# 勢能

## 勢能

### 勢能的保守力定義

1. 保守力沿給定兩點間作功與路徑無關；
2. 保守力沿任意環路作功為零；
3. 保守力可以表示為一個純量函數的（負）梯度

### 廣義勢能

$\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\alpha}} - \frac{\partial T}{\partial q_{\alpha}} = Q_{\alpha} \qquad \alpha=1,2, \cdots ,s$

$F_i = - \frac{\partial V}{\partial x_i} \qquad i=1,2,3$

$Q_{\alpha} = - \frac{\partial V}{\partial q_{\alpha}} \qquad \alpha=1,2, \cdots ,s$

$\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t} \frac{\partial (T - V)}{\partial \dot{q}_{\alpha}} - \frac{\partial (T - V)}{\partial q_{\alpha}} = 0 \qquad \alpha=1,2, \cdots ,s$

$Q_{\alpha} = - \frac{\partial U}{\partial q_{\alpha}} + \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t} \frac{\partial U}{\partial \dot{q}_{\alpha}} \qquad \alpha=1,2, \cdots ,s$

$\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t} \frac{\partial (T - U)}{\partial \dot{q}_{\alpha}} - \frac{\partial (T - U)}{\partial q_{\alpha}} = 0 \qquad \alpha=1,2, \cdots ,s$

$\boldsymbol{F} = q (\boldsymbol{E} + \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})$

$U = q (\phi - \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{v})$

### 勢能物理意義

$E_p(b)-E_p(a)=-W_{a \to b}=-\int_{a}^{b} \boldsymbol{F}_{con} \cdot \mbox{d} \boldsymbol{r}$

$E_p(a)=-W_{O \to a}=-\int_{O}^{a} \boldsymbol{F}_{con} \cdot \mbox{d} \boldsymbol{r}$

$\boldsymbol{F}_{con} =-\nabla E_p$

$E_p(b)-E_p(a)=-W_{a \to b}=-\sum_{\alpha =1}^s \int_{a}^{b} Q_{\alpha} \mbox{d}q_{\alpha}$
$Q_{\alpha} =-\sum_{\alpha =1}^s \frac{\partial E_p}{\partial q_{\alpha}}$

$F_{con} =-\frac{\partial E_p}{\partial x}$

### 機械能

$E=E_k+E_p$

$W_{ex}+W_{nci}=E(b)-E(a)$

## 幾種常見勢能

### 引力勢能

• 注意：在臺灣或其他地區[來源請求]將萬有引力統稱為「重力」，然而在大陸地區將萬有引力稱作「引力」，而將「重力」作為萬有引力的一種特殊簡化情形。這裡為了分別介紹兩種情況，不致混淆，暫採用大陸命名方法。

$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})=-G m m_0 \cfrac{\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r_0}}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r_0}|^3}$

$E_G(\boldsymbol{r}) = -G m m_0 \frac{1}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r_0}|}$

$E_G(\boldsymbol{r}) = m \phi (\boldsymbol{r})$

### 重力勢能

$F(h) = mg$

$E_p(h) = mgh$

### 彈性勢能

$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}) = k x$

$E_p(x) = \frac{1}{2}k x^2$

### 電勢能

$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})=\frac{q q_0}{4\pi \epsilon_0} \cfrac{\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r_0}}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r_0}|^3}$

$W(\boldsymbol{r}) = \frac{q q_0}{4\pi \epsilon_0} \frac{1}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r_0}|}$

$E_G(\boldsymbol{r}) = q \phi (\boldsymbol{r})$

### 分子勢能

$F(r)= \frac{\lambda}{r^s} - \frac{\mu}{r^t}$

• 在某一個值r0以內，分子裡表現為排斥力並且隨r減小而急劇上升；
• r0以外表現為牽引力，分子力逐漸增大，到某最大值後減小；
• 力程短，在r約為r0十倍時已幾乎為零。

$E_p(r)=E_{p0} \left[ \left( \frac{r_0}{r}\right)^{12} - 2\left(\frac{r_0}{r} \right) ^6 \right]$

