圓柱坐標系

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用圓柱坐標 (\rho,\ \phi,\ z) 來表示一個點的位置

圓柱坐標系cylindrical coordinate system)是一種三維坐標系統。它是二維極坐標系往 z-軸的延伸。添加的第三個坐標 z 專門用來表示 P 點離 xy-平面的高低。按照國際標準化組織建立的約定 (ISO 31-11) ,徑向距離、方位角、高度,分別標記為 (\rho,\ \phi,\ z)

如圖右,P 點的圓柱坐標是 (\rho,\ \phi,\ z)

  • \rho 是 P 點與 z-軸的垂直距離。
  • \phi 是線 OP 在 xy-面的投影線與正 x-軸之間的夾角。
  • z 直角坐標z 等值。
圓柱坐標 (\rho,\ \phi,\ z)坐標曲面。紅色圓柱面的 \rho=2 。藍色平面的 z=1 。黃色半平面的 \phi= - 60^{\circ} 。 z-軸是垂直的,以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P (以黑球表示)。點 P 的直角坐標大約為 (1.0,\  - 1.732,\ 1.0)

坐標系變換[編輯]

三維空間裏,有許多各種各樣的坐標系。圓柱坐標系只是其中一種。圓柱坐標系與其他坐標系的變換需要用到特別的方程式。

直角坐標系[編輯]

更多資料:直角坐標系

使用以下方程式,可以從圓柱坐標變換為直角坐標:

{\rho}=\sqrt{x^2 + y^2 }
{\phi}=\arctan \left( {\frac{y}{x}} \right)
z=z

特別注意,當求取方位角時,必須依照 (x,\ y) 所處的象限來計算正確的反正切值。

相反地, 可以從直角坐標變換為圓柱坐標:

x=\rho \cos\phi
y=\rho \sin\phi
z=z

球坐標系[編輯]

用球坐標 (r,\ \theta,\ \phi) 來表示一個點的位置
更多資料:球坐標系

使用以下方程式,可以從球坐標變換為圓柱坐標:

\rho=r\sin\theta
\phi=\phi
z=r\cos\theta

相反地, 可以從圓柱坐標變換為球坐標:

r=\sqrt{\rho^2+z^2}
\theta=\arctan\frac{\rho}{z}
\phi=\phi

坐標因子[編輯]

圓柱坐標系的坐標因子分別為

h_{\rho} =1
h_{\phi} =\rho
h_{z} =1

在許多關於圓柱坐標系的問題中,我們時常需要知道線元素與體積元素的方程式;用這些方程式來求解關於徑長或體積的積分問題。線元素是

\mathrm d\mathbf{r} = \mathrm d\rho\,\boldsymbol{\hat \rho} + \rho\,\mathrm d\varphi\,\boldsymbol{\hat\varphi} + \mathrm dz\,\mathbf{\hat z}

面積元素是

\mathrm dS= \rho\,d\varphi\,dz

體積元素是

\mathrm dV = \rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\varphi\,\mathrm dz

劈形算符表示為

\nabla = \boldsymbol{\hat \rho}\frac{\partial}{\partial \rho} + \boldsymbol{\hat \varphi}\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \varphi} + \mathbf{\hat z}\frac{\partial}{\partial z}

拉普拉斯算子

\nabla^2 \Phi={1 \over \rho}{\partial \over \partial \rho}\left(\rho{\partial \Phi \over \partial \rho}\right) + {1 \over \rho^2}{\partial^2 \Phi \over \partial \phi^2} 
  + {\partial^2 \Phi \over \partial z^2}

其它微分算子,像 \nabla \cdot \mathbf{F}\nabla \times \mathbf{F} ,都可以用 (\rho,\ \phi,\ z) 坐標表示,只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用[編輯]

圓柱坐標常被用來分析,選用 z-軸為對稱軸,有軸對稱特性的物體。例如,一個無限長的圓柱,具有直角坐標方程式 x^2+y^2=c^2;用圓柱坐標來表示,有一個非常簡易的方程式 \rho=c。這也是圓柱坐標系名稱的由來。

參閱[編輯]