應用數學

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應用數學英語applied mathematics)是應用性較強的諸數學學科或分支的統稱。也有一種理解為,泛指一切數學理論和方法中應用性較強的部分。這裡的「應用」是指用於解決數學以外的生產實踐、科學技術以及各種社會活動中的理論或實際問題。從人類社會發展史上看,數學本來起源於實際應用的需要,應用一直是數學的發展動力之一,一種數學理論和一門數學學科的生命力的強弱,很大程度上依賴於它有無應用。因此,從這個意義上講,整個數學都是有用的。事實上,古老的算術與平面幾何等不但起源於實際應用,在現代社會活動中也是不可一時或缺的。許多昔日認為毫無實際意義的數學理論,如數論拓撲凸分析以至非標準分析,都在生產和科技發展中找到它們的應用。因此不能簡單地以「有用」或「無用」來區分應用數學的學科。像微積分在天文、物理及許多科技領域都有廣泛的應用,理論力學就完全是應用微積分解決經典力學問題的學科。但從整個學科看,應用只是它的一部分,以微積分為其主體的數學分析是分析數學的基礎,所以它還是應該屬於純數學。[1]

歷史[編輯]

在古代,數學本無「應用」和「純粹」之分,「應用數學」一詞大約出現於17世紀前後,高等數學方才萌芽,數學的抽象層次提高,理論和應用開始明顯分離的時期,從此人們用它以指數學的某些部分,以至某些獨立的數學學科。所以,應用數學學科一般都是在近代或現代發展起來的,其特點是,它們的內容都是圍繞著解決某一類實際問題,因此首先要有從實際問題中抽象出相應的數學模型,使其具有應用數學理論和方法的基礎;其次,所提出的解決問題的方法是可行的,而不是只從理論上證明問題解的存在。例如,牛頓提出地球繞日運動的模型,是用微積分方法解決天文學問題的開端;阿羅(Arrow,K,J.)與曾獲諾貝爾經濟獎的德布羅(Debreu,G.)給出的一般經濟均衡模型,使得經濟學問題中可以使用的數學方法不止微分法,而涉及更多的數學領域,這才形成數理經濟學學科。當然,應用數學學科也並非從各數學分支抽取一些有用的方法簡單堆砌而成,而有其自身的系統理論,模型和方法都有其理論依據,否則也不成其為獨立的學科。應用數學一方面應用於各類實際問題,另一方面,它也是純數學的應用,純數學是它的理論基礎。像數理統計是從已知的關於有限的樣本的信息出發,去研究無限整體的統計規律,它給出由樣本估計整體的統計量的統計方法,同時對這些方法的可靠性、優劣標準等有系統的論證。這些方法和論證主要以機率論作為理論基礎和根據,又如微分凸分析主要研究極值問題的思想和準則,而運籌學則著重研究最優化問題的種種解法。從研究對象上看,應用數學也不都是直接研究實際問題,它的對象主要是數學模型,用的還是抽象的數學方法,提供的是解決問題的思維準則。這些都與純數學相近,而與工程技術或技術學科不同。然而,純數學所追求的,有時可以只是理論上的完善和方法上的優美,一般並不是針對某一類實際問題,例如數論中對哥德巴赫問題的研究就是如此。應用數學追求的目標一般則是解決模型所提出的問題,而模型是有實際意義的。因此應用數學與純數學在其研究的目的性方面大不相同,這是二者的最大區別。

應用數學所包含的學科難以勝數,其領域隨著時代的發展正日漸擴大。有人甚至將理論力學、天文學和測繪學等與數學關係密切的學科也歸入其中。各種各樣的計算方法,顯然也與數學的應用有密不可分的關係。特別是近年來,隨著電子計算機的發展,已形成龐大的隊伍,不能繼續附屬於各數學學科,而屬於新興的計算數學。在應用數學中,較早形成學科的,有基於分析和微分方程方法研究現代物理問題的數學物理,和運用機率統計方法探討隨機現象的數理統計、生物數學等。其後的發展,這些學科內容更加豐富,還生成了許許多多的新學科,諸如,綜合運用機率統計及其他數學方法,總稱運籌學的數學規劃,排隊論等,20世紀中期以後發展起來的控制論資訊理論系統論模糊數學突變理論小波分析混沌理論分形幾何以及組合學方面的學科也都整體或部分地屬於應用數學。近年來,數學的應用更深入到社會和人文科學領域,數理經濟學金融數學等名稱冠以「數學」或「數理」的新學科如雨後春筍般湧現,顯示出應用數學發展的旺盛活力。

目前人類已進入科技和生產高速發展的時期,它一方面使應用數學大有用武之地,同時又對數學,主要是應用數學提出了大量的需求,這門學問也只會因科學的大量需求而不斷延展下去。人類無論在對揭示生命起源等微觀世界的研究,或是在對展現宇宙奧秘的宏觀世界的探索中,都需要數學的幫助,而往往科學的發展也受限於數學,彼此是相互扶持的關係。因此應用數學的未來發展前景是十分美好的。[1]

分支[編輯]

應用數學是應用目的明確的數學理論和方法的總稱,研究如何應用數學知識到其他範疇(尤其是科學)的數學分支,可以說是純數學的相反,應用數學的發展是以科學為依據,做為科學研究的後盾。包括微分方程向量分析矩陣拉普拉斯變換傅里葉變換複變分析數值方法機率論數理統計運籌學博弈論控制理論組合數學資訊理論等許多數學分支,也包括從各種應用領域中提出的數學問題的研究。而大部分應用數學是以作為物理分析的工具。計算數學有時也可視為應用數學的一部分。應用數學大部分的教學範疇都是以物理的模型為基礎進行分析,當中或許搭配了各種數學工具,就為了更貼近物理的系統。

圖論應用在網路分析,拓撲學在電路分析上的應用,群論在結晶學上的應用,微分幾何在規範場上的應用,自動控制理論在計算上的應用,黎曼幾何應用於相對論數理邏輯應用於計算機最小二乘法應用于飛機起降時自動控制,利用數字合成計算機輔助的X射線斷層成像技術(1979年數學家獲得諾貝爾醫學獎,)數論應用在密碼學博弈論機率論統計學應用在經濟學,線性規劃用於生產安排調度,都可見數學在不同範疇的應用。

參考書目[編輯]

  1. ^ 1.0 1.1 《數學辭海(第五卷)》. 山西教育出版社 中國科學技術出版社 東南大學出版社 (中文(中國大陸)‎). 

參看[編輯]