微積分學

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微積分學
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函數 · 導數 · 微分 · 積分

微積分學Calculus拉丁語意為用來計數的小石頭) 是研究極限微分學積分學無窮級數等的一個數學分支,並成為了現代大學教育的重要組成部分。歷史上,微積分曾經指無窮小的計算。更本質的講,微積分學是一門研究變化的科學,正如幾何學是研究形狀的科學,代數學是研究代數運算和解方程的科學一樣。微積分學又稱為「初等數學分析」。

微積分學在科學經濟學工程學領域有廣泛的應用,用來解決那些僅依靠代數學不能有效解決的問題。微積分學在代數學三角學解析幾何學的基礎上建立起來,並包括微分學積分學兩大分支。微分學包括求導數的運算,是一套關於變化率的理論。它使得函數速度加速度曲線斜率等均可用一套通用的符號進行演繹。積分學,包括求積分的運算,為定義和計算面積體積等提供一套通用的方法。微積分學基本定理指出,微分和積分互為逆運算,這也是兩種理論被統一成微積分學的原因。我們可以以兩者中任意一者為起點來討論微積分學,但是在教學中一般會先引入微分學。在更深的數學領域中,高等微積分學通常被稱為分析學,並被定義為研究函數的科學,是現代數學的主要分支之一。

歷史[編輯]

艾薩克·牛頓戈特弗里德·萊布尼茨
兩位獨立確立微積分體系的數學家:
艾薩克·牛頓爵士(左)與戈特弗里德·萊布尼茨(右)

古代[編輯]

古代數學的思想更傾向於積分,但是並不嚴格、系統。積分的其中一個任務,即計算體積和面積,可以從埃及莫斯克紙莎草手卷中找到(c. 1820 BC),它的公式也十分簡單,沒有寫明方法,主要成分也殘缺不齊。[1]積分的起源很早,古希臘時期歐多克索斯 (c. 408-355 BC)就用窮盡的方法來求特殊圖形面積的研究。阿基米德(c. 287-212 BC) 用內接正多邊形的周長來窮盡圓周長,而求得圓周率的近似值;也用一連串的三角形來填充拋物線的圖形,以求得其面積。這些都是窮盡法的古典例子。[2]中國的劉徽在公元三世紀左右也應用窮盡法求圓的面積。[3]在公元五世紀左右,祖沖之得出了計算球體積的演算法,它也被稱之為卡瓦列里公式[4]

現代[編輯]

發展現代微積分理論的一個動力是為了解決「切線問題」,另一個是「面積問題」。

文藝復興之後,基於實際的需要及理論的探討,積分技巧有了進一步的發展。譬如為了航海的方便,傑拉杜斯·麥卡托發明了所謂的麥卡托投影法,使得地圖上的直線就是航海時保持定向的斜駛線。在歐洲,基礎性的論證來自博納文圖拉·卡瓦列里,他認為體積和面積應該用求無窮小橫截面的總量來計算。他的想法類似於阿基米德的《方法論》,但是卡瓦列里的手稿丟失了,直到20世紀初期再被找到。卡瓦列里的努力沒有得到認可,因為他的方法的誤差巨大,而且在當時無窮小也不受重視。

17世紀的前半是微積分學的醞釀時期,觀念在摸索中,計算是個別的,應用也是個別的。而後戈特弗里德·威廉·萊布尼茨艾薩克·牛頓兩人幾乎同時使微積分觀念成熟,澄清微、積分之間的關係,使計算系統化,並且把微積分大規模使用到幾何與物理研究上。

