弛緩 (核磁共振)

弛緩或譯作弛豫，在核磁共振(NMR)現象學上，針對磁化強度的演化分成兩個面向：

• 縱向弛緩：磁化強度M平行主磁場(B₀，所指方向習慣定為正z方向)的分量——常標作z分量M_z——回復至熱平衡值M₀的過程。涉及到的時間常數為T₁。

$M_{z}(t)=M_{0}-e^{-t/T_{1}}\cdot [M_{0}-M_{z}(t=0)]\,$

• 橫向弛緩：磁化強度M垂直主磁場的分量——常標作x-y平面分量M_xy，或橫分量M_T，或垂直分量$M_{\perp }$——衰減到零的過程。涉及到的時間常數為T₂。

$M_{xy}(t)=e^{-t/T_{2}}\cdot M_{xy}(t=0)\,$

局部磁場不均勻

另外因為主磁場的局部不均勻，導致體積元素(voxel)內失相(dephase)，使得x-y平面上實際的訊號衰減速度遠快於T₂時間衰減。

$M_{xy}(t)=e^{-t/T_{2}^{*}}\cdot M_{xy}(t=0);\,$

$T_{2}^{*}<<T_{2}\,$

如此對應的橫向弛緩時間常數為T₂^*，其值遠小於T₂，兩者關係為：

${\frac {1}{T_{2}^{*}}}={\frac {1}{T_{2}}}+\gamma \Delta B_{0}$

其中γ為旋磁比；ΔB₀表示局部磁場不均勻的強度差值。

常見人體組織弛緩時間常數值表

以下為常見健康人體組織的兩個弛緩時間常數大概數值，僅供參考。　

1.5特斯拉主磁場之下

組織類型	T1（大約值，毫秒）	T2（大約值，毫秒）
脂肪組織	240-250	60-80
全血（缺氧血）	1350	50
全血（帶氧血）	1350	200
腦脊髓液（類似純水）	2200-2400	500-1400
大腦灰質	920	100
大腦白質	780	90
肝	490	40
腎	650	60-75
肌肉	860-900	50

微觀解釋

1948年由三位學者尼可拉斯·布倫柏根(Nicolaas Bloembergen)、愛德華·珀塞爾(Edward Purcell)、龐德(R. V. Pound)提出Bloembergen-Purcell-Pound理論(簡稱BPP理論^[1])，對純物質的弛緩常數T₁、T₂數值隨物質狀態變動，從固相到液相都能成功解釋。這項理論採取了分子滾動(tumbling)對於電磁場局域擾動的影響。

從這理論所得到的T₁、T₂結果為：

 ${\frac {1}{T_{1}}}=K[{\frac {\tau _{c}}{1+\omega _{0}^{2}\tau _{c}^{2}}}+{\frac {4\tau _{c}}{1+4\omega _{0}^{2}\tau _{c}^{2}}}]$
 ${\frac {1}{T_{2}}}={\frac {K}{2}}[3\tau _{c}+{\frac {5\tau _{c}}{1+\omega _{0}^{2}\tau _{c}^{2}}}+{\frac {2\tau _{c}}{1+4\omega _{0}^{2}\tau _{c}^{2}}}]$

其中$\omega _{0}$是拉莫頻率，對應於主磁場強度$B_{0}$；$\tau _{c}$即為分子滾動相關的「關聯時間」。$K={\frac {3\mu ^{2}}{160\pi ^{2}}}{\frac {\hbar ^{2}\gamma ^{4}}{r^{6}}}$為常數——μ是自旋1/2原子核的磁矩強度，π是圓周率，$\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$為約化普朗克常數，γ是旋磁比，r是兩個帶有磁矩的原子核的間距。

以不含氧17的液態純水中水分子為例，K的值為1.02×10¹⁰ 秒^-2，關聯時間$\tau _{c}$的尺度大概是1 皮秒=$10^{-12}$ 秒，設以5×10^-12 秒來計算；而氫核(質子)在1.5特斯拉的主磁場底下的拉莫頻率約為64 兆赫，故可以估算：

$\omega _{0}\tau _{c}=3.2\times 10^{-5}$(無因次)

$T_{1}=(1.02\times 10^{10}[{\frac {5\times 10^{-12}}{1+(3.2\times 10^{-5})^{2}}}+{\frac {4\cdot 5\times 10^{-12}}{1+4\cdot (3.2\times 10^{-5})^{2}}}])^{-1}$= 3.92 秒

$T_{2}=({\frac {1.02\times 10^{10}}{2}}[3\cdot 5\times 10^{-12}+{\frac {5\cdot 5\times 10^{-12}}{1+(3.2\times 10^{-5})^{2}}}+{\frac {2\cdot 5\times 10^{-12}}{1+4\cdot (3.2\times 10^{-5})^{2}}}])^{-1}$= 3.92 秒

和實驗所得的3.6秒相當接近。此外可以看到在此極限之下，T₁會和T₂相等。

參考文獻

1. ^ BPP理論：N. Bloembergen, E.M. Purcell, R.V. Pound "Relaxation Effects in Nuclear Magnetic Resonance Absorption" Physical Review (1948) v73. 7:679-746