對數

維基百科,自由的百科全書
(重定向自對數
跳轉到: 導覽搜尋
各種底數的對數: 紅色函數底數是e, 綠色函數底數是2,而藍色函數底數是1/2。在數軸上每個刻度是半個單位。所有底數的對數函數都通過點(1,0),因為任何數的0次冪都是1,而底數 β 的函數通過點(β , 1),因為任何數的1次冪都是自身1。曲線接近 y 軸但永不觸及它,因為 x=0的奇異性。

在數學中,數 x(對於底數β)的對數是 βy 的指數y,使得 x=βy。底數 β 的值一定不能是1或0(在擴展到複數複對數情況下不能是1的方根),典型的是e、 10或2。數x(對於底數β)的對數通常寫為

y=\log_\beta x\!

xβ進一步限制為正實數的時候,對數是1個唯一的實數。 例如,因為

3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3=81

我們可以得出

4=\log_3 81\!

用日常語言說,以3為底的81的對數是4。

對數函數[編輯]

函數\log_\alpha x依賴於αx二者,但是術語對數函數在標準用法中用來稱呼形如\log_\alpha x的函數,在其中底數α是固定的而只有一個參數x。所以對每個基\alpha=|R|\ne0,1的值(不得是負數、0或1)只有唯一的對數函數。從這個角度看,底數α的對數函數是指數函數y=\alpha^x反函數。詞語「對數」經常用來稱呼對數函數自身和這個函數的1個特定值。

對數函數圖像和指數函數圖像關於直線y=x對稱,互為逆函數

對數函數的性質有:

  1. 都過(1,0)點;
  2. 定義域為(0,1)∪(1,+∞),值域R
  3. α>1,在(0,+∞)上是增函數;1>α>0時,在(0,+∞)上是減函數。

運算公式[編輯]

和差[編輯]


\begin{align}
\log_\alpha\ M\!N&=\log_\alpha\ \beta^m\!\beta^n\\
&=\log_\alpha\ \beta^{m+n}\\
&=(m+n)\log_\alpha\!\beta\\
&=m\log_\alpha\!\beta+n\log_\alpha\!\beta\\
&=\log_\alpha\ \beta^m+\log_\alpha\ \beta^n\\
&=\log_\alpha\!M+\log_\alpha\!N\\
\log_\alpha\!\frac{M}{N}&=\log_\alpha\!M+\log_\alpha\!\frac{1}{N}\\
&=\log_\alpha\!M-\log_\alpha\!N
\end{align}

基變換(換底公式)[編輯]

\log_\alpha\!x=\frac{\log_\beta\!x}{\log_\beta\!\alpha}

  • 推導:
\log_\alpha\!x=t
x=\alpha^{t}
兩邊取對數,則有\log_\beta\!x=log_\beta\!\alpha^{t}
\log_\beta\!x=tlog_\beta\!\alpha
又∵ \log_\alpha\!x=t


\log_\alpha\!x=\frac{\log_\beta\!x}{\log_\beta\!\alpha}


指係[編輯]


\begin{align}
\log_{\alpha^n}\ {x^m}&=\frac{\ln\ x^m}{\ln\ \alpha^n}\\
&=\frac{m\ln\!x}{n\ln\!\alpha}\\
&=\frac{m}{n}\log_\alpha\!x
\end{align}

還原[編輯]


\begin{align}
\alpha^{\log_\alpha\!x}&=x\\ 
&=\log_\alpha\!\alpha^x
\end{align}

互換[編輯]

M^{\log_\alpha\!N}=N^{\log_\alpha\!M}

倒數[編輯]

\log_\phi\!\theta=\frac{\ln\!\theta}{\ln\!\phi}=\dfrac{1}{\dfrac{\ln\!\phi}{\ln\!\theta}}=\frac{1}{\log_\theta\!\phi}

鏈式[編輯]


\begin{align}
\log_\beta\!\alpha\log_\gamma\!\beta&=\frac{\ln\!\alpha}{\ln\!\beta}\ \frac{\ln\!\beta}{\ln\!\gamma}\\
&=\frac{\ln\!\alpha}{\ln\!\gamma}\\
&=\log_\gamma\!\alpha
\end{align}

有理和無理指數[編輯]

如果n有理數,{\beta}^n表示等於\betan個因子的乘積:

