全等三角形

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全等三角形指兩個全等三角形,它們的三條及三個都應對等。全等三角形幾何全等之一。根據全等轉換,兩個全等三角形可以平移、旋轉、把軸對稱,或重疊等。

全等的數學符號為:\cong

全等三角形的數學符號為:\cong \triangle {s}

定義[編輯]

當兩個三角形的對應,完全相等,便是全等三角形。要驗證兩個全等三角形,會以三個相等部分來驗證。結果為:

\triangle ABC \cong \triangle XYZ \,\!

性質[編輯]

三角形ABC與三角形DEF全等。

全等三角形有以下性質:

  • 它們的對應相等。
  • 它們的對應相等。

三角形ABC與三角形DEF是全等時(如右圖),關係公式為:

\triangle ABC \cong \triangle DEF \,\!

下列三對邊長為「對應邊」:

\overline{A B} \; \overline{D E}, \overline{B C} \; \overline{E F}, \overline{A C} \; \overline{D F}

下列三對角為「對應角」:

\angle A \; \angle D,\angle B \; \angle E,\angle C \; \angle F


同時,所有對應邊長及角度均相等:

  • \angle BAC = \angle EDF \,\!
  • \angle ABC = \angle DEF \,\!
  • \angle ACB = \angle DFE \,\!
  •  \overline{A B} = \overline{D E} \,\!
  •  \overline{A C} = \overline{D F} \,\!
  •  \overline{B C} = \overline{E F} \,\!

用途[編輯]

因為多邊形可由多個三角形組成,所以利用此方法,亦可驗證其它全等的多邊形

判定[編輯]

全等三角形的判定。

下列五種方法均可驗證全等三角形:

  • SSS (Side-Side-Side)(邊、邊、邊):三邊長度相等。
  • SAS (Side-Angle-Side)(邊、角、邊):兩邊,且夾角相等。
  • ASA (Angle-Side-Angle)(角、邊、角):兩角,且夾邊相等。
  • AAS (Angle-Angle-Side)(角、角、邊):兩角,且非夾邊相等。
  • RHS (Right angle-Hypotenuse-Side)(直角、斜邊、邊)(又稱HL(斜邊、直角邊)):在一對直角三角形中,斜邊及另一條直角邊相等。


下列兩種方法不能驗證為全等三角形:

  • AAA (Angle-Angle-Angle)(角、角、角):三角相等。
  • ASS (Angle-Side-Side)(角、邊、邊):其中一角相等,且非夾角的兩邊相等。

SSS[編輯]

這兩個三角形可以SSS來驗證全等。

如右圖

 \triangle ABC  \triangle ACD 原因
邊(一)  \overline {A C}  \overline {A C} 共用邊
邊(二)  \overline {B C}  \overline {A D} 已知
邊(三)  \overline {A B}  \overline {C D} 已知

 \triangle ABC \cong \triangle ACD \,\!

SAS[編輯]

這兩個三角形可以用SAS驗證全等。

如右圖

 \triangle ABC  \triangle ADC 原因
邊(一)  \overline {A C}  \overline {A C} 共用邊
 \angle BAC  \angle DAC 已知
邊(二)  \overline {A B}  \overline {A D} 已知

 \triangle ABC \cong \triangle ADC \,\!

ASA[編輯]

這兩個三角形可以用ASA來驗證全等。

如右圖

 \triangle ABC  \triangle AED 原因
角(一)  \angle BAC  \angle EAD 共用角
邊(一)  \overline {A C}  \overline {A D} 已知
角(二)  \angle ACB  \angle ADE 已知

 \triangle ABC \cong \triangle AED \,\!

AAS[編輯]

這兩個三角形可以用AAS來驗證全等。

如右圖

 \triangle ABE  \triangle DCE 原因
角(一)  \angle AEB  \angle DEC 對頂角
角(二)   \angle BAE  \angle CDE 已知
 \overline {A B}  \overline {D C} 已知

 \triangle ABE \cong \triangle DCE \,\!

RHS[編輯]

這兩個三角形可以RHS來驗證全等。

如右圖

 \triangle ABC  \triangle DFE 原因
直角 直角ACB 直角DEF 已知
斜邊  \overline {A B}  \overline {D F} 已知
 \overline {B C}  \overline {F E} 已知

 \triangle ABC \cong \triangle DFE \,\!

不能驗證全等三角形的判定[編輯]

AAA[編輯]

AAA不能驗證三角形全等。

AAA(角、角、角),指兩個三角形的任何三個角都對應地相同。但這不能判定全等三角形,但AAA能判定相似三角形。在幾何學上,當兩條疊在一起時,便會形一個和一個。而且,若該無限地廷長,或無限地放大,該角度都不會改變。同理,在左圖中,該兩個三角形相似三角形,這兩個三角形的關係是放大縮小,因此角度不會改變。

這樣,便能得知若邊無限地根據比例加長,角度都保持不變。因此,AAA並不能判定全等三角形

SSA[編輯]

ASS不能驗證三角形全等。

SSA(角、邊、邊),指兩個三角形的任一角及另外兩個沒有夾著該角的邊相等。但這不能判定全等三角形。

在右圖中,分別有三角形ABC及三角形DEF,並提供了以下資訊:

  •  \angle BAC = \angle EDF
  •  \overline{A B} = \overline{D E}
  •  \overline{B C} = \overline{E F}

那即是ASS。假如在右圖繪畫一個圓形,中心點為點E,半徑為  \overline{E F} 。透過這個圓形便會發現, \angle EDF  \overline{D E} 沒有改變下,會出現另一個與  \overline{E F} 一樣長度的直線(即圖中的  \overline{E G} )。這樣便能證明ASS並不能驗證全等三角形,(除非已知BC>AB。當是直角三角形時應稱為RHS)。

參見[編輯]

外部連結[編輯]