反三角函數

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數學中,反三角函數三角函數反函數

數學符號[編輯]

符號 \sin^{-1}, \cos^{-1} 等常用於 \arcsin, \arccos 等。但是這種符號有時在 \arcsin x\frac{1}{\sin x} 之間造成混淆。

在笛卡爾平面上 f(x) = arcsin(x) 和 f(x) = arccos(x) 函數的常用主值的圖像。
在笛卡爾平面上 f(x) = arctan(x) 和 f(x) = arccot(x) 函數的常用主值的圖像。

在編程中,函數 arcsin, arccos, arctan 通常叫做 asin, acos, atan。很多程式語言提供兩自變數 atan2 函數,它計算給定 yxy/x 的反正切,但是值域為 [-\pi, \pi]

主值[編輯]

下表列出基本的反三角函數。

名稱 常用符號 定義 定義域 值域
反正弦 y=\arcsin x x=\sin y [-1,1] [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]
反餘弦 y=\arccos x x=\cos y [-1,1] [0,\pi]
反正切 y=\arctan x x=\tan y \mathbb{R} (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})
反餘切 y=\arccot x x=\cot y \mathbb{R} (0,\pi)
反正割 y=\arcsec x x=\sec y (-\infty,-1]\cup[1,+\infty) [0,\frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2},\pi]
反餘割 y=\arccsc x x=\csc y (-\infty,-1]\cup[1,+\infty) [-\frac{\pi}{2},0)\cup(0,\frac{\pi}{2}]

如果 x 允許是複數,則 y 的值域只適用它的實部。

反三角函數之間的關係[編輯]

補角:

\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x
\arccot x = \frac{\pi}{2} - \arctan x
\arccsc x = \frac{\pi}{2} - \arcsec x

負數參數:

\arcsin (-x) = - \arcsin x \!
\arccos (-x) = \pi - \arccos x \!
\arctan (-x) = - \arctan x \!
\arccot (-x) = \pi - \arccot x \!
\arcsec (-x) = \pi - \arcsec x \!
\arccsc (-x) = - \arccsc x \!

倒數參數:

\arccos \frac{1}{x} \,= \arcsec x
\arcsin \frac{1}{x} \,= \arccsc x
\arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - \arctan x =\arccot x, \ 如果 \ x > 0
\arctan \frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2} - \arctan x = -\pi + \arccot x, \ 如果 \ x < 0
\arccot \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - \arccot x =\arctan x, \ 如果 \ x > 0
\arccot \frac{1}{x} = \frac{3\pi}{2} - \arccot x = \pi + \arctan x,\ 如果 \ x < 0
\arcsec \frac{1}{x} = \arccos x
\arccsc \frac{1}{x} = \arcsin x

如果有一段正弦表:

\arccos x = \arcsin \sqrt{1-x^2}, 如果 \ 0 \leq x \leq 1
\arctan x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}

注意只要在使用了複數的平方根的時候,我們選擇正實部的平方根(或者正虛部,如果是負實數的平方根的話)。

半形公式 \tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} ,可得到:

\arcsin x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}
\arccos x = 2 \arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x}, 如果  -1 < x \leq +1
\arctan x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}

三角函數與反三角函數的關係[編輯]

通過定義可知:

 \theta \sin \theta \cos \theta \tan \theta 圖示
\arcsin x \sin (\arcsin x) = x \cos (\arcsin x) = \sqrt{1-x^2} \tan (\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} Trigonometric functions and inverse3.svg
\arccos x \sin (\arccos x) = \sqrt{1-x^2} \cos (\arccos x) = x \tan (\arccos x) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} Trigonometric functions and inverse.svg
\arctan x \sin (\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \cos (\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \tan (\arctan x) = x Trigonometric functions and inverse2.svg
\arccot x \sin (\arccot x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \cos (\arccot x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \tan (\arccot x) = \frac{1}{x} Trigonometric functions and inverse4.svg
\arcsec x \sin (\arcsec x) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x} \cos (\arcsec x) = \frac{1}{x} \tan (\arcsec x) = \sqrt{x^2-1} Trigonometric functions and inverse6.svg
 \arccsc x \sin (\arccsc x) = \frac{1}{x} \cos (\arccsc x) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x} \tan (\arccsc x) = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} Trigonometric functions and inverse5.svg