{\beta}^n=\underbrace{\beta\times\beta\times\cdots\times\beta}_n

但是,如果\beta是不等於1的正實數,這個定義可以擴展到在一個中的任何實數n(參見)。類似的,對數函數可以定義於任何正實數。對於不等於1的每個正底數\beta,有一個對數函數和一個指數函數,它們互為反函數。

對數可以簡化乘法運算為加法,除法為減法,冪運算為乘法,根運算為除法。所以,在發明電子計算機之前,對數對進行冗長的數值運算是很有用的,它們廣泛的用於天文工程航海測繪等領域中。它們有重要的數學性質而在今天仍在廣泛使用中。

特殊底數[編輯]

最常用做底數的是e、10和2。 在數學分析中,以e為底對數很常見。另一方面,以10為底對數在十進制表示法中,手工計算很容易:[1]

\log_{10} 10 x = \log_{10} 10 + \log_{10} x = 1 + \log_{10} x.\

所以log10x表示正整數x的位數:數字的十進制位數是嚴格大於log10x的最小的整數。例如 log10 1430 ≈ 3.15 ,下一個整數是4,即1430的位數。以2為底的對數常用於計算機科學,因為計算機中二進制很普及。

下表列出了這些底數的常用的對數符號以及他們所使用的領域。許多學科都寫log(x)來代替logb(x),根據前後文可以確定,記號blog(x)也出現過。[2]「ISO表示法」(ISO 31-11)一列指定了ISO推薦的表示方法。[3]

底數 b logb(x)的名稱 ISO表示法 其它的表示方法 適用領域
2 二進制對數 lb x[4] ld x 、 log x 、 lg x 計算機科學、資訊理論、數學
e 自然對數 ln x[nb 1] log x
(用於數學和許多程式語言[nb 2]
數學分析、物理學、化學
統計學經濟學和其它工程領域
10 常用對數 lg x log x
(用於工程學、生物學、天文學)
多種工程學領域 (見分貝)、
對數、手持式計算器光譜學

底數變換[編輯]

儘管有很多有用的恆等式,對計算器最重要的是找到不是建造於計算器內的底數(通常是loge和log10)的其他底數的對數。要使用其他底數β找到底數α的對數:

\log_\alpha x=\frac{\log_\beta x}{\log_\beta\alpha}

此外,這個結果蘊涵了所有對數函數(任意底數)都是相互類似的。所以用計算器計算對134217728底數2的對數:

\log_2134217728=\frac{\ln134217728}{\ln2}=\frac{27\ln2}{\ln2}=27

對數的用途[編輯]

對數對解冪是未知的方程是有用的。它們有簡單的導數,所以它們經常用在解積分中。對數是三個相關的函數中的一個。在等式bn = x中,b可以從xn方根nx 的b底數的對數,xbn次的來確定。參見對數恆等式得到掌控對數函數的一些規則。

簡便計算[編輯]

對數把注意力從平常的數轉移到了冪。只要使用相同的底數,就會使特定運算更容易:

數的運算 冪的運算 對數恆等式
\,xy \,m+n \,\log_{\theta}xy=\log_{\theta}x+\log_{\theta}y
\frac{x}{y} \,m-n \log_{\theta}\frac{x}{y}=\log_{\theta}x-\log_{\theta}y
\,x^y \,mn \,\log_{\theta}x^y=y\log_{\theta}x
\sqrt[y]{x} \frac{m}{n} \log_{\theta}\sqrt[y]{x}=\frac{\log_{\theta}x}{y}

這些關係使在兩個數上的這種運算更快,在加法計算器出現之前正確的使用對數是基本技能。

群論[編輯]

從純數學的觀點來看,恆等式: \log_\alpha\Mu\Nu=\log_\alpha\Mu+\log_\alpha\Nu\!, 在兩種意義上是基本的。首先,其他3個算術性質可以從它得出。進一步的,它表達了在正實數的乘法群和所有實數的加法群之間的同構

對數函數是從正實數的乘法群到實數的加法群的唯一連續同構。

複對數[編輯]

