雙曲線

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數學中,雙曲線希臘語ὑπερβολή」字面意思是「超過」或「超出」)是定義為平面交截直角圓錐面的兩半的一類圓錐曲線

它還可以定義為與兩個固定的點(叫做焦點)的距離差是常數的點的軌跡。這個固定的距離差是a的兩倍,這裡的a是從雙曲線的中心到雙曲線最近的分支的頂點的距離。a還叫做雙曲線的半實軸。焦點位於貫穿軸上它們的中間點叫做中心。

從代數上說,雙曲線是在笛卡爾平面上由如下方程定義的曲線

A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0

使得B^2 > 4 AC \,,這裡的所有係數都是實數,並存在定義在雙曲線上的點對(x, y)的多於一個的解。

注意在笛卡爾坐標平面上兩個互為倒數的變數的圖像是雙曲線。

等軸雙曲線:一雙曲線的實軸與虛軸長相等即:2a=2be=\sqrt{2},這時漸近線方程為: y = \pm x(無論焦點在x軸還是y軸)

共軛雙曲線:雙曲線S'的實軸是雙曲線S的虛軸且雙曲線S'的虛軸是雙曲線S的實軸時,稱雙曲線S'與雙曲線S為共軛雙曲線。 幾何表達:S: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 S': \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 特點:(1)共漸近線;與漸近線平行得線和雙曲線有且只有一個交點 (2)焦距相等 (3)兩雙曲線的離心率平方後的倒數相加等於1

定義[編輯]

前兩個上面已經列出了:

  • 平面切直角圓錐面的兩半的交截線。
  • 與兩個固定點(叫做焦點)距離差為常數的點的軌跡
  • 到一個焦點的距離和到一個線(叫做準線)的距離的比例是大於1的常數的點的軌跡。這個常數叫做雙曲線的偏心率
共軛單位直角雙曲線

雙曲線由分開兩個焦點的兩個分離的叫做臂或分支的曲線構成。隨著到焦點的距離的變大,雙曲線就越逼近叫做漸近線的兩條線。漸近線交叉於雙曲線的中點,並對於東西開口的雙曲線有斜率\pm \frac{b}{a},對於北南開口的雙曲線有斜率\pm \frac{a}{b}

雙曲線有個性質,出自一個焦點的射線反射於雙曲線後看起來像是出自另一個焦點。

雙曲線的一個特殊情況是「等軸」或「直角」雙曲線,它的漸近線交於直角。以坐標軸作為漸近線的直角雙曲線由方程xy=c給出,這裡的c是常數。

如同正弦和餘弦函數給出橢圓參數方程雙曲函數給出雙曲線的參數方程。

如果對雙曲線方程交換xy,得到它的共軛雙曲線。共軛雙曲線有同樣的漸近線。

笛卡爾坐標[編輯]

中心位於(h,k)的東西開口的雙曲線:

\frac{\left( x-h \right)^2}{a^2} - \frac{\left( y-k \right)^2}{b^2} = 1

中心位於(h,k)的北南開口的雙曲線:

\frac{\left( y-k \right)^2}{a^2} - \frac{\left( x-h \right)^2}{b^2} = 1

實軸貫穿雙曲線的中心並交雙曲線兩臂於它們的頂點(拐點)。焦點位於雙曲線實軸的延長線上。虛軸貫穿雙曲線中點並垂直於實軸。

在兩個公式中,a半實軸(在雙曲線兩臂之間沿著實軸測量的距離),而b是半虛軸

如果用雙曲線的兩個頂點的切線交漸近線形成一個矩形,在切線上的兩邊的長度是2b,平行於實軸的兩邊的長度是2a,注意b可以大於a

如果計算從雙曲線上任意準線上的點到每個焦點的距離,這兩個距離的差的絕對值總是2a

直角雙曲線y=\tfrac{1}{x}的圖像。

離心率給出自

e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}

東西開口的雙曲線的焦點是

\left(h\pm c, k\right)這裡的c給出自c^2 = a^2 + b^2

北南開口的雙曲線的焦點是

\left( h, k\pm c\right)這裡的c給出自c^2 = a^2 + b^2

對於以直線x=h和直線y=k為漸近線的直角雙曲線:

(x-h)(y-k) = c

這種雙曲線最簡單的例子是

y=\frac{m}{x}

極坐標[編輯]

東西開口的雙曲線:

r^2 =a^2\sec 2\theta

北南開口的雙曲線:

r^2 =-a^2\sec 2\theta

北東南西開口的雙曲線:

r^2 =a^2\csc 2\theta

北西南東開口的雙曲線:

r^2 =-a^2\csc 2\theta

在所有公式中,中心在極點,而a是半實軸和半虛軸。

雙曲線的參數方程[編輯]

東西開口的雙曲線:

\begin{cases}
 x = a\sec t + h \\
 y = b\tan t + k \\
\end{cases}

\begin{cases}
 x = a\cosh t + h \\
 y = b\sinh t + k \\
\end{cases}

北南開口的雙曲線:

\begin{cases}
 x = a\tan t + h \\
 y = b\sec t + k \\
\end{cases}

\begin{cases}
 x = a\sinh t + h \\
 y = b\cosh t + k \\
\end{cases}

在所有公式中,(h,\; k)是雙曲線的中點,a是半實軸而b是半虛軸。

雙曲線的標準方程[編輯]

焦點在x軸上時為: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

焦點在y軸上時為:\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1

雙曲線的漸近線方程[編輯]

焦點在x軸: y = \pm \frac{b}{a} x.

焦點在y軸: y = \pm \frac{a}{b} x.

圓錐曲線方程[編輯]

\rho = \frac{ep}{1-e\cos\theta}

當e>1時,表示雙曲線。其中p為焦點到準線距離,θ為弦與x軸夾角。

參考文獻[編輯]

外部連結[編輯]

參見[編輯]