分配律

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抽象代數中,分配律二元運算的一個性質,它是基本代數中的分配律的推廣。

例如:

2· (1 + 3) = (2·1) + (2·3).

在以上等式的左端,是2乘以1與3的和;在等式的右端,則是分別計算1、3與2的乘積,然後再把它們相加起來。由於它們得出的結果相同,我們稱乘以2對加上1和3滿足分配律。

由於以上的等式對於任何實數都是成立的,我們稱實數的乘法對實數的加法滿足分配律。

定義[編輯]

設*及 + 是定義在集合S上的兩個二元運算,我們說

  • *對於 + 滿足左分配律,如果:
∀ x,y,z ∈ S, x * (y+z) = (x*y) + (x*z);
  • *對於 + 滿足右分配律,如果:
∀ x,y,z ∈ S, (y+z) * x = (y*x) + (z*x);
  • 如果*對於 + 同時滿足左分配律和右分配律,那麼我們說*對於 + 滿足分配律。

如果*滿足交換律,那麼以上三條語句在邏輯上是等價的。

例子[編輯]

  • 除了實數以外,自然數複數基數中的乘法都對加法滿足分配律。
  • 然而,序數的乘法對加法只滿足左分配律,不滿足右分配律。
  • 矩陣乘法矩陣加法滿足分配律(但不滿足交換律)。
  • 集合並集交集滿足分配律,交集對並集也滿足分配律。另外,交集對對稱差也滿足分配律。
  • 邏輯析取邏輯合取滿足分配律,邏輯合取對邏輯析取也滿足分配律。另外,邏輯合取對邏輯異或也滿足分配律。
  • 對於實數(或任何全序集合),最大值對最小值滿足分配律,反之亦然:max(a,min(b,c)) = min(max(a,b),max(a,c)),min(a,max(b,c)) = max(min(a,b),min(a,c))。
  • 對於整數最大公因子最小公倍數滿足分配律,反之亦然:gcd(a,lcm(b,c)) = lcm(gcd(a,b),gcd(a,c)),lcm(a,gcd(b,c)) = gcd(lcm(a,b),lcm(a,c))。
  • 對於實數,加法對最大值滿足分配律,對最小值也滿足分配律:a + max(b,c) = max(a+b,a+c),a + min(b,c) = min(a+b,a+c)。

環的分配律[編輯]

分配律在環和分配格中很常見。

一個環有兩個二元運算(通常稱為"+"和"*"),其中一個要求是*必須對+滿足分配律。

是另外一種具有兩個二元運算^和v的代數結構。如果這兩個運算中的任何一個(例如^)對另外一個(v)滿足分配律,則v對^也一定滿足分配律,這時這個格便稱為分配格。

參考[編輯]