雙曲函數

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射線出原點交單位雙曲線\scriptstyle x^2\ -\ y^2\ =\ 1於點\scriptstyle (\cosh\,a,\,\sinh\,a),這裡的\scriptstyle a是射線、雙曲線和\scriptstyle x軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點,這個面積被認為是負值。

數學中,雙曲函數是一類與常見的三角函數(也叫圓函數)類似的函數。最基本的雙曲函數是雙曲正弦函數sinh和雙曲餘弦函數cosh,從它們可以導出雙曲正切函數tanh等,其推導也類似於三角函數的推導。雙曲函數的反函數稱為反雙曲函數

雙曲函數的定義域是實數,其自變數的值叫做雙曲角。雙曲函數出現於某些重要的線性微分方程的解中,譬如說定義懸鏈線拉普拉斯方程

基本定義[編輯]

sinh, coshtanh
csch, sechcoth
  • \sinh x = {{e^x  - e^{ - x} } \over 2}
  • \cosh x = {{e^x  + e^{ - x} } \over 2}
  • \tanh x = {{\sinh x} \over {\cosh x}}
  • \coth x = {1 \over {\tanh x}}
  • {\mathop{\rm sech}} x = {1 \over {\cosh x}}
  • {\mathop{\rm csch}} x = {1 \over {\sinh x}}

函數\cosh x\!是關於y軸對稱的偶函數。函數\sinh x\!奇函數

如同當t 遍歷實數集 \mathbb{R}時,點(\cos t\!, \sin t\!)的軌跡是一個x^2 + y^2 = 1一樣,當t 遍歷實數集 \mathbb{R}時,點(\cosh t\!, \sinh t\!)的軌跡是單位雙曲線x^2 - y^2 = 1的右半邊。這是因為有以下的恆等式:

\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1 \,

參數t不是圓而是雙曲角,它表示在x軸和連接原點和雙曲線上的點(\cosh t\!, \sinh t\!)的直線之間的面積的兩倍。

歷史[編輯]

直角雙曲線(方程y = 1/x)下,雙曲線三角形(黃色),和對應於雙曲角u雙曲線扇形(紅色)。這個三角形的邊分別是雙曲函數中cosh和sinh的√2倍。

18世紀約翰·海因里希·蘭伯特介入了雙曲函數[1],並計算了雙曲幾何雙曲三角形的面積[2]自然對數函數是在直角雙曲線xy=1下定義的,可構造雙曲線直角三角形,底邊在線y=x上,一個頂點是原點,另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數,是自然對數的逆函數指數函數,即要形成指定雙曲角u,在漸進線即x或y軸上需要有的x或y的值。顯見這裡的底邊是\left(e^u + e^{ -u}\right) \frac{\sqrt{2}}{2},垂線是\left(e^u - e^{-u}\right) \frac{\sqrt{2}}{2}

通過旋轉和縮小線性變換,得到單位雙曲線下的情況,有:

  • \cosh u = \frac{e^u + e^{-u}}{2}
  • \sinh u = \frac{e^u - e^{-u}}{2}

單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線xy=1下雙曲角的 1/2。

虛數圓角定義[編輯]

雙曲角經常定義得如同虛數圓角。實際上,如果x是實數而i2 = −1,則

 \cos(i x) = \cosh(x), \quad      \quad  \sin(i x) = i \sinh(x).

所以雙曲函數cosh和sinh可以通過圓函數來定義。這些恆等式不是從圓或旋轉得來的,它們應當以無窮級數的方式來理解。特別是,可以將指數函數表達為由偶次項和奇次項組成,前者形成cosh函數,後者形成了sinh函數。cos函數的無窮級數可從cosh得出,通過把它變為交錯級數,而sin函數可來自將sinh變為交錯級數。上面的恆等式使用虛數i,從三角函數的級數的項中去掉交錯因子(−1)n,來恢復為指數函數的那兩部份級數。

 e^x = \cosh x + \sinh x\!
\begin{array}{lcl}
\cosh x = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!} & \sinh x = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!} & \sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
\end{array}

雙曲函數可以通過虛數圓角定義為:

\sinh x =  - i \sin (ix) \!
\cosh x = \cos (ix) \!
\tanh x = -i \tan (ix) \!
\coth x = i \cot (ix) \!
\operatorname{sech} x = \sec (ix) \!
\operatorname{csch} x = i \csc (ix) \!

這些複數形式的定義得出自歐拉公式

與三角函數的類比[編輯]

奧古斯都·德·摩根在其1849年出版的教科書《Trigonometry and Double Algebra》中將圓三角學擴展到了雙曲線[3]威廉·金頓·克利福德在1878年使用雙曲角來參數化單位雙曲線

雙曲函數 三角函數

給定相同的角α,在雙曲線上計算雙曲角的量值(雙曲扇形面積除以半徑)得到雙曲函數,角α得到三角函數。在單位圓單位雙曲線上,雙曲函數與三角函數有如下的關係:

恆等式[編輯]

與雙曲函數有關的恆等式如下:

\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \,
  • 加法公式:
\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y \,
\cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y \,
\tanh(x+y) = \frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x \tanh y} \,
  • 二倍角公式:
\sinh 2x\ = 2\sinh x \cosh x \,
\cosh 2x\ = \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2\cosh^2 x - 1 = 2\sinh^2 x + 1 \,
  • 半形公式:
\cosh^2\frac{x}{2} = \frac{\cosh x + 1}{2}
\sinh^2\frac{x}{2} = \frac{\cosh x - 1}{2}

