幾何分佈

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幾何分布
機率質量函數
Geometric pmf.svg
累積分布函數
Geometric cdf.svg
參數 0< p \leq 1成功機率( 0< p \leq 1成功機率(
支撐集 k \in \{1,2,3,\dots\}\! k \in \{0,1,2,3,\dots\}\!
機率密度函數 (pdf) (1 - p)^{k-1}\,p\! (1 - p)^{k}\,p\!
累積分布函數 (cdf) 1-(1 - p)^k\! 1-(1 - p)^{k+1}\!
期望值 \frac{1}{p}\! \frac{1-p}{p}\!
中位數 \left\lceil \frac{-1}{\log_2(1-p)} \right\rceil\!(如果-1/\log_2(1-p)是整數,則中位數不唯一) \left\lceil \frac{-1}{\log_2(1-p)} \right\rceil\! - 1(如果-1/\log_2(1-p)是整數,則中位數不唯一)
眾數 1 0
方差 \frac{1-p}{p^2}\! \frac{1-p}{p^2}\!
偏度 \frac{2-p}{\sqrt{1-p}}\! \frac{2-p}{\sqrt{1-p}}\!
超值峰度 6+\frac{p^2}{1-p}\! 6+\frac{p^2}{1-p}\!
\tfrac{-(1-p)\log_2 (1-p) - p \log_2 p}{p}\! \tfrac{-(1-p)\log_2 (1-p) - p \log_2 p}{p}\!
動差生成函數 (mgf) \frac{pe^t}{1-(1-p) e^t}\!,
for t<-\ln(1-p)\!
\frac{p}{1-(1-p)e^t}\!
特徵函數 \frac{pe^{it}}{1-(1-p)\,e^{it}}\! \frac{p}{1-(1-p)\,e^{it}}\!

機率論統計學中,幾何分佈(Geometric distribution)指的是以下兩種離散型機率分佈中的一種:

  • 伯努利試驗中,得到一次成功所需要的試驗次數XX的值域是{ 1, 2, 3, ... }
  • 在得到第一次成功之前所經歷的失敗次數Y = X − 1。Y的值域是{ 0, 1, 2, 3, ... }

實際使用中指的是哪一個取決於慣例和使用方便。

這兩種分布不應該混淆。前一種形式(X的分布)經常被稱作shifted geometric distribution;但是,為了避免歧義,最好明確地說明取值範圍。

如果每次試驗的成功機率是p,那麼k次試驗中,第k次才得到成功的機率是,

\Pr(X = k) = (1-p)^{k-1}\,p\,

其中k = 1, 2, 3, ....

上式描述的是取得一次成功所需要的試驗次數。而另一種形式,也就是第一次成功之前所失敗的次數,可以寫為,

\Pr(Y=k) = (1 - p)^k\,p\,

其中k = 0, 1, 2, 3, ....

兩種情況產生的序列都是幾何數列

比如,假設不停地擲骰子,直到得到1。投擲次數是隨機分布的,取值範圍是無窮集合{ 1, 2, 3, ... },並且是一個p = 1/6的幾何分布。

性質[編輯]

呈幾何分布的隨機變數X期望值是1/p方差是 (1-p)/p2:

\mathrm{E}(X) = \frac{1}{p},
 \qquad\mathrm{var}(X) = \frac{1-p}{p^2}.

類似的,呈幾何分布的隨機變數Y期望值是 (1-p)/p方差是 (1-p)/p2:

\mathrm{E}(Y) = \frac{1-p}{p},
 \qquad\mathrm{var}(Y) = \frac{1-p}{p^2}.

記號[編輯]

若隨機變數\mathit{X}服從參數為\mathit{p}的幾何分布,則記為X \sim G(p).

參見[編輯]

機率分佈