一般解[編輯]

每個三角函數都周期於它的參數的實部上,在每個 2π 區間內通過它的所有值兩次。正弦和餘割的周期開始於 2πk - π/2 結束於 2πk + π/2(這裡的 k 是一個整數),在 2πk + π/2 到 2πk + 3π/2 上倒過來。餘弦和正割的周期開始於 2πk 結束於 2πk + π,在 2πk + π 到 2πk + 2π 上倒過來。正切的周期開始於 2πk - π/2 結束於 2πk + π/2,接著(向前)在 2πk + π/2 到 2πk + 3π/2 上重複。餘切的周期開始於 2πk 結束於 2πk + π,接著(向前)在 2πk + π 到 2πk + 2π 上重複。

這個周期性反應在一般反函數上:

\sin y= x \ \Leftrightarrow\ (\ y = \arcsin x+ 2k\pi \text{  } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z} \ \lor\ y= \pi - \arcsin x+ 2k\pi \text{  } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z}\ )
\cos y= x \ \Leftrightarrow\ (\ y = \arccos x+ 2k\pi \text{  } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z} \ \lor\ y = 2\pi - \arccos x+ 2k\pi \text{  } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z}\ )
\tan y= x \ \Leftrightarrow\ \ y = \arctan x+ k\pi \text{  } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z}
\cot y= x \ \Leftrightarrow\ \ y = \arccot x+ k\pi \text{  } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z}
\sec y= x \ \Leftrightarrow\ (\ y = \arcsec x+ 2k\pi \text{  } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z} \ \lor\ y = 2\pi - \arcsec x+ 2k\pi \text{  } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z}\ )
\csc y= x \ \Leftrightarrow\ (\ y = \arccsc x+ 2k\pi \text{  } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z} \ \lor\ y = \pi - \arccsc x+ 2k\pi \text{  } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z}\ )

反三角函數的導數[編輯]

對於實數 x 的反三角函數的導數如下:


\begin{align}
\frac{d}{dx} \arcsin x & {}= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}; \qquad |x| < 1\\
\frac{d}{dx} \arccos x & {}= \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}; \qquad |x| < 1\\
\frac{d}{dx} \arctan x & {}= \frac{1}{1+x^2}\\
\frac{d}{dx} \arccot x & {}= \frac{-1}{1+x^2}\\
\frac{d}{dx} \arcsec x & {}= \frac{1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1\\
\frac{d}{dx} \arccsc x & {}= \frac{-1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1\\
\end{align}

舉例說明,設 \theta = \arcsin x \!,得到:

\frac{d \arcsin x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sin \theta} = \frac{1} {\cos \theta} = \frac{1} {\sqrt{1-\sin^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

因為要使根號內部恆為正,所以在條件加上|x|<1,其他導數公式同理可證[1]

表達為定積分[編輯]

積分其導數並固定在一點上的值給出反三角函數作為定積分的表達式:


\begin{align}
\arcsin x &{}= \int_0^x \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1\\
\arccos x &{}= \int_x^1 \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1\\
\arctan x &{}= \int_0^x \frac 1 {z^2 + 1}\,dz,\\
\arccot x &{}= \int_x^\infty \frac {1} {z^2 + 1}\,dz,\\
\arcsec x &{}= \int_1^x \frac 1 {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \geq 1\\
\arccsc x &{}= \int_x^\infty \frac {1} {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \geq 1
\end{align}

x 等於 1 時,在有極限的域上的積分是瑕積分,但仍是良好定義的。

無窮級數[編輯]

