向量空間

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線性代數
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}
向量 · 矩陣  · 行列式  · 線性空間
向量空間是可以縮放和相加的(叫做向量的)對象的集合

向量空間(或稱線性空間)是現代數學中的一個基本概念。是線性代數研究的基本對象。

向量空間的一個直觀模型是向量幾何,幾何上的向量及相關的運算即向量加法,標量乘法,以及對運算的一些限制如封閉性結合律,已大致地描述了「向量空間」這個數學概念的直觀形象。

在現代數學中,「向量」的概念不僅限於此,滿足下列公理的任何數學對象都可被當作向量處理。譬如,實係數多項式的集合在定義適當的運算後構成向量空間,在代數上處理是方便的。單變元實函數的集合在定義適當的運算後,也構成向量空間,研究此類函數向量空間的數學分支稱為泛函分析

公理化定義[編輯]

給定FF上的向量空間V是一個集合,其上定義了兩種二元運算

  • 向量加法:V + VV,把V中的兩個元素uv映射到V中另一個元素,記作u + v
  • 純量乘法:F × VV,把F中的一個元素aV中的一個元素u變為V中的另一個元素,記作a ·u

V中的元素稱為向量,相對地,F中的元素稱為純量。而V裝備的兩個運算滿足下面的公理(對F中的任意元素ab以及V中的任意元素uvw都成立):

  1. 向量加法結合律u + (v + w) = (u + v) + w,
  2. 向量加法交換律u + v = v + u
  3. 存在向量加法的單位元素V裡存在一個叫做零向量的元素,記作0,使得對任意uV,都有u + 0 = u
  4. 向量加法的反元素:對任意uV,都存在vV,使得u + v = 0
  5. 純量乘法對向量加法滿足分配律a · (v + w) = a ·v + a ·w.
  6. 純量乘法對體加法滿足分配律(a + b) ·v = a ·v + b ·v.
  7. 純量乘法與純量的體乘法相容:a(b ·v) = (ab) ·v.
  8. 純量乘法有單位元素:體F的乘法單位元素「1」滿足:對任意v,1 ·v = v

前四個公理說明裝備了向量加法的V交換群,餘下的四個公理應用於純量乘法。需要注意的是向量之間的加法「+」和純量之間的加法「+」是不一樣的,純量與向量之間的純量乘法·和兩個純量之間的乘法(體F中自帶的乘法)也是不一樣的。

簡而言之,向量空間是一個F

基本性質[編輯]

以下是一些可以從向量空間的公理直接推出的性質:

  • 零向量0是唯一的;
  • 對任意aFa · 0 = 0
  • 對任意uV,0 ·u = 0(0是F的加法單位元素)。
  • 如果a ·u = 0,則要麼a = 0,要麼u = 0
  • 向量加法的向量v是唯一的,記作− vu + (− v)也可以寫成u − v,兩者都是標準的。
  • 對任意uV,−1 ·u = − u.
  • 對任意aF以及uV(−a) ·u= (a ·u) = a · (− u).

例子[編輯]

對一般體FV記為F-向量空間。若F實數體,則V稱為實數向量空間;若F複數體,則V稱為複數向量空間;若F有限體,則V稱為有限體向量空間

最簡單的F-向量空間是F自身。只要定義向量加法為體中元素的加法,純量乘法為體中元素的乘法就可以了。例如當F是實數體時,可以驗證對任意實數ab以及任意實數uvw,都有:

  1. u + (v + w) = (u + v) + w
  2. v + w = w + v
  3. 零元素存在:實數0滿足:對任何的實數vv + 0 = v
  4. 反元素存在:對任何的實數v,它的相反數w = −v就滿足v + w = 0
  5. 純量乘法對向量加法滿足分配律a(v + w) = a v + a w.
  6. 向量乘法對純量加法滿足分配律(a + b)v = a v + b v.
  7. 純量乘法與純量的體乘法相容:a(bv) =(ab)v
  8. 純量乘法有單位元素中的乘法單位元素,也就是實數「1」滿足:對任意實數v1v = v

更為常見的例子是給定了直角坐標系的平面:平面上的每一點P都有一個坐標P(x, y),並對應著一個向量(x, y)。所有普通意義上的平面向量組成了一個空間,記作ℝ²,因為每個向量都可以表示為兩個實數構成的有序數組(x, y)。可以驗證,對於普通意義上的向量加法和純量乘法,ℝ²滿足向量空間的所有公理。實際上,向量空間是ℝ²的推廣。

同樣地,高維的歐幾里得空間n也是向量空間的例子。其中的向量表示為v = (a_1, a_2, \cdots, a_n),其中的a_1, a_2, \cdots, a_n都是實數。定義向量的加法和純量乘法是:

\forall \lambda \in \mathbb{R}, \, v = (a_1, a_2, \cdots, a_n) \in \mathbb{R}^n, \, w = (b_1, b_2, \cdots, b_n) \in \mathbb{R}^n
v + w = (a_1, a_2, \cdots, a_n) + (b_1, b_2, \cdots, b_n) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \cdots, a_n + b_n)
\lambda v = \lambda (a_1, a_2, \cdots, a_n) = (\lambda a_1, \lambda a_2, \cdots, \lambda a_n)

