微分算子

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數學中,微分算子是定義為微分運算之函數的算子。首先在記號上,將微分考慮為一個抽象運算是有幫助的,它接受一個函數得到另一個函數(以計算機科學高階函數的方式)。

當然有理由不單限制於線性算子;例如施瓦茨導數是一個熟知的非線性算子。不過這裡只考慮線性的情形。

記號[編輯]

最常用的微分算子是取導數自身。這個算子的常用記號包括:

{d \over dx}
D,\, 這裡關於哪個變數微分是清楚的,以及
D_x,\, 這裡指明了變數。

一階導數如上所示,但當取更高階 n-次導數時,下列替代性記號是有用的:

d^n \over dx^n
D^n\,
D^n_x.\,

記號 D 的發明與使用歸於奧利弗·赫維賽德,他在研究微分方程中考慮了如下形式的微分算子

\sum_{k=0}^n c_k D^k.\,

另一個最常見的微分算子是拉普拉斯算子,定義為

\Delta=\nabla^{2}=\sum_{k=1}^n {\partial^2\over \partial x_k^2}.\,

另一個微分算子是 Θ 算子,定義為

\Theta = z {d \over dz}.\,

有時候這也稱為齊次算子,因為它的本徵函數是關於 z 的單項式:

\Theta (z^k) = k z^k,\quad k=0,1,2,\dots

n 個變數中齊次算子由

\Theta = \sum_{k=1}^n x_k \frac{\partial}{\partial x_k}

給出。與單變數一樣,Θ 的本徵空間齊次多項式空間。

一個算子的伴隨[編輯]

給定一個線性微分算子 T

Tu = \sum_{k=0}^n a_k(x) D^k u,\,

這個算子的伴隨定義為算子 T^* 使得

\langle Tu,v \rangle = \langle u, T^*v \rangle

這裡記號 \langle\cdot,\cdot\rangle 表示數量積點積。從而此定義取決於數乘的定義。

單變數中的形式伴隨[編輯]

平方可積函數空間中,數量積定義為

\langle f, g \rangle = \int_a^b f(x) \, \overline{g(x)} \,dx.

如果另外增添要求 fgx \to ax \to b 等於零,我們也可定義 T 的伴隨為

T^*u = \sum_{k=0}^n (-1)^k D^k [a_k(x)u].\,

此公式不明顯地取決於數量積的定義,故有時作為伴隨算子的一個定義。當 T^* 用這個公式定義時,它稱為 T形式伴隨

一個(形式)自伴算子是與它的(形式)伴隨相等的算子。

多變數[編輯]

如果 Ω 是 Rn 中一個區域,而 P 是 Ω 上一個微分算子,則 PL2(Ω) 中的伴隨由對偶性以類似的方式定義:

\langle f, P^* g\rangle_{L^2(\Omega)} = \langle P f, g\rangle_{L^2(\Omega)}

對所有光滑 L2 函數 fg。因為光滑函數在 L2 中是稠密的,這在 L2 的一個稠密子集上定義了伴隨:: P* 是一個稠定算子

例子[編輯]

施圖姆-劉維爾算子是形式自伴算子一個熟知的例子。這個二階微分算子 L 可以寫成如下形式

Lu = -(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p) D^2 u +(-p') D u + (q)u.\;\!

這個性質可用上面的形式自伴的定義來證明。

\begin{align}
L^*u & {} = (-1)^2 D^2 [(-p)u] + (-1)^1 D [(-p')u] + (-1)^0 (qu) \\
 & {} = -D^2(pu) + D(p'u)+qu \\
 & {} = -(pu)''+(p'u)'+qu \\
 & {} = -p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu \\
 & {} = -p'u'-pu''+qu \\
 & {} = -(pu')'+qu \\
 & {} = Lu
\end{align}

這個算子在施圖姆-劉維爾理論Sturm–Liouville theory) 中的關鍵,其中考慮了這個算子本徵函數(類比於本徵向量)。

微分算子的性質[編輯]

微分是線性的,即

D(f+g) = (Df)+(Dg)\,
D(af) = a(Df)\,

這裡 fg 是函數,而 a 是一個常數。

任何以函數為係數之 D 的多項式也是一個微分算子。我們也可以通過法則

(D_1 \circ D_2)(f) = D_1(D_2(f)).\,

複合微分算子。需要一些注意:首先算子 D2 中的任何函數係數必須具有 D1 所要求的可微次數。為了得到這樣運算的一個環,我們必須假設所用的係數的所有階導數。第二,這個環不是交換的:一個算子 gD 一般與 Dg 不同。事實上我們有例,如在量子力學中的基本關係:

Dx - xD = 1.\,

但這些算子的子環:D常係數多項式是交換的。它可以另一種方式刻畫:它由平移不變算子組成。

微分算子也服從移位定理shift theorem)。

多變數[編輯]

同樣的構造可對偏導數也成立,關於不同的變數微分給出可交換的算子(參見二階導數的對稱性)。

坐標無關描述以及與交換代數的關係[編輯]

微分幾何代數幾何中,通常習慣於對兩個向量叢之間的微分算子有一個坐標無關描述。設 EF 是流形 M 上兩個向量叢。截面的一個 \mathbb{R}-線性映射 P: \Gamma(E) \rightarrow \Gamma(F)\, 稱為一個 k-階微分算子如果它分解穿過節叢 J^k(E)\,。換句話說,存在一個向量叢的線性映射

i_P: J^k(E) \rightarrow F\,

使得

P = \hat{i}_P\circ j^k

這裡 \hat{i}_P 表示由 i_P\, 在截面上誘導的映射,而 j^k:\Gamma(E)\rightarrow \Gamma(J^k(E))\, 是典範(或通用) k-階微分算子。

這恰好意味著對一個給定的截面 s of EP(s) 在一個點 x\in M 的值完全由 sxk-階無窮小行為決定。特別地這蘊含著 P(s)(x)sx決定,這說明了微分算子是局部的。一個基本的結果是皮特定理Peetre theorem)證明了逆命題也是正確的:任何局部算子是微分。

線性微分算子的一個等價的,但純代數的描述如下: 一個 \mathbb{R}-線性映射 P 是一個 k-階微分算子,如果對任何 (k + 1) 階光滑函數 f_0,\ldots,f_k \in C^\infty(M) 我們有

[f_k[f_{k-1}[\cdots[f_0,P]\cdots]]=0.

這裡括號 [f,P]:\Gamma(E)\rightarrow \Gamma(F) 定義為交換子

[f,P](s)=P(f\cdot s)-f\cdot P(s).\,

線性算子的這個刻畫說明,它們是一個交換代數上的之間的一個特殊映射,使這個概念可視為交換代數的一部分。

例子[編輯]

相關條目[編輯]