埃拉托斯特尼篩法

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埃拉托斯特尼篩法,簡稱埃氏篩,是一種公元前250年由古希臘數學家埃拉托斯特尼所提出的一種簡單檢定質數演算法

算式[編輯]

給出要篩數值的範圍n,找出\sqrt{n}以內的質數p_{1},p_{2},\dots,p_{k}。先用2去篩,即把2留下,把2的倍數剔除掉;再用下一個質數,也就是3篩,把3留下,把3的倍數剔除掉;接下去用下一個質數5篩,把5留下,把5的倍數剔除掉;不斷重複下去......。

步驟[編輯]

埃拉托斯特尼篩法

詳細列出演算法如下:

  1. 列出2以後的所有序列:
    • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  2. 標出序列中的第一個質數,也就是2,序列變成:
    • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  3. 將剩下序列中,劃摽2的倍數(用紅色標出),序列變成:
    • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  4. 如果現在這個序列中最大數小於最後一個標出的質數的平方,那麼剩下的序列中所有的數都是質數,否則回到第二步。

  1. 本例中,因為25大於2的平方,我們返回第二步:
  2. 剩下的序列中第一個質數是3,將主序列中3的倍數划出(紅色),主序列變成:
    • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  1. 我們得到的質數有:2,3
  2. 25仍然大於3的平方,所以我們還要返回第二步:
  3. 現在序列中第一個質數是5,同樣將序列中5的倍數划出,主序列成了:
    • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  4. 我們得到的質數有:2 3 5 。
  5. 因為25等於5的平方,跳出循環.

結論:去掉紅色的數字,2到25之間的質數是:2 3 5 7 11 13 17 19 23。


下列是虛擬碼演算法:

// arbitrary search limit
limit ← 1.000.000                   

// assume all numbers are prime at first                                    
                                                                            
is_prime(i) ← true, i ∈ [2, limit] 

for n in [2, √limit]:
    if is_prime(n):
        // eliminate multiples of each prime,
        // starting with its square
        is_prime(i) ← false, i ∈ {n², n²+n, n²+2n, ..., limit}

for n in [2, limit]:
    if is_prime(n): print n

可再簡化為:

limit = 1000000
sieve$ = string of the character "P" with length limit

prime = 2
repeat while prime2 < limit
    set the character at the index of each multiple of prime (excluding index prime * 1) in sieve$ to "N"
    prime = index of the next instance of "P" in sieve$ after index prime
end repeat

print the index of each instance of "P" in sieve$

參考文獻[編輯]

  • Κοσκινον Ερατοσθενους or, The Sieve of Eratosthenes. Being an Account of His Method of Finding All the Prime Numbers, by the Rev. Samuel Horsley, F. R. S., Philosophical Transactions (1683-1775), Vol. 62. (1772), pp. 327-347.

參見[編輯]

外部連結[編輯]