率空間的有限或者可數無限的分割(既 Bn為一完備事件組),且每個集合Bn是一個可測集合,則對任意事件A全機率公式

\Pr(A)=\sum_{n} \Pr(A\cap B_n)\,

又因為

\Pr(A\cap B_n) = \Pr(A\mid B_n)\Pr(B_n),

此處Pr(A | B)是B發生後A條件機率,所以全機率公式又可寫作:

\Pr(A)=\sum_{n} \Pr(A\mid B_n)\Pr(B_n).\,

全機率公式將對一複雜事件A的機率求解問題轉化為了在不同情況或不同原因 Bn下發生的簡單事件的機率的求和問題。

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條件機率的期望值[編輯]

在離散情況下,上述公式等於下面這個公式。但後者在連續情況下仍然成立:

\Pr(A)=E(\Pr(A\mid N))

此處N是任意隨機變數

這個公式還可以表達為:

"A先驗機率等於A後驗機率的先驗期望值

參見[編輯]