複對數計算公式

{}_{{\color{blue}{\rm{Log}}_{c+d{\rm{i}}} (a+b{\rm{i}}) =\frac{\ln\left(a^2+b^2)\cdot\ln(c^2+d^2\right)+4\left(\arctan\frac{b}{a}+2k\pi\right) \left(\arctan\frac{d}{c}+2n\pi\right) +\left[2\left(\arctan\frac{b}{a}+2k\pi\right)\ln\left(c^2+d^2\right)-2\left(\arctan\frac{d}{c}+2n\pi\right)\ln\left(a^2+b^2\right)\right]{\rm{i}}}{\ln^2\left(c^2+d^2\right)+4\left(\arctan\frac{d}{c}+2n\pi\right)^2}}}
{}_{{\color{red}\ (a+b{\rm{i}})^{\left(c+d{\rm{i}}\right)}=e^{\frac{c}{2}\ln\left(a^2+b^2\right)-\left(d+2n\pi\right)\left(\arctan\frac{b}{a}+2k\pi\right)}\left\{\cos \left[c\left(\arctan\frac{b}{a}+2k\pi\right)+\frac{1}{2}\left(d+2n\pi\right)\ln\left(a^2+b^2\right)\right] +{\rm{i}}\sin\left[c\left(\arctan\frac{b}{a}+2k\pi\right)+\frac{1}{2}\left(d+2n\pi\right)\ln\left(a^2+b^2\right)\right]\right\}}}
\begin{cases}
 \arctan0={\pi}, & \mbox{for }a  0\!\, \\
\end{cases}
\mathbb{Z}=\{k,n\}

微積分[編輯]

自然對數函數的導數

\frac{\rm{d}} {{\rm{d}}x} \ln x = \frac{1}{x}

通過應用換底規則,其他底數的導數是

\frac{\rm{d}}{{\rm{d}}x} \log_b x = \frac{\rm{d}}{{\rm{d}}x} \frac {\ln x}{\ln b} = \frac{1}{x \ln b}

自然對數\ln x\,不定積分

\int \ln x \,{\rm{d}}x = x \ln x - x + C,

而其他底數對數的不定積分

\int \log_b x \,{\rm{d}}x = x \log_b x - \frac{x}{\ln b} + C = x \log_b \frac{x}{e} + C

計算自然對數的級數[編輯]

有一些級數用來計算自然對數。[8]最簡單和低效的是:

\ln z=\sum_{n=1}^\infty\frac{-{(-1)}^n}{n}(z-1)^n|z-1|<1\!

下做推導:

\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots

在兩邊積分得到

-\ln(1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots
\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}-\cdots

z=1-x\!並因此x=-(z-1)\!,得到

\ln z=(z-1)-\frac{(z-1)^2}{2}+\frac{(z-1)^3}{3}-\frac{(z-1)^4}{4}+\cdots

更有效率的級數是基於反雙曲函數

\ln z=2\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2n+1}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^{2n+1}

對帶有正實部的z

推導:代換-xx,得到

\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots

做減法,得到

\ln\frac{1+x}{1-x}=\ln(1+x)-\ln(1-x)=2x+2\frac{x^3}{3}+2\frac{x^5}{5}+\cdots

z=\frac{1+x}{1-x} \!並因此x = \frac{z-1}{z+1} \!,得到

\ln z=2\left(\frac{z-1}{z+1}+\frac{1}{3}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^3+\frac{1}{5}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^5 + \cdots\right)

例如,應用這個級數於

z=\frac{11}{9},

得到

\frac{z-1}{z+1}=\frac{\frac{11}{9}-1}{\frac{11}{9}+1}=\frac{1}{10},

並因此

\ln1.\dot{2}=\frac{1}{5}\left(1+\frac{1}{3\cdot100}+\frac{1}{5\cdot10000}+\frac{1}{7\cdot1000000}+\cdots\right)
=0.2\cdot(1.0000000\dots+0.00\dot{3}+0.00002+0.000000\dot{1}4285\dot{7}+\cdots)
=0.2\cdot1.00335\cdots=0.200670\cdots

在這裡我們在第一行的總和中提出了因數1/10。

對於任何其他底數β,我們使用

\log_\beta x=\frac{\ln x}{\ln\beta}

計算機[編輯]

多數計算機語言把log(x)用做自然對數,而常用對數典型的指示為log10(x)。參數和返回值典型的是浮點數據類型。

因為參數是浮點數,可以有用的做如下考慮:

浮點數值x被表示為尾數m和指數n所形成的

x = m2^n

因此

\ln(x) = \ln(m) + n\ln(2)

