圓內接四邊形

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各種圓內接四邊形

幾何中,圓內接四邊形四邊形的一種。顧名思義,圓內接四邊形的四個頂點都在同一個上。換句話說,圓內接四邊形是由共圓的四點依次連成的多邊形

性質[編輯]

在一個圓內接四邊形中,相對的兩內角是互補的,它們度數之和為180[1]。與此等價的說法是,圓內接四邊形的一個內角等於其相對面的角的外角。相對的兩內角互補是圓內接四邊形的充分必要條件,即,圓內接四邊形相對的兩內角互補,且相對的兩內角互補的四邊形是圓內接四邊形(四邊形四頂點共圓或說有四邊形有外接圓)。

如圖,ABCD為圓內接四邊形,托勒密定理指出:\begin{matrix}BD\cdot AC\\ = AB\cdot CD + BC\cdot DA.\end{matrix}

托勒密定理指出,圓內接四邊形的兩組對邊乘積之和等於兩條對角線的乘積(如右圖)。對於非退化的四邊形,如果兩組對邊乘積之和等於兩條對角線的乘積,那麼必定是圓內接四邊形[2]

凸四邊形的兩條對角線將自身分成四個三角形。如果這個四邊形是圓內接四邊形,那麼相對的兩個三角形是相似的。如右圖中,P是圓內接四邊形ABCD的兩對角線交點,則三角形ABP相似於三角形DCP,三角形BCP相似於三角形ADP。一個與此等價的說法是所謂的相交弦定理:設凸的圓內接四邊形的兩條對角線相交於一點(圖中的P),那麼其中一條對角線被點P所分成的兩段的長度之乘積等於另一條對角線被點P所分成的兩段的長度之乘積:AP \times CP = BP \times DP。相應的逆命題也成立:如果一個四邊形ABCD的兩條對角線交於點P,且三角形ABP相似於三角形DCP(或三角形BCP相似於三角形ADP,或AP \times CP = BP \times DP),那麼四邊形ABCD是圓內接四邊形。

在四邊形中,矩形正方形都是圓內接四邊形;箏形梯形可能是圓內接四邊形。如果一個四邊形既是平行四邊形又是圓內接四邊形,那麼它是一個矩形。如果一個四邊形既是梯形又是圓內接四邊形,那麼它是一個等腰梯形。如果一個箏形是圓內接四邊形,那麼它至少有一對對角是直角。

面積[編輯]

在已知四邊的邊長時,圓內接四邊形的面積可通過婆羅摩笈多公式給出[3]。若圓內接四邊形的四邊邊長分別是a, b, c, d,則其面積為:

\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}

其中p半周長

p=\frac{a+b+c+d}{2}.

可以證明,在所有周長為定值2p的圓內接四邊形中,面積最大的是正方形。

參見[編輯]

參考來源[編輯]

  1. ^ 歐幾里得,《幾何原本》第三章,命題22
  2. ^ 樂嗣康,托勒密(Ptolemy) 定理與「三弦定理」的關係,《數學傳播》26卷1期
  3. ^ 蔡聰明,談求面積的 Pick 公式

外部連結[編輯]