如同正弦和餘弦函數,反三角函數可以使用無窮級數計算如下:


\begin{align}
\arcsin z & {}= z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots\\
& {}= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)}
; \qquad | z | \le 1
\end{align}



\begin{align}
\arccos z & {}= \frac {\pi} {2} - \arcsin z \\
& {}= \frac {\pi} {2} - (z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots ) \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)}
; \qquad | z | \le 1 
\end{align}



\begin{align}
\arctan z & {}= z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots \\
& {}= \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}
; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i
\end{align}



\begin{align}
\arccot z & {}= \frac {\pi} {2} - \arctan z \\
& {}= \frac {\pi} {2} - ( z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots ) \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}
; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i
\end{align}



\begin{align}
\arcsec z & {}= \arccos\left(z^{-1}\right) \\
& {}= \frac {\pi} {2} - (z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^{-7}} {7} + \cdots ) \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {(2n+1)} 
; \qquad \left| z \right| \ge 1 
\end{align}



\begin{align}
\arccsc z & {}= \arcsin\left(z^{-1}\right) \\
& {}= z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4 } \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {z^{-7}} {7} +\cdots \\
& {}= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {2n+1}
; \qquad \left| z \right| \ge 1 
\end{align}

歐拉發現了反正切的更有效的級數:

\arctan x = \frac{x}{1+x^2} \sum_{n=0}^\infty \prod_{k=1}^n \frac{2k x^2}{(2k+1)(1+x^2)}.

(注意對 n= 0 在和中的項是空積 1。)

反三角函數的不定積分[編輯]


\begin{align}
\int \arcsin x\,dx &{}= x\,\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C\\
\int \arccos x\,dx &{}= x\,\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C\\
\int \arctan x\,dx &{}= x\,\arctan x - \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C\\
\int \arccot x\,dx &{}= x\,\arccot x + \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C\\
\int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C\\
\int \arccsc x\,dx &{}= x\,\arccsc x + \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C
\end{align}

使用分部積分法和上面的簡單導數很容易得出它們。

舉例[編輯]

使用\int u\,\mathrm{d}v = u v - \int v\,\mathrm{d}u,設


\begin{align}
u &{}=&\arcsin x &\quad\quad\mathrm{d}v = \mathrm{d}x\\
\mathrm{d}u &{}=&\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}&\quad\quad{}v = x
\end{align}

\int \arcsin(x)\,\mathrm{d}x = x \arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x

換元

k = 1 - x^2.\,

\mathrm{d}k = -2x\,\mathrm{d}x

\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}k}{\sqrt{k}} = -\sqrt{k}

換元回 x 得到

\int \arcsin(x)\, \mathrm{d}x = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2}+C

加法公式和減法公式[編輯]

arcsin x + arcsin y[編輯]

\arcsin x + \arcsin y = \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right), \text{ when }  xy \leq 0 ,  \text{ or  }  x^2 + y^2\leq 1
\arcsin x + \arcsin y = \pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right), \text{ when }  x > 0 \text{ and }  y > 0  \text{ and }  x^2 + y^2 > 1
\arcsin x + \arcsin y = - \pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right),  \text{ when }  x < 0  \text{ and }  y < 0  \text{ and }  x^2 + y^2 > 1

arcsin x - arcsin y[編輯]

\arcsin x - \arcsin y = \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} - y\sqrt{1-x^2}\right),  \text{ when }  xy \geq 0, \text{ or } x^2 + y^2\leq 1
\arcsin x - \arcsin y = \pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} - y\sqrt{1-x^2}\right),  \text{ when }   x > 0   \text{ and } y < 0  \text{ and }  x^2 + y^2 > 1
\arcsin x - \arcsin y = - \pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right),  \text{ when }  x < 0  \text{ and } y > 0  \text{ and } x^2 + y^2 > 1

arccos x + arccos y[編輯]

