切比雪夫多項式

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切比雪夫多項式是與棣莫弗定理有關,以遞歸方式定義的一系列正交多項式序列。 通常,第一類切比雪夫多項式以符號Tn表示, 第二類切比雪夫多項式用Un表示。切比雪夫多項式 TnUn 代表 n 階多項式。

切比雪夫多項式在逼近理論中有重要的應用。這是因為第一類切比雪夫多項式的根(被稱為切比雪夫節點)可以用於多項式插值。相應的插值多項式能最大限度地降低龍格現象,並且提供多項式在連續函數的最佳一致逼近。

微分方程的研究中,切比雪夫提出切比雪夫微分方程

(1-x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0

(1-x^2)\,y'' - 3x\,y' + n(n+2)\,y = 0

相應地,第一類和第二類切比雪夫多項式分別為這兩個方程的解。 這些方程是斯圖姆-劉維爾微分方程的特殊情形.

定義[編輯]

第一類切比雪夫多項式由以下遞推關係確定

T_0(x) = 1 \,
T_1(x) = x \,
T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x). \,

也可以用母函數表示

\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x) t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}.

第二類切比雪夫多項式由以下遞推關係給出

U_0(x) = 1 \,
U_1(x) = 2x \,
U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x). \,

此時母函數

\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x) t^n = \frac{1}{1-2tx+t^2}.

從三角函數定義[編輯]

第一類切比雪夫多項式由以下三角恆等式確定

T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta) \,

其中 n = 0, 1, 2, 3, .... . \cos n\theta \, 是關於 \cos\theta \,n次多項式,這個事實可以這麼看: \cos n\theta \,是:(\cos\theta+i\sin\theta)^n=e^{i n\theta}=\cos(n\theta)+i\sin n\theta \,的實部(參見棣莫弗公式),而從左邊二項展開式可以看出實部中出現含\sin\theta \,的項中,\sin\theta \,都是偶數次的,從而可以表示成 1-\cos^2\theta \,的冪 。

用顯式來表示

T_n(x) = 
\begin{cases} 
\cos(n\arccos(x)), & \ x \in [-1,1] \\
\cosh(n \, \mathrm{arcosh}(x)), & \ x \ge 1 \\
(-1)^n \cosh(n \, \mathrm{arcosh}(-x)), & \ x \le -1 \\
\end{cases}

儘管能經常碰到上面的表達式,但如果藉助於複函數cos(z), cosh(z)以及他們的反函數,則有


\begin{matrix}
T_n(x) & = & \cos (n \arccos (x)) \\
& = & \mathrm{cosh} (n \, \mathrm{arccosh} (x))
\end{matrix}
\ , \quad \forall x \in \mathbb{R}.

類似,第二類切比雪夫多項式滿足

 U_n(\cos(\theta)) = \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin\theta}.

以佩爾方程定義[編輯]

切比雪夫多項式可被定義為佩爾方程

T_i^2 - (x^2-1) U_{i-1}^2 = 1 \,\!

在多項式環R[x] 上的解(e.g., 見 Demeyer (2007), p.70). 因此它們的表達式可通過解佩爾方程而得出:

T_i + U_{i-1} \sqrt{x^2-1} = (x + \sqrt{x^2-1})^i. \,\!

遞歸公式[編輯]

兩類切比雪夫多項式可由以下雙重遞歸關係式中直接得出:

T_0(x) = 1
U_{-1}(x) = 1
T_{n+1}(x) = xT_n(x) - (1 - x^2)U_{n-1}(x)
U_n(x) = xU_{n-1}(x) + T_n(x)

證明的方式是在下列三角關係式中用x 代替\cos\vartheta

T_{n+1}(x) = T_{n+1}(\cos\vartheta) = {} \cos((n + 1)\vartheta) = {} \cos(n\vartheta)\cos\vartheta - \sin(n\vartheta)\sin\vartheta = {} T_n(\cos\vartheta)\cos\vartheta - U_{n-1}(\cos\vartheta)\sin^2\vartheta = {} xT_n(x) - (1 - x^2)U_{n-1}(x)

正交性[編輯]

TnUn 都是區間[−1,1] 上的正交多項式系.

第一類切比雪夫多項式帶權

\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},

即:

\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\left\{
\begin{matrix}
0 &: n\ne m~~~~~\\
\pi &: n=m=0\\
\pi/2 &: n=m\ne 0
\end{matrix}
\right.