由於雙曲函數和三角函數之間的對應關係,雙曲函數的恆等式和三角函數的恆等式之間也是一一對應的。對於一個已知的三角函數公式,只需要將其中的三角函數轉成相應的雙曲函數,並將含有有兩個sinh的積的項(包括\coth^2 x, \tanh^2 x, \operatorname{csch}^2 x , \sinh x \sinh y)轉換正負號,就可得到相應的雙曲函數恆等式[4]。如

  • 三倍角公式:
三角函數的三倍角公式為:\sin 3x\ = 3 \sin x - 4 \sin^3 x
而對應的雙曲函數三倍角公式則是:\sinh 3x\ = 3 \sinh x + 4 \sinh^3 x
  • 差角公式:
三角函數的差角公式為:\cos(x-y)\ = \cos x \cos y + \sin x \sin y
而對應的雙曲函數的差角公式則是:\cosh(x-y)\ = \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y

雙曲函數的導數[編輯]

 \frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x \,
 \frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x \,
 \frac{d}{dx}\tanh x = 1 - \tanh^2 x = \hbox{sech}^2  x = 1/\cosh^2 x \,

雙曲函數的泰勒展開式[編輯]

雙曲函數也可以以泰勒級數展開:

\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}
\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}
\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi 羅朗級數
\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2}
\operatorname {csch}\, x = \frac {1} {x} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , 0 < \left |x \right | < \pi 羅朗級數

其中

B_n \,是第n項伯努利數
E_n \,是第n項歐拉數

雙曲函數的積分[編輯]

\int\sinh cx\,dx = \frac{1}{c}\cosh cx + C
\int\cosh cx\,dx = \frac{1}{c}\sinh cx + C
\int \tanh cx\,dx = \frac{1}{c}\ln|\cosh cx| + C
\int \coth cx\,dx = \frac{1}{c}\ln|\sinh cx| + C
\int \operatorname{sech} cx\,dx = \frac{1}{c}\arctan (\sinh cx) + C
\int \operatorname{csch} cx\,dx = \frac{1}{c}\ln\left|\tanh\frac{cx}{2}\right| + C

與指數函數的關係[編輯]

從雙曲正弦和餘弦的定義,可以得出如下恆等式:

e^x = \cosh x + \sinh x

e^{-x} = \cosh x - \sinh x

複數的雙曲函數[編輯]

因為指數函數可以定義為任何複數參數,也可以擴展雙曲函數的定義為複數參數。函數sinh z和cosh z全純函數

指數函數與三角函數的關係由歐拉公式給出:

\begin{align}
   e^{i x} &= \cos x + i \;\sin x \\
  e^{-i x} &= \cos x - i \;\sin x
\end{align}

所以:

\begin{align}
    \cosh ix &= \frac{1}{2} \left(e^{i x} + e^{-i x}\right) = \cos x \\
    \sinh ix &= \frac{1}{2} \left(e^{i x} - e^{-i x}\right) = i \sin x \\
    \tanh ix &= i \tan x \\
\end{align}
\begin{align}
 \cosh(x+iy) &= \cosh(x) \cos(y) + i \sinh(x) \sin(y) \\
 \sinh(x+iy) &= \sinh(x) \cos(y) + i \cosh(x) \sin(y) \\
\end{align}
\begin{align}
     \cosh x &= \cos ix \\
     \sinh x &= - i \sin ix \\
     \tanh x &= - i \tan ix
\end{align}

因此,雙曲函數是關於虛部有週期的,週期為2 \pi i (對雙曲正切和餘切是\pi i).

反雙曲函數[編輯]

反雙曲函數是雙曲函數的反函數。它們的定義為:

\operatorname{arsinh}\, x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})
\operatorname{arcosh}\, x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})
\operatorname{artanh}\, x = \ln\frac{\sqrt{1 - x^2}}{1-x} = \frac{1}{2} \ln\frac{1+x}{1-x}
\operatorname{arcoth}\, x = \ln\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x-1} = \frac{1}{2} \ln\frac{x+1}{x-1}
\operatorname{arsech}\, x = \pm \frac{1}{2} \ln\frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{1 -\sqrt{1 - x^2}}
\operatorname{arcsch}\, x =
\begin{cases}
  \ln\frac{1 - \sqrt{1 + x^2}}{x},  & \mbox{for }x < 0\!\, \\
  \ln\frac{1 + \sqrt{1 + x^2}}{x},  & \mbox{for }x > 0\!\,
\end{cases}

註釋與引用[編輯]

  1. ^ Eves, Howard, Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, Courier Dover Publications. 2012:  59, ISBN 9780486132204, "We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions." 
  2. ^ Ratcliffe, John, Foundations of Hyperbolic Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, 149, Springer. 2006:  99, ISBN 9780387331973, "That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph Theorie der Parallellinien, which was published posthumously in 1786." 
  3. ^ Augustus De Morgan (1849) Trigonometry and Double Algebra, Chapter VI: "On the connection of common and hyperbolic trigonometry"
  4. ^ G. Osborn, Mnemonic for hyperbolic formulae, The Mathematical Gazette, p. 189, volume 2, issue 34, July 1902

參見[編輯]

外部連結[編輯]