\arccos x + \arccos y = \arccos\left(xy - \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}\right),  x + y \geq 0
\arccos x + \arccos y = 2\pi - \arccos\left(xy - \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}\right),  x + y < 0

arccos x - arccos y[編輯]

\arccos x - \arccos y = -\arccos\left(xy + \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}\right),  x \geq y
\arccos x - \arccos y = \arccos\left(xy + \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}\right), x < y

arctan x + arctan y[編輯]

\arctan\,x + \arctan\,y =\arctan\,{\frac{x+y}{1-xy}}, xy < 1
\arctan\,x + \arctan\,y =\pi + \arctan\,{\frac{x+y}{1-xy}}, x > 0, xy > 1
\arctan\,x + \arctan\,y =-\pi + \arctan\,{\frac{x+y}{1-xy}}, x < 0, xy > 1

arctan x - arctan y[編輯]

\arctan x - \arctan y =\arctan{\frac{x-y}{1+xy}},  xy > -1
\arctan x - \arctan y =\pi + \arctan{\frac{x-y}{1+xy}},  x > 0, xy < -1
\arctan x - \arctan y =-\pi + \arctan {\frac{x-y}{1+xy}},  x < 0, xy < -1

arccot x + arccot y[編輯]

\arccot x + \arccot y =\arccot{\frac{xy-1}{x+y}}, x > -y
\arccot x + \arccot y =\arccot {\frac{xy-1}{x+y}}+\pi, x < -y

arcsin x + arccos x[編輯]

\arcsin x + \arccos x =\frac{\pi}{2},  |x|\leq1

arctan x + arccot x[編輯]

\arctan x + \arccot x =\frac{\pi}{2}


註釋與引用[編輯]

  1. ^ \theta =\arccos x,得到:
    \frac{d\arccos x}{dx}=\frac{d\theta }{d\cos \theta }=\frac{-1}{\sin \theta }=\frac{1}{\sqrt{1-\cos ^{2}\theta }}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}
    因為要使根號內部恆為正,所以在條件加上|x|<1\theta =\arctan x,得到:
    \frac{d\arctan x}{dx}=\frac{d\theta }{d\tan \theta }=\frac{1}{\sec ^{2}\theta }=\frac{1}{1+\tan ^{2}\theta }=\frac{1}{1+x^{2}}
    \theta =\arccot x,得到:
    \frac{d\operatorname{arc}\cot x}{dx}=\frac{d\theta }{d\cot \theta }=\frac{-1}{\csc ^{2}\theta }=\frac{1}{1+\cot ^{2}\theta }=\frac{-1}{1+x^{2}}
    \theta =\arcsec x,得到:
    \frac{d\operatorname{arc}\sec x}{dx}=\frac{d\theta }{d\sec \theta }=\frac{1}{\sec \theta \tan \theta }=\frac{1}{\left| x \right|\sqrt{x^{2}-1}}
    因為要使根號內部恆為正,所以在條件加上|x|>1,比較容易被忽略是\sec \theta 產生的絕對值 \sec ^{-1}\theta 的定義域是0\le \theta \le \pi ,其所產生的反函數皆為正,所以需要加上絕對值。
    \theta =\arccsc x,得到:
    \frac{d\operatorname{arc}\csc x}{dx}=\frac{d\theta }{d\csc \theta }=\frac{-1}{\csc \theta \cot \theta }=\frac{-1}{\left| x \right|\sqrt{x^{2}-1}}
    因為要使根號內部恆為正,所以在條件加上|x|>1,比較容易被忽略是\csc \theta 產生的絕對值 \csc ^{-1}\theta 的定義域是-\frac{\pi}{2}\le \theta \le \frac{\pi}{2},\theta\ne0 ,其所產生的反函數皆為負,所以需要加上絕對值。

參見[編輯]

外部連結[編輯]