可先令x= cos(θ) 利用 Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可證明.

類似地,第二類切比雪夫多項式帶權

\sqrt{1-x^2}

即:

\int_{-1}^1 U_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}\,dx = 
\begin{cases}
0     &: n\ne m\\
\pi/2 &: n=m
\end{cases}

正交化後形成的隨機變數Wigner 半圓分布英語Wigner semicircle distribution).

基本性質[編輯]

對每個非負整數nT_n(x)U_n(x) 都為 n次多項式。 並且當n為偶(奇)數時,它們是關於x 的偶(奇)函數, 在寫成關於x的多項式時只有偶(奇)次項。

n \ge 1時,T_n 的最高次項係數為 2^{n-1}n = 0時係數為1

最小零偏差[編輯]

n \ge 1,在所有最高次項係數為1的n次多項式中 , f(x) = \frac1{2^{n-1}}T_n(x) 對零的偏差最小,即它是使得f(x)[-1, 1] 上絕對值的最大值最小的多項式。 其絕對值的最大值為\frac1{2^{n-1}} , 分別在-11f 的其他 n - 1 個極值點上達到 。

兩類切比雪夫多項式間的關係[編輯]

兩類切比雪夫多項式間還有如下關係:

\frac{d}{dx} \, T_n(x) = n U_{n-1}(x) \mbox{ , } n=1,\ldots
T_n(x) = \frac{1}{2} (U_n(x) - \, U_{n-2}(x)).
T_{n+1}(x) = xT_n(x) - (1 - x^2)U_{n-1}(x)\,
T_n(x) = U_n(x) - x \, U_{n-1}(x).

切比雪夫多項式是超球多項式或蓋根堡多項式的特例, 後者是雅可比多項式的特例.


切比雪夫多項式導數形式的遞推關係可以由下面的關係式推出:

2 T_n(x) = \frac{1}{n+1}\; \frac{d}{dx} T_{n+1}(x) - \frac{1}{n-1}\; \frac{d}{dx} T_{n-1}(x) \mbox{ , }\quad n=1,2,\ldots

例子[編輯]

前六個第一類切比雪夫多項式的圖像,其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按顏色依次是T0, T1, T2, T3, T4 T5.

前幾個第一類切比雪夫多項式是

 T_0(x) = 1 \,
 T_1(x) = x \,
 T_2(x) = 2x^2 - 1 \,
 T_3(x) = 4x^3 - 3x \,
 T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,
 T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,
 T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,
 T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,
 T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \,
 T_9(x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x. \,
前六個第二類切比雪夫多項式的圖像,其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按顏色依次是U0, U1, U2, U3, U4 U5. 雖然圖像中無法顯示,我們實際有 Un(1)=n+1 以及 Un(-1)=(n+1)(-1)n.

前幾個第二類切比雪夫多項式是

 U_0(x) = 1 \,
 U_1(x) = 2x \,
 U_2(x) = 4x^2 - 1 \,
 U_3(x) = 8x^3 - 4x \,
 U_4(x) = 16x^4 - 12x^2 + 1 \,
 U_5(x) = 32x^5 - 32x^3 + 6x \,
 U_6(x) = 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1. \,

第一類切比雪夫多項式前幾階導數是

 T_n'(1) = n^2 \,
 T_n'(-1) = - (-1)^n * n^2 \,
 T_n''(1) = (n^4 - n^2)/3 \,
 T_n''(-1) = (-1)^n * (n^4 - n^2)/3 \,

按切比雪夫多項式的展開式[編輯]

一個N 次多項式按切比雪夫多項式的展開式為如下:

p(x) = \sum_{n=0}^{N} a_n T_n(x)

多項式按切比雪夫多項式的展開可以用 Clenshaw遞推公式計算。

切比雪夫根[編輯]

兩類的n次切比雪夫多項式在區間[−1,1]上都有n 個不同的根, 稱為切比雪夫根, 有時亦稱做 切比雪夫節點英語Chebyshev nodes ,因為是多項式插值時的 插值點 . 從三角形式中可看出Tnn個根分別是:

 x_i = \cos\left(\frac{2i-1}{2n}\pi\right) \mbox{ , } i=1,\ldots,n.

類似地, Unn個根分別是:


 x_i = \cos\left(\frac{i}{n+1}\pi\right) \mbox{ , } i=1,\ldots,n.

參看[編輯]

參考[編輯]