外積

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外積直譯叉積(cross product),符號\times,在線性代數中一般指兩個向量的張量積;或在幾何代數中,指有類似的運算如楔積。這些運算的勢是笛卡爾積的勢。

這個名字與內積相對,它是有次序的積,即\vec{a}\times \vec{b}不等於\vec{b}\times \vec{a}

矩陣乘法定義[編輯]

向量的外積是矩陣的克羅內克積的特殊情況。

給定 m\times 1 列向量 \mathbf{u}1 \times n 行向量 \mathbf{v},它們的外積 \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} 被定義為 m\times n 矩陣 \mathbf{A},結果出自

\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{A} = \mathbf{u} \mathbf{v}

這裡的張量積就是向量的乘法。

使用坐標:

\begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4\end{bmatrix}  \otimes   \begin{bmatrix}a_1 & a_2 & a_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_1b_1 & a_2b_1 & a_3b_1 \\ a_1b_2 & a_2b_2 & a_3b_2 \\ a_1b_3 & a_2b_3 & a_3b_3 \\ a_1b_4 & a_2b_4 & a_3b_4\end{bmatrix}

對於複數向量,習慣使用 \mathbf{v}復共軛(指示為 \bar{\mathbf{v}}),因為人們把行向量認為是對偶空間復共軛向量空間的元素:

\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{A} = \mathbf{u} \bar{\mathbf{v}}

如果 \mathbf{v} 是列向量,定義變為:

\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{A} = \mathbf{u} \mathbf{v}^*

這裡的 \mathbf{v}^*\mathbf{v}共軛轉置

相對於內積[編輯]

如果 \mathbf{v} 是行向量,而且 m = n,則可以採用其他方式的積,生成一個純量(或 1 \times 1 矩陣):

\left\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\right\rangle = \left\langle \mathbf{v}, \mathbf{u}\right\rangle  = \mathbf{v} \mathbf{u}

它是歐幾里得空間的標準內積,常叫做點積

抽象定義[編輯]

給定向量 v \in V余向量 w^* \in W^*,張量積 v \otimes w^* 給出映射 A\colon W \to V,在同構 \mathrm{Hom}(W,V) = W^* \otimes V 之下。

具體的說,給定 w \in W

A(w) := w^*(w)v

這裡的 w^*(w)w^*w 上的求值,它生成一個純量,接著乘 v

可作為替代,它是 w^*\colon W \to Kv\colon K \to V 的複合。

如果 W=V,則還可以配對 w^*(v),這是內積


參見[編輯]