$E_p(r)= \begin{cases} \infty & r \le d\\ -E \left( \frac{d}{r} \right)^6 & r > d \end{cases}$

$E_p(r)= \begin{cases} \infty & r \le d\\ 0 & r > d \end{cases}$

d=0時，分子勢能完全忽略，變為質點勢，這時氣體稱作理想氣體[22]，滿足理想氣體狀態方程式

## 腳註

1. ^ 文麗，吳良大．《高等數學·第二冊：物理類（修訂版）》，P354。
2. ^ 2.0 2.1 鄭永令，賈起民，方小敏．《力學（第二版）》，P157。
3. ^ 磁純量勢
4. ^ 以上證明見金尚年，馬永利．《理論力學（第二版）》，P48。
5. ^ 金尚年，馬永利．《理論力學（第二版）》，P49。
6. ^ 賈瑞皋，薛慶忠．《電磁學（第二版）》，P46。
7. ^ 金尚年，馬永利．《理論力學（第二版）》，P18。
8. ^ 非保守力能增加物體的總勢能，而若是用保守力對物體做功，則物體一種勢能增加而另一種勢能減少，總勢能不變。
9. ^ 舒幼生．《力學（物理類）》，P86。
10. ^ 趙凱華，羅蔚茵．《力學（第二版）》，P115。
11. ^ 鄭永令，賈起民，方小敏．《力學（第二版）》，P163。
12. ^ 準確地說，當該物體對周圍環境影響足夠小時。比如電場中一個電量很小的點電荷（被稱作試探電荷），當電量較大時會嚴重影響到周圍物體上的電荷分布從而影響到勢分布。關於試探電荷見電場#電場強度或賈起民，鄭永令，陳暨耀．《電磁學（第二版）》，P13。
13. ^ 趙凱華，羅蔚茵．《力學（第二版）》，P337。
14. ^ 實際對於重力的定義略稍複雜，參見萬有引力#兩者的微妙差別
15. ^ 對於計入離心力的重力定義，重力還與物體所處經緯度有關。參見萬有引力#兩者的微妙差別。另外，由於地球實際分布非完全球對稱及地球實際略橢，也導致重力在各地有微小差異。
16. ^ 由於離心力的原因，在一般情況下「鉛直向下」方向並不指向地心，然而重力方向仍然是與鉛直向下方向完全一致的。
17. ^ http://qxg.com.cn/n/?cid=44&nid=764&fc=nd
18. ^ 使用拉格朗日方程式時也可以使用廣義勢能U=q(φ+v·A)描述，見#廣義勢能
19. ^ 包科達．《熱物理學基礎》，P44。
20. ^ 包科達．《熱物理學基礎》，P45。
21. ^ 包科達．《熱物理學基礎》，P58。
22. ^ 包科達．《熱物理學基礎》，P48。

## 參考資料

• 舒幼生. 《力學（物理類）》. 北京: 北京大學出版社. 2005. ISBN 7-301-09401-9.
• 趙凱華，羅蔚茵. 《新概念物理教程·力學（第二版）》. 北京: 高等教育出版社. 2004. ISBN 7-04-015201-0.
• 文麗，吳良大. 《高等數學·第二冊：物理類（修訂版）》. 北京: 北京大學出版社. 2002. ISBN 7-301-07543-X/O·0600 請檢查|isbn=值 (幫助).
• 鄭永令，賈起民，方小敏. 《力學（第二版）》. 北京: 高等教育出版社. 2002. ISBN 978-6-04-011084-5 請檢查|isbn=值 (幫助).
• 賈起民，鄭永令，陳暨耀. 《電磁學（第二版）》. 北京: 高等教育出版社. 2003. ISBN 7-04-008603-4.
• 金尚年，馬永利. 《理論力學（第二版）》. 北京: 高等教育出版社. 2002. ISBN 7-04-010808-9.
• 包科達. 《熱物理學基礎》. 北京: 高等教育出版社. 2001. ISBN 7-04-010154-8.