微積分基本定理

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微積分學
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函數 · 導數 · 微分 · 積分

微積分基本定理描述了微積分的兩個主要運算──微分積分之間的關係。

定理的第一部分,有時稱為微積分第一基本定理,表明不定積分是微分的逆運算。[1]這一部分定理的重要之處在於它保證了某連續函數原函數的存在性。

定理的第二部分,有時稱為微積分第二基本定理,表明定積分可以用無窮多個原函數的任意一個來計算。這一部分有很多實際應用,這是因為它大大簡化了定積分的計算。

該定理的一個特殊形式,首先由詹姆斯·格里高利(1638-1675)證明和出版。[2]定理的一般形式,則由艾薩克·巴羅完成證明。

微積分基本定理表明,一個變數在一段時間之內的無窮小變化之和,等於該變數的淨變化。

我們從一個例子開始。假設有一個物體在直線上運動,其位置為x(t),其中t為時間,x(t)意味著xt的函數。這個函數的導數等於位置的無窮小變化dx除以時間的無窮小變化dt(當然,該導數本身也與時間有關)。我們把速度定義為位置的變化除以時間的變化。用萊布尼茲記法

\frac{dx}{dt} = v(t).

整理,得

dx = v(t)\,dt.

根據以上的推理,x的變化──\Delta x,是dx的無窮小變化之和。它也等於導數和時間的無窮小乘積之和。這個無窮的和,就是積分;所以,一個函數求導之後再積分,得到的就是原來的函數。我們可以合理地推斷,這個運算反過來也成立,積分之後再求導,得到的也是原來的函數。

正式表述[編輯]

微積分基本定理(FTC)有兩個部分,第一部分是關於原函數的導數,第二部分描述了原函數和定積分之間的關係。

第一部分 第一基本定理[編輯]

f為定義在閉區間[a,b]實函數

F(x) = \int_a^x f(t)\, dt\,   x \in [a,b]

那麼,F(x)可導,及F'(x)=f(x)

第二部分 第二基本定理[編輯]

f 為在閉區間 [a, b] 內連續的實函數,及設 Ff 的一個原函數:

F'(x) = f(x)\,   x \in [a,b]

那麼

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\,

證明[編輯]

第一部分[編輯]

假設有

F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \,dt\,.

x1x1 + Δx為區間[a, b]中的兩個數。我們有

F(x_1) = \int_{a}^{x_1} f(t) \,dt

F(x_1 + \Delta x) = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt\,.

兩式相減,得

F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt - \int_{a}^{x_1} f(t) \,dt. \qquad (1)

可以證明

\int_{a}^{x_1} f(t) \,dt + \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt.
(兩個相鄰區域的面積之和,等於兩個區域合併起來的面積。)

整理,得

\int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt - \int_{a}^{x_1} f(t) \,dt = \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt.

把上式代入(1),得

F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt. \qquad (2)

根據積分中值定理,在區間[x1, x1 + Δx]存在一個c,使得

\int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt = f(c) \Delta x \,.

把上式代入(2),得

F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = f(c) \Delta x \,.

兩邊除以Δx,得

\frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = f(c).
注意左邊的表達式是Fx1處的牛頓差商

兩邊取Δx → 0的極限,

\lim_{\Delta x \to 0} \frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} f(c).

左邊的表達式是Fx1處的導數的定義。

F'(x_1) = \lim_{\Delta x \to 0} f(c). \qquad (3)

我們用夾擠定理來求另一個極限。c在區間[x1, x1 + Δx]內,因此x1cx1 + Δx

另外\lim_{\Delta x \to 0} x_1 = x_1 and \lim_{\Delta x \to 0} x_1 + \Delta x = x_1\,.

所以,根據夾擠定理,

\lim_{\Delta x \to 0} c = x_1\,.

代入(3),可得

F'(x_1) = \lim_{c \to x_1} f(c)\,.

函數fc處連續,所以極限可以在函數裡面進行。因此,我們有

F'(x_1) = f(x_1) \,.

證畢。

第二部分[編輯]

f在區間[a, b]上連續,並設Ff的原函數。我們從以下表達式開始

F(b) - F(a)\,.

設有數

x0, ..., xn

使得

a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_{n-1} < x_n = b\,.

可得

F(b) - F(a) = F(x_n) - F(x_0) \,.

我們加上F(xi)及其相反數,這樣等式仍成立:

\begin{matrix} F(b) - F(a) & = & F(x_n)\,+\,[-F(x_{n-1})\,+\,F(x_{n-1})]\,+\,\ldots\,+\,[-F(x_1) + F(x_1)]\,-\,F(x_0) \, \\
& = & [F(x_n)\,-\,F(x_{n-1})]\,+\,[F(x_{n-1})\,+\,\ldots\,-\,F(x_1)]\,+\,[F(x_1)\,-\,F(x_0)] \,. \end{matrix}

以上表達式可用以下的和表示:

F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[F(x_i) - F(x_{i-1})]\,. \qquad (1)

我們將使用均值定理。就是:

F在閉區間[a, b]連續,在開區間(a, b)可導,則開區間(a, b)內一定存在c使得

F'(c) = \frac{F(b) - F(a)}{b - a}\,.