可以驗證這也是一個向量空間。

再考慮所有係數為實數的多項式的集合\mathbb{R}[X]。對於通常意義上的多項式加法和純量乘法,\mathbb{R}[X]也構成一個向量空間。更廣泛地,所有從實數體射到實數體的連續函數的集合\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})也是向量空間,因為兩個連續函數的和或差以及連續函數的若干倍都還是連續函數。

方程組與向量空間[編輯]

向量空間的另一種例子是齊次線性方程組(常數項都是0的線性方程組)的解的集合。例如下面的方程組:

3x + 2y - z = 0
x + 5y + 2z = 0

如果(x_1, y_1, z_1)(x_2, y_2, z_2)都是解,那麼可以驗證它們的「和」(x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2)也是一組解,因為:

3(x_1+x_2) + 2(y_1+y_2) - (z_1+z_2) = (3x_1 + 2y_1 - z_1) + (3x_2 + 2y_2 - z_2) = 0
(x_1+x_2) + 5(y_1+y_2) + 2(z_1+z_2) = (x_1 + 5y_1 + 2z_1) + (x_2 + 5y_2 + 2z_2) = 0

同樣,將一組解乘以一個常數後,仍然會是一組解。可以驗證這樣定義的「向量加法」和「純量乘法」滿足向量空間的公理,因此這個方程組的所有解組成了一個向量空間。

一般來說,當齊次線性方程組中未知數個數大於方程的個數時,方程組有無限多組解,並且這些解組成一個向量空間。

對於齊次線性微分方程,解的集合也構成向量空間。比如說下面的方程:

f'' + 4xf' + \cos(x)f = 0

出於和上面類似的理由,方程的兩個解f_1f_2的和函數f_1 + f_2也滿足方程。可以驗證,這個方程的所有解構成一個向量空間。

子空間基底[編輯]

如果一個向量空間V的一個非空子集合W對於V的加法及標量乘法都封閉(也就是說任意W中的元素相加或者和純量相乘之後仍然在W之中),那麼將W稱為V線性子空間(簡稱子空間)。V的子空間中,最平凡的就是空間V自己,以及只包含0的子空間{0}

給出一個向量集合B,那麼包含它的最小子空間就稱為它的生成子空間,也稱線性包絡,記作span(B)。

給出一個向量集合B,若它的生成集就是向量空間V,則稱BV的一個生成集。如果一個向量空間V擁有一個元素個數有限的生成集,那麼就稱V是一個有限維空間。

可以生成一個向量空間V線性獨立子集,稱為這個空間的。若V={0},約定唯一的基是空集。對非零向量空間V,基是V「最小」的生成集。向量空間的基是對向量空間的一種刻畫。確定了向量空間的一組基B之後,空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。如果能夠把基中元素按下標排列:\mathbf{B} = \left\{ e_1, e_2, \cdots, e_n, \cdots \right\},那麼空間中的每一個向量v便可以通過座標系統來呈現:

v = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \cdots + \lambda_n e_n + \cdots

這種表示方式必然存在,而且是唯一的。也就是說,向量空間的基提供了一個坐標系。

可以證明,一個向量空間的所有基都擁有相同基數,稱為該空間的維度。當V是一個有限維空間時,任何一組基中的元素個數都是定值,等於空間的維度。例如,各種實數向量空間:ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ,…中, ℝn的維度就是n。在一個有限維的向量空間(維度是n)中,確定一組基\mathbf{B} = \left\{ e_1, e_2, \cdots, e_n \right\},那麼所有的向量都可以用n個純量來表示。比如說,如果某個向量v表示為:

v = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \cdots + \lambda_n e_n

那麼v可以用數組v = (\lambda_1 ,\lambda_2 , \cdots , \lambda_n )來表示。這種表示方式稱為向量的坐標表示。按照這種表示方法,基中元素表示為:

e_1 = (1, 0, \cdots ,0)
e_2 = (0, 1, \cdots ,0)
e_n = (0, 0, \cdots ,1)

可以證明,任意一個n維的\mathbf{F}-向量空間和空間\mathbf{F}^n有同樣的「構造」。這種關係稱為同構。

線性映射[編輯]

給定兩個係數體都是F的向量空間V和W,定義由V到W的線性變換(或稱線性映射)為所有從V射到W並且它保持向量加法和純量乘法的運算的函數f

f : \, V \rightarrow W
\forall a \in F, u,v \in V, \, f(u+v) = f(u) + f(v), \, f(a \cdot v) = a \cdot f(v)

所有線性變換的集合記為 \mathcal{L}(V, W),這也是一個係數體為F的向量空間。在確定了V和W上各自的一組基之後, \mathcal{L}(V, W)中的線性變換可以通過矩陣來表示。

如果兩個向量空間V和W之間的一個線性映射是一一映射,那麼這個線性映射稱為(線性)同構,表示兩個空間構造相同的意思。如果在V和W之間存在同構,那麼稱這兩個空間為同構的。如果向量空間V和W之間存在同構f : \, V \rightarrow W,那麼其逆映射g : \, W \rightarrow V也存在,並且對所有的x \in V, \, y \in W,都有:

g \circ f (x) = x, \, f \circ g (y) = y

概念化及額外結構[編輯]

研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下:

參考文獻[編輯]

  • 中國大百科全書
  • Howard Anton and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra, Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8.
  • Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. Linear Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.
  • Seymour Lipschutz and Marc Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra, McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2.
  • Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, Historia Mathematica 22 (1995), no. 3, 262-303.
  • Gilbert Strang. "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8