勒讓德猜想

未解決的數學問題：在

n^{2}

和

(n+1)^{2}

之間，是否總有質數？

勒讓德猜想是阿德里安-馬里·勒讓德提出對整數的猜想，其內容是在平方數 $n^{2}$ 和 $(n+1)^{2}$ 之間，至少有一個質數。此猜想是蘭道問題（英語：Landau's problems）（1912年）中有關質數的一個問題。截至2023年^[update]為止，還沒有人可以證明此猜想成立，也沒有人找到此猜想的反證。

質數間隙[編輯]

若勒讓德猜想為真，那在大O符號的意義下，質數 $p$ 及相鄰質數的最大間隙就會是 $O({\sqrt {p}})$ 。^[a]

這猜想是一類與質數間隙相關的猜想和結果的其中一員。其他屬於這一類的猜想和結果包括了已經得證並認為在 $n$ 和 $2n$ 必存在一個質數的伯特蘭-切比雪夫定理、尚未得證並認為在 $n^{2}$ 、 $n(n+1)$ 及 $(n+1)^{2}$ 等之間存在質數的Oppermann猜想、尚未得證並與兩相鄰質數間是否存在質數相關的Andrica猜想和布羅卡猜想，以及尚未得證並認為質數間隙總是遠小於勒讓德猜想且和 $(\log p)^{2}$ 成比例的克拉梅爾猜想等等。

在克拉梅爾猜想成立的狀況下，勒讓德猜想對任何足夠大的 $n$ 都成立。另外，哈拉爾德·克拉梅爾還證明了一個較弱的結果說，從黎曼猜想可推出最大質數間隙的上界為 $O({\sqrt {p}}\log p)$ 。^[1]

根據質數定理，介於 $n^{2}$ 和 $(n+1)^{2}$ 之間的質數的數量的期望值大約為 $n/\ln n$ ；此外，已知對幾乎所有的此類區間而言，其實際的質數個數（A014085）與這期望值呈現非病態關係。^[2]由於對於較大的 $n$ 而言，這數字也會很大之故，這提供了勒讓德猜想成立的證據。^[3]

另外已知質數定理可無條件地^[4]或在黎曼猜想成立的狀況下^[5]，給出對短區間內質數個數的精確估計；然而已證明可行的區間大小大於兩個完全平方數構成的區間，因此就勒讓德猜想而言依舊太大。

部分結果[編輯]

從英漢（英語：Albert Ingham）對質數間隙的結果可得出，對於足夠大的 $n$ 而言，在完全立方數 $n^{3}$ 及 $(n+1)^{3}$ 之間總有一個質數。^[6]

Baker、Harman 和Pintz（英語：Janos Pintz）證明了說對於所有大的 $x$ 而言， $[x-x^{21/40},\,x]$ 這區間內總有一個質數。^[7]

利用最大質數間隙表，可確認說勒讓德猜想至少對大到 $n^{2}=4\cdot 10^{18}$ 的數都成立，也就是說勒讓得猜想對大到 $n=2\cdot 10^{9}$ 的數都成立。^[8]

參見[編輯]

註解[編輯]

^ 這是從兩個完全平方數的差會是其平方根的事實推導出的。

參考資料[編輯]

^ Stewart, Ian, Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems, Basic Books: 164, 2013, ISBN 9780465022403 .
^ Bazzanella, Danilo, Primes between consecutive squares (PDF), Archiv der Mathematik, 2000, 75 (1): 29–34, MR 1764888, S2CID 16332859, doi:10.1007/s000130050469
^ Francis, Richard L., Between consecutive squares, Missouri Journal of Mathematical Sciences (University of Central Missouri, Department of Mathematics and Computer Science), February 2004, 16 (1): 51–57, doi:10.35834/2004/1601051  ; see p. 52, "It appears doubtful that this super-abundance of primes can be clustered in such a way so as to avoid appearing at least once between consecutive squares."
^ Heath-Brown, D. R., The number of primes in a short interval (PDF), Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 1988, 1988 (389): 22–63, MR 0953665, S2CID 118979018, doi:10.1515/crll.1988.389.22
^ Selberg, Atle, On the normal density of primes in small intervals, and the difference between consecutive primes, Archiv for Mathematik og Naturvidenskab, 1943, 47 (6): 87–105, MR 0012624
^ A060199
^ Baker, R. C.; Harman, G.; Pintz, J., The difference between consecutive primes, II (PDF), Proceedings of the London Mathematical Society, 2001, 83 (3): 532–562, S2CID 8964027, doi:10.1112/plms/83.3.532
^ Oliveira e Silva, Tomás; Herzog, Siegfried; Pardi, Silvio, Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to $4\cdot 10^{18}$ (PDF), Mathematics of Computation, 2014, 83 (288): 2033–2060, MR 3194140, doi:10.1090/S0025-5718-2013-02787-1  .

外部連結[編輯]

埃里克·韋斯坦因. Legendre's conjecture. MathWorld.

[1] 這是從兩個完全平方數的差會是其平方根的事實推導出的。

[2] Stewart, Ian, Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems, Basic Books: 164, 2013, ISBN 9780465022403 .

[3] Bazzanella, Danilo, Primes between consecutive squares (PDF), Archiv der Mathematik, 2000, 75 (1): 29–34, MR 1764888, S2CID 16332859, doi:10.1007/s000130050469

[4] Francis, Richard L., Between consecutive squares, Missouri Journal of Mathematical Sciences (University of Central Missouri, Department of Mathematics and Computer Science), February 2004, 16 (1): 51–57, doi:10.35834/2004/1601051  ; see p. 52, "It appears doubtful that this super-abundance of primes can be clustered in such a way so as to avoid appearing at least once between consecutive squares."

[5] Heath-Brown, D. R., The number of primes in a short interval (PDF), Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 1988, 1988 (389): 22–63, MR 0953665, S2CID 118979018, doi:10.1515/crll.1988.389.22

[6] Selberg, Atle, On the normal density of primes in small intervals, and the difference between consecutive primes, Archiv for Mathematik og Naturvidenskab, 1943, 47 (6): 87–105, MR 0012624

[7] A060199

[baker-8] Baker, R. C.; Harman, G.; Pintz, J., The difference between consecutive primes, II (PDF), Proceedings of the London Mathematical Society, 2001, 83 (3): 532–562, S2CID 8964027, doi:10.1112/plms/83.3.532

[9] Oliveira e Silva, Tomás; Herzog, Siegfried; Pardi, Silvio, Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to $4\cdot 10^{18}$ (PDF), Mathematics of Computation, 2014, 83 (288): 2033–2060, MR 3194140, doi:10.1090/S0025-5718-2013-02787-1  .

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