所以,替代計算\ln(x),我們計算對某個m\ln(m)使得1 ≤ m ≤ 2。有在這個範圍內的m意味著值u = \frac{m - 1}{m+1}總是在範圍0 \le u < \frac13內。某些機器使用在範圍0.5 \le m < 1內的尾數,並且在這個情況下u的值將在範圍-\frac13 < u \le 0內。在任何一種情況下,這個級數都是更容易計算的。

一般化[編輯]

普通的正實數的對數一般化為負數和複數參數,儘管它是多值函數,需要終止在分支點0上的分支切割,來製作一個普通函數或主分支。複數z的(底數e)的對數是複數ln(|z|) + i arg(z),這裡的 |z| 是z,arg(z)是輻角,而i虛單位;詳情參見複對數

離散對數是在有限群理論中的相關概念。它涉及到解方程bn = x,這裡的bx是這個群的元素,而n是指定在群運算上的冪。對於某些有限群,據信離散對數是非常難計算的,而離散指數非常容易。這種不對稱性可用於公開密鑰加密

矩陣對數矩陣指數的反函數。

對於不等於1的每個正數b,函數logb (x)是從在乘法下的正實數的到在加法下(所有)實數的群的同構。它們是唯一的連續的這種同構。對數函數可以擴展為在乘法下正實數的拓撲空間哈爾測度

歷史[編輯]

對數方法是蘇格蘭的Merchiston男爵約翰·納皮爾1614年在書《Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio[9]》中首次公開提出的。(Joost Bürgi獨立發現了對數,但直到納皮爾之後4年才發表)這個方法對科學進步有所貢獻,特別是對天文學,使某些繁難的計算成為可能。在計算器和計算機發明之前,它持久的用於測量、航海、和其他實用數學分支中。

符號史[編輯]

對數符號log出自拉丁文logarithm,最早由義大利數學家卡瓦列里(Cavalieri)所使用。20世紀初,形成了對數的現代表示\log_\alpha\Nu。為了使用方便,人們逐漸把以10為底的常用對數及以無理數e為底的自然對數分別記作lgN和lnN

對數表[編輯]

20世紀的常用對數表的一個實例。

在發明計算機計算器之前,使用對數意味著使用對數表,它必須手工建立。

參見[編輯]

  1. 對數恆等式
  2. 自然對數
  3. 常用對數
  4. 離散對數
  5. 芮氏地震規模
  6. 分貝

[編輯]

  1. ^ 一些數學家反對這種表示法。在他的1985年的自傳中,保羅·哈爾莫斯批評了這種表示法,稱之為「幼稚的表示法」,他說沒有一位數學家這麼用過。[5] 這種表示法是數學家Irving Stringham發明的。[6][7]
  2. ^ 例如 C語言Java語言Haskell語言BASIC語言

引用[編輯]

  1. ^ Downing, Douglas, Algebra the Easy Way, Barron's Educational Series, Hauppauge, N.Y.: Barron's. 2003, ISBN 978-0-7641-1972-9 , chapter 17, p. 275
  2. ^ Wegener, Ingo, Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms, Berlin, New York: Springer-Verlag. 2005, ISBN 978-3-540-21045-0 , p. 20
  3. ^ B. N. Taylor, Guide for the Use of the International System of Units (SI), US Department of Commerce. 1995 
  4. ^ Gullberg, Jan, Mathematics: from the birth of numbers., New York: W. W. Norton & Co. 1997, ISBN 978-0-393-04002-9 
  5. ^ Paul Halmos, I Want to Be a Mathematician: An Automathography, Berlin, New York: Springer-Verlag. 1985, ISBN 978-0-387-96078-4 
  6. ^ Irving Stringham, Uniplanar algebra: being part I of a propædeutic to the higher mathematical analysis, The Berkeley Press. 1893:  xiii 
  7. ^ Roy S. Freedman, Introduction to Financial Technology, Amsterdam: Academic Press. 2006:  59, ISBN 978-0-12-370478-8 
  8. ^ Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards (Applied Mathematics Series no.55), June 1964, page 68.
  9. ^ Much of the history of logarithms is derived from The Elements of Logarithms with an Explanation of the Three and Four Place Tables of Logarithmic and Trigonometric Functions, by James Mills Peirce, University Professor of Mathematics in Harvard University, 1873.

外部連結[編輯]