四叉樹

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四元樹區塊的點資料分布圖

四元樹又稱四叉樹是一種樹狀資料結構,在每一個節點上會有四個子區塊。四元樹常應用於二維空間資料的分析與分類。 它將資料區分成為四個象限。資料範圍可以是方形或矩形或其他任意形狀。這種資料結構是由 拉斐爾·芬科爾(Raphael Finkel) 與 J. L. Bentley 在1974年發展出來 。 類似的資料分割方法也稱為 Q-tree。 所有的四元樹法有共同之特點:

  • 可分解成為各自的區塊
  • 每一個區塊可持續分解直到資料無法分解為止
  • 樹狀資料結構依造四元樹法加以區分

形態[編輯]

四元樹可以用他們資料形態的表示法來作分類,資料形態的項目有:區域、點、直線及曲線。四元樹也可以進行分類,不管樹的形態是否獨立於已處理過的排秩資料。一些四元樹的形態如下所示:

四元樹區塊[編輯]

四元樹區塊表示為空間的分割,即在二維上分割區塊為四組相同的象限、次象限等,且每個葉節點包含有關特殊次區塊的資料。樹里的每個節點不是正好有4個子節點,就是沒有子節點(為一個樹葉節點)。四元樹區塊不是嚴格的一顆'樹' - 且位置的次分割與資料無關。他們是比較精確一些稱為'單詞尋找樹'.

在一個深度為n的四元樹區塊中可以用來表示一個影像包含有2n × 2n的畫素,每個畫素的值為0或1。根節點表示全部影像區塊。假如畫素在任何區塊不是全部為0或1,那就可以進行畫分。在這個應用中,每個葉節點代表一個段落的畫素、段落畫素裡面包含全部為零或全部為一的組合。

四元樹區塊也可以用為一種資料區塊上不同變化解析的表達法。比如,溫度在一個區塊中可以儲存為一個四元樹,而樹葉節點儲存著平均溫度涵蓋到它所擁有的次區塊。

假如四元樹區塊被用來表達一組點資料(諸如一組城市的經緯度),區塊就進行次分割直到每個葉節點包含最多一個單點。

點四元樹[編輯]

點四元樹修改自二元樹用來表示二維的點資料。點四元樹與四元樹都有共同的特點,不過於次分割的中心總是在一點時、點四元樹視為一真樹(true tree)。樹的形態根據編過序的資料而定。在比較二維規律資料點上是相當有效率的,經常運作在O(log n)時間複雜度內。

點四元樹的節點結構[編輯]

點四元樹的節點類似於二元樹的節點,它們之間的主要差別在於點四元樹有4個指標(每一個象限一個指標)、而一般二元樹只有2個指標(左指標及右指標)。點四元樹的鍵值也是經常被分解為兩部分,如在直角坐標上的 x 及 y 值。因此,一個節點包含下列資訊:

  • 4個指標(Pointer):quad[『NW』](西北)、quad[『NE』](東北)、quad[『SW』](西南)、及quad[『SE』](東南)。
  • 點;含有如下項目:
    • 鍵值;通常以直角作標(x, y)值來表示。
    • 值;比如是"名字"。

邊四元樹[編輯]

邊四元樹是專門用來儲存直線而不是點。曲線能分割每格到很接近精細的解析度。如此能產生極度的不平衡樹,而此不平衡樹可能推翻索引的使用目的。

一些四元樹的常用法[編輯]

四元樹為八叉樹的二維類比。

區辨說明[編輯]

假如幾何次分割不能減縮每個四元樹的項目數時,(例如,在資料重疊時)則四元樹的次分割失敗,為了使演算法能夠繼續進行其容量必須突破限制。比如,一個四元樹最大的容量為8,而且有9個點在(0, 0),次分割將會造成3個空的四元樹,且每個空四元樹會包含最初的9個點,再次分割依此類推。因為樹必須允許在這樣的象限內超過8點,如此四元樹對帶有任意幾何(比如:地圖或圖形)的資料集才能夠達到O(N)的時間複雜度。

註釋[編輯]

  1. ^ Tomas G. Rokicki. An Algorithm for Compressing Space and Time. 2006-04-01 [2009-05-20]. 

參考資料[編輯]

  1. Raphael Finkel and J.L. Bentley. Quad Trees: A Data Structure for Retrieval on Composite Keys. Acta Informatica. 1974年, 4 (1): 1–9. doi:10.1007/BF00288933. 
  2. Mark de Berg, Marc van Kreveld, Mark Overmars, and Otfried Schwarzkopf. Computational Geometry 2nd revised edition. Springer-Verlag. 2000年. ISBN 3-540-65620-0.  Chapter 14: Quadtrees: pp.291–306.

參看[編輯]

外部連結[編輯]