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對稱矩陣

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線性代數
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}
向量 · 矩陣  · 行列式  · 線性空間

線性代數中,對稱矩陣是一個方形矩陣,其轉置矩陣和自身相等。

A = A^{\textrm{T}} , \,\!

對稱矩陣中的右上至左下方向元素以主對角線(左上至右下)為軸進行對稱。若將其寫作A = (a_{ij}),則:

a_{ij} = a_{ji} \,\!

ij對等時。下列是3×3的對稱矩陣:

\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 4 & -5\\
3 & -5 & 6\end{bmatrix}

下列是斜對稱矩陣(又稱反對稱矩陣):

\begin{bmatrix}
0 & -3 & 4\\
3 & 0 & -5\\
-4 & 5 & 0\end{bmatrix}

例子[編輯]


\begin{pmatrix} 
a & b & c \\
b & d & e \\
c & e & f 
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix} 
1 & 3 & 0 \\
3 & 1 & 6 \\
0 & 6 & 1 
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix} 
1 & 5 \\
5 & 7
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix} 
2
\end{pmatrix}

特性[編輯]

  • 對於任何方形矩陣XX+X^T是對稱矩陣。
  • A方形矩陣A為對稱矩陣的必要條件。
  • 對角矩陣都是對稱矩陣。
  • 兩個對稱矩陣的積是對稱矩陣,若且唯若兩者的乘法交換。兩個實對稱矩陣乘法可交換若且唯若兩者的特徵空間相同。
  • 用<,>表示R^n上的內積n \times n的實矩陣A是對稱的,若且唯若對於所有x,y\in\Bbb{R}^n\langle Ax,y \rangle = \langle x, Ay\rangle
  • 任何方形矩陣X,如果它的元素屬於一個特徵值不為2的域(例如實數),可以用剛好一種方法寫成一個對稱矩陣和一個斜對稱矩陣之和:
X = \frac{1}{2}(X+X^T)+\frac{1}{2}(X-X^T)
  • 每個實方形矩陣都可寫作兩個實對稱矩陣的積,每個複方形矩陣都可寫作兩個複對稱矩陣的積。
  • 若對稱矩陣A的每個元素均為實數,AHermite矩陣
  • 一個矩陣同時為對稱矩陣及斜對稱矩陣若且唯若所有元素都是零。
  • 如果X是對稱矩陣,那麼 AXA^\textrm{T} 也是對稱矩陣.

分解[編輯]

利用若爾當標準形,我們可以證明每一個實方陣都可以寫成兩個實對稱矩陣的乘積,而每一個復方陣都可以寫成兩個復對稱矩陣的乘積。(Bosch, 1986)

每一個實非奇異矩陣都可以唯一分解成一個正交矩陣和一個對稱正定矩陣的乘積,這稱為極分解。奇異矩陣也可以分解,但不是唯一的。

楚列斯基分解說明每一個實正定對稱矩陣都是一個上三角矩陣和它的轉置的乘積。

黑塞矩陣[編輯]

實對稱n × n矩陣出現在二階連續可微的n元函數的黑塞矩陣之中。

Rn上的每一個二次型q都可以唯一寫成q(x) = xTAx的形式,其中A是對稱的n × n矩陣。於是,根據譜定理,可以說每一個二次型,不考慮Rn的正交基的選擇,「看起來像」:

q(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i^2

其中λi是實數。這大大簡化了二次型的研究,以及水平集{x : q(x) = 1}的研究,它們是圓錐曲線的推廣。

這是很重要的,部分是由於每一個光滑的多元函數的二階表現,都由屬於該函數的黑塞矩陣的二次型描述;這是泰勒定理的一個結果。

可對稱化矩陣[編輯]

矩陣A稱為可對稱化的,如果存在一個可逆對角矩陣D和一個對稱矩陣S,使得:

A = DS.

可對稱化矩陣的轉置也是可對稱化的,因為(DS)^T = DD^{-1}SD。矩陣A = [a_{jk}]是可對稱化的,若且唯若滿足以下的條件:

  1. 如果a_{ij} = 0,那麼a_{ji} = 0
  2. 對於任何有限序列i_1, i_2, ..., i_k,都有a_{i_1i_2} a_{i_2i_3}...a_{i_ki_1} = a_{i_2i_1} a_{i_3i_2}...a_{i_1i_k}

與不等式的關係[編輯]

對稱陣 Z 分解為3行3列:


\begin{bmatrix} 
Z_{11} & Z_{12} & Z_{13} \\
Z_{12}^T & Z_{22} & Z_{23} \\
Z_{13}^T & Z_{23}^T & Z_{33} 
\end{bmatrix}

若且唯若


\begin{bmatrix} 
Z_{11} & Z_{12} \\
Z_{12}^T & Z_{22}
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix} 
Z_{11} & Z_{13} \\
Z_{13}^T & Z_{33}
\end{bmatrix}

時, 存在 X = Z_{13}^T Z_{11}^{-1} Z_{12} - Z_{23}^T, 使得


\begin{bmatrix} 
Z_{11} & Z_{12} & Z_{13} \\
Z_{12}^T & Z_{22} & Z_{23}+X^T \\
Z_{13}^T & Z_{23}^T+X & Z_{33} 
\end{bmatrix} < 0

成立。

參見[編輯]

參考文獻[編輯]

  • A. J. Bosch. The factorization of a square matrix into two symmetric matrices. American Mathematical Monthly. 1986, 93: 462–464. doi:10.2307/2323471.