平面

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以人類的尺度而言,桌面可近似地看作一類平面。

數學上,一個平面(plane)就是基本的二維對象。直觀的講,它可以視為一個平坦的無窮大的紙。多數幾何三角學和製圖的基本工作都在二維進行,或者說,在平面上進行。

給定一個平面,可以引入一個直角坐標系以便在平面上用兩個數字唯一的標示一個點,這兩個數字也就是它的坐標。

在三維x-y-z坐標系中,可以將平面定義為一個方程的解集:

ax + by + cz + d = 0,

其中a, b, cd實數,使得a, b, c不全為0。或者,一個平面也可以參數化的表述,作為所有具有u + s v + t w形式的點的集合,其中st取遍所有實數,而u, vw是給定用於定義平面的向量

平面由如下組合的任何一個唯一確定

  • 三個不共線的(不位於同一直線上的)
  • 一條直線和線外一點
  • 一個點和一條垂直於平面的直線
  • 兩條相交的直線
  • 兩條平行的直線

在三維空間,兩個不同平面或平行或交於一條直線。不和給定平面平行的直線交平面於一點。

由一點和一個法向量決定的平面[編輯]

對於一點 P_0 = (x_0,y_0,z_0) 和一個向量 \vec{n} = (a, b, c) ,平面方程為

 ax + by + cz = a x_0 + b y_0 + c z_0

這是穿過點 P_0 並垂直於向量\vec{n}的平面。

通過三點的平面[編輯]

穿過三點 P_1 = (x_1,y_1,z_1) ,  P_2 = (x_2,y_2,z_2)  P_3 = (x_3,y_3,z_3) 的平面的方程可以表述為如下行列式:

 \begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\
x_2 - x_1 & y_2 - y_1& z_2 - z_1 \\
x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0

一點到平面的距離[編輯]

對於一點 P_1 = (x_1,y_1,z_1) 和一個平面ax + by + cz + d = 0,從點 P_1 到平面的距離是:

 D = \frac{\left | a x_1 + b y_1 + c z_1+d \right |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

兩個平面的夾角[編輯]

兩個相交平面的夾角,稱為兩面角(dihedral angle),可以用平面方程a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0給出如下:

 \alpha = \arccos{\frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}} .

外部連結[編輯]