可得

F'(c)(b - a) = F(b) - F(a). \,

函數F在區間[a, b]可導,所以在每一個區間xi-1也是可導和連續的。因此,根據介值定理,

F(x_i) - F(x_{i-1}) = F'(c_i)(x_i - x_{i-1}) \,.

把上式代入(1),得

F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[F'(c_i)(x_i - x_{i-1})]\,.

根據第一部分的結論,我們有F'(c_i) = f(c_i)。另外,x_i - x_{i-1}可表示為第i個小區間的\Delta x

F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)]\,. \qquad (2)
一個黎曼和的收斂數列。右上角的數是灰色矩形的面積。它們收斂於函數的積分。

注意到我們正在描述矩形的面積(長度乘以寬度),並把這些面積相加起來。每一個矩形都描述了一部分曲線的估計。同時也注意到,\Delta x_i並不需要對於任何i都是相同的,換句話說,矩形的長度可以變化。我們要做的,是要用n個矩形來近似代替曲線。現在,當n增加而每一個矩形越來越小時,它的面積就越來越接近曲線的真實面積。

當矩形的寬度趨近於零時取極限,便得出黎曼積分。也就是說,我們取最寬的矩形趨於零,而矩形的數目趨於無窮大時的極限。

所以,我們把(2)式的兩邊取極限,得

\lim_{\| \Delta \| \to 0} F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta \| \to 0} \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)]\,.

F(b)和F(a)都不依賴於||Δ||,所以左面的極限仍然是F(b) - F(a)。

F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta \| \to 0} \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)]\,.

右邊的表達式定義了fab的積分。這樣,我們有

F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x)\,dx\,,

證畢。

推論[編輯]

f為定義在閉區間[a, b]的實數函數。設Ff的一個原函數,那麼,對於區間[a, b]內的所有x,有

F(x) = \int_a^x f(t)\,dt + F(a)

f(x) = \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)\,dt\,.

例子[編輯]


\begin{align}
\frac{d}{dx} \int_a^{\sin x} e^t\, dt \\
&= \frac{d}{dx} F(\sin x) \\
&= F'(\sin x) \cos x\\
&= e^{\sin x} \cos x\\
\end{align}


計算以下積分:

\int_2^5 x^2\, dx.

在這裡,f(x) = x^2F(x) = {x^3\over 3} 是一個原函數。因此:

\int_2^5 x^2\, dx = F(5) - F(2) = {125 \over 3} - {8 \over 3} = {117 \over 3} = 39

推廣[編輯]

我們不需要假設 f 在整個區間是連續的。這樣定理的第一部分便說明:如果 f 是區間[a, b]內的任何一個勒貝格可積的函數,x0是[a, b]內的一個數,使得 fx0連續,則

F(x) = \int_a^x f(t)\, dt

x = x0是可導的,且F'(x0) = f(x0)。我們可以把f的條件進一步降低,假設它僅僅是可積的。這種情況下,我們便得出結論:F幾乎處處可導,且F'(x)幾乎處處等於f(x)。這有時稱為勒貝格微分定理

定理的第二部分對於任何具有原函數F的勒貝格可積函數f都是正確的(不是所有可積的函數都有原函數)。

泰勒定理中把誤差項表示成一個積分的形式,可以視為微積分基本定理的一個推廣。

對於複數函數,也有一個類似的形式:假設UC的一個開集,f: UC是一個在U處具有全純原函數F的函數。那麼對於所有曲線γ: [a, b] → U曲線積分可以用下式來計算:

\int_{\gamma} f(z) \,dz = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))\,.

微積分基本定理可以推廣到多維空間的曲線和曲面積分,也可以推廣到流形

這個方向上的一個有力的表述是斯托克斯定理:設 M 為一個可定向分段光滑n維流形,並設\omegan−1階M上的C1緊支撐微分形式。如果∂M表示M邊界,並以M的方向誘導的方向為邊界的方向,則

\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega\,.

這裡\mathrm{d}\!\,外導數,它僅僅用流形的結構來定義。斯托克斯定理將德拉姆上同調和奇異鏈的同調聯繫起來。

參看[編輯]

註解[編輯]

  1. ^ 更加確切地,該定理涉及了可變上限和任意選擇的下限的定積分。這類特殊的定積分允許我們計算函數的無窮多個原函數之一(除了那些沒有零點的原函數)因此,它幾乎跟不定積分是等價的,大部分作者把它定義為產生任何一個可能的原函數的運算,包括沒有零點的原函數。
  2. ^ See, e.g., Marlow Anderson, Victor J. Katz, Robin J. Wilson, Sherlock Holmes in Babylon and Other Tales of Mathematical History, Mathematical Association of America, 2004, p. 114.

參考文獻[編輯]

  • Larson, Ron, Bruce H. Edwards, David E. Heyd. Calculus of a single variable. 7th ed. Boston: Houghton Mifflin Company, 2002.
  • Leithold, L. (1996). The calculus 7 of a single variable. 6th ed. New York: HarperCollins College Publishers.
  • Malet, A, Studies on James Gregorie (1638-1675) (PhD Thesis, Princeton, 1989).
  • Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In Calculus: early transcendentals. Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.
  • Turnbull, H W (ed.), The James Gregory Tercentenary Memorial Volume (London, 1939)

外部連結[編輯]