單位圓

維基百科,自由的百科全書
前往: 導覽搜尋
單位圓。變數t

數學中,單位圓是指半徑單位長度的,通常為歐幾里得平面直角坐標系圓心為(0,0)、半徑為1的圓。單位圓對於三角函數和複數的坐標化表示有著重要意義。單位圓通常表示為S1。多維空間中,單位圓可推廣為單位球

如果單位圓上的點 (x, y)位於第一象限,那麼xy斜邊長度為1的直角三角形的兩條邊,根據勾股定理xy滿足方程

x^2 + y^2 = 1 \,\!

由於對於所有的x來說x2 = (−x)2,並且所有這些點相對於x軸或者y軸的反射點也都位於單位圓上,因此單位圓上的所有點都滿足上面的方程。

單位圓與三角函數[編輯]

事實上,不僅僅是正弦與餘弦,而且所有六個標準三角函數—正弦(sin)、餘弦(cos)、正切(tan)、餘切(cot)、正割(sec)、餘割(csc)以及不常用正矢(versin)與外正割(exsec)—都可以在單位圓表示出來。

在直角三角形中,正弦、餘弦以及其它三角函數只有當角度大於0且小於π/2時才有意義。但是,在單位圓上,對於任意的實數角度,這些函數都有直觀的意義。

角度 θ所有三角函數都可以在圓心為0的單位圓上表示出來。

設 (x, y)是單位圓上的一個點。設角 t的起始邊為x軸的正方向,角度按照逆時針方向測量。那麼角t的終邊和單位圓會有一個交點。因此:

\cos(t) = x \,\!
\sin(t) = y \,\!

另外,從x2 + y2 = 1可以得到

 \cos^2(t) + \sin^2(t) = 1 \,\!

從這裡還可以直觀地看出正弦函數與餘弦函數都是周期函數,對於任意的整數k恆等式

\cos t = \cos(2\pi k+t) \,\!
\sin t = \sin(2\pi k+t) \,\!
單位圓上已知準確座標的點

這些恆等式的依據是在角度t增加任意圈數或者減小任意圈數的時候xy坐標保持不變。一圈 = 2π 弧度

複數的圓群[編輯]

複數也可以用歐幾里得平面內的點來表示,a + bi表示為(a, b)。在這種表示下,單位圓是不斷增加的,在數學以及科學領域這個群有很重要的應用。

參見[編輯]