布豐投針問題

布豐投針問題（Buffon's needle problem，又譯「蒲豐投針問題」）是布豐於18世紀提出的一個數學問題：

設我們有一個以平行且等距木紋舖成的地板（如右圖），現在隨意拋一支長度比木紋之間距離小的針，求針和其中一條木紋相交的機率。

使用積分幾何能找到此題的解。用該方法可設計一個求π的蒙地卡羅方法，不過這並非布豐的本意。

解法

設針的長度是$\ell$，平行線之間的距離為$t$，$x$為針的中心和最近的平行線的距離，$\theta$為針和線之間的銳角。

$x\in [0,t/2]$且均勻分布，其機率密度函數為${\frac {2}{t}}$。

$\theta \in [0,\pi /2]$且均勻分布，其機率密度函數為${\frac {2}{\pi }}$。

$x,\theta$兩個隨機變數互相獨立，因此兩者結合的機率密度函數只是兩者的積：

${\frac {4}{t\pi }}\ (x\in [0,t/2],\theta \in [0,\pi /2])$

當$x\leq {\frac {\ell }{2}}\sin \theta$，針和線相交，然後對$x,\theta$積分得出所求機率。

要求上式的積分需要分為兩種情況：「短針」$({\ell }\leq t)$以及「長針」$({\ell }>t)$；以下考慮「短針」情況，計算上式積分得針與線相交的機率：

$P=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{(\ell /2)\sin \theta }{\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta ={\frac {2\ell }{t\pi }}$

作簡單變換可得$\pi ={\frac {2\ell }{tP}}$,

當拋$n$支針，其中有$h$支針與線相交，利用多次重複試驗所觀察事件發生的頻率越來越接近機率的理論值$P\approx {\frac {h}{n}}$。

近似可得$\pi \approx {\frac {2\ell n}{th}}$

拉扎里尼的估計

1901年，義大利數學家馬里奧·拉扎里尼（Mario Lazzarini）嘗試進行此實驗。他拋了3408次針，得到π的近似值為355/113。

拉扎里尼選取了一支長度是紋的距離的5/6的針。在這個情況，針和紋相交的機會是5/(3π)。如果想拋n次針而得到x次相交，π約等於$5/3\times n/x$。分母、分子少於五位數字，沒有比355/113更好的π的近似值了。因此，可以列式$355/113=5/3\times n/x$，得$x=113n/213$。

為求x的值接近這個數，可以重覆拋213次針，若有113次是成功的，便可終止實驗，宣布這個方法求π值準確度不低；否則，就再拋213次針，希望共有226次成功……這次反覆進行實驗。拉扎里尼做了$3408=213\times 16$次。

參見

• 伯特蘭悖論
• 蒙地卡羅方法

外部連結

• Buffon's Needle Problem （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at cut-the-knot
• Math Surprises: Buffon's Noodle （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at cut-the-knot
• MSTE: Buffon's Needle （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Buffon's Needle Java Applet （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Estimating PI Visualization (Flash) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Buffon's needle: fun and fundamentals (presentation) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at slideshare
• Animations for the Simulation of Buffon's Needle （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Yihui Xie using the R package animation
• 3D Physical Animation （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Jeffrey Ventrella
• Padilla, Tony. Π Pi and Buffon's Needle. Numberphile. Brady Haran. [2013-04-09]. （原始內容存檔於2013-05-17）.