在他們創立微積分以前,人們把微分積分視為獨立的學科,之後才確實劃分出「微積分學」這門學科。

在對微積分的正式研究中,皮埃爾·德·費馬聲稱他借用了丟番圖的成就,引入了「足量」概念,等同於誤差的無窮小。可惜他未能體會兩者之間的密切關係。[5] 約翰·沃利斯伊薩克·巴羅和詹姆士·格里高利完成了組合論證。而牛頓的老師伊薩克·巴羅雖然知道兩者之間有互逆的關係,但他不能體會此種關係的意義,其原因之一就是求導數還沒有一套有系統的計算方法。古希臘平面幾何的成功給予西方數學非常深遠的影響:一般認為唯有幾何的論證方法才是嚴謹、真正的數學,代數不過是輔助的工具而已。直到笛卡兒費馬倡導以代數的方法研究幾何的問題,這種態度才漸有轉變。可是一方面幾何思維方式深植人心,而另一方面代數方法仍然未臻成熟,實數系統遲遲未能建立,所以許多數學家仍然固守幾何陣營而不能發展出有效的計算方法,巴羅便是其中之一。牛頓雖然放棄了他老師的純幾何觀點而發展出了有效的微分方法,可是他遲遲未敢發表。牛頓利用了微積分的技巧,由萬有引力及運動定律出發說明了他的宇宙體系,解決天體運動,流體旋轉的表面,地球的扁率,擺線上重物的運動等問題。牛頓在解決數學物理問題時,使用了獨特的符號來進行計算,實際上這些就是乘積法則鏈式法則、高階導數、泰勒級數和解析方程。[6]但因害怕當時人的批評,所以在他1687年的巨著《自然哲學的數學原理》中仍把微積分的痕跡抹去,而以古典的幾何論證方式論述。在其它著作中,牛頓使用了分數和無理數的乘冪,很明顯,牛頓知道泰勒級數的定律。但是他沒有發表這些發現,因為無窮小在當時仍然飽受爭議。

上述思想被戈特弗里德·威廉·萊布尼茨整合成為真正的無窮小版本的微積分,而牛頓指責前者抄襲。[7]萊布尼茨在今天被認為是獨立發明微積分的另一人。他的貢獻在於風格嚴密,便於計算二次或更高級別的導數,以微分和積分的形式給出乘積法則鏈式法則。與牛頓不同,萊布尼茨很注重形式,常常日復一日地研究妥當的符號。

萊布尼茨和牛頓都被認為是獨立的微積分發明者。牛頓最先將微積分應用到普通物理當中,而萊布尼茨製作了今天絕大多數的符號。牛頓、萊布尼茨都給出了微分、積分的基本方法,二階或更高階導數,數列近似值符號等。在牛頓的時代,微積分基本公式已經被世界知曉。

當牛頓和萊布尼茨第一次發表各自的成果時,數學界就發明微積分的歸屬和優先權問題爆發一場曠日持久的大爭論。牛頓最先得出結論,而萊布尼茨最先將其發表。牛頓稱萊布尼茨從他未發表的手稿中抄襲,這個觀點得到了牛頓所在的皇家學會支持。這場大紛爭將使數學家分成兩派:一派是英國數學家,捍衛牛頓;另一派是歐洲大陸數學家。結果是對英國數學家不利。日後的小心求證得出牛頓和萊布尼茨兩人獨立得出自己的結論。萊布尼茨從積分推導,牛頓從微分推導。在今天,牛頓和萊布尼茨被譽為發明微積分的兩個獨立作者。「微積分」之名與其使用之運算符號則是萊布尼茨所創。而牛頓將它稱為「流數術」

微積分實際被許多人不斷地完善,也離不開巴羅、笛卡兒、費馬、惠更斯沃利斯的貢獻。最早的一部完整的有關有限和無窮小的分析著作被瑪利亞·阿涅西於1748年總結編訂。[8]

牛頓和萊布尼茨雖然把微積分系統化,但是它還是不夠嚴謹。可是當微積分被成功地用來解決許多問題,卻使得十八世紀的數學家偏向其應用,而少致力於其嚴謹。當時,微積分學的發展幸而掌握在幾個非常優越的數學家,如歐拉拉格朗日拉普拉斯達朗貝爾伯努利世家等人的手裡。研究的問題由自然現象而來,所以能以自然現象的數據來驗合微積分的許多推論,使微積分學不因基礎不穩而隱含錯誤。在這些眾數學家的手中,微積分學的範圍很快地超過現在大學初階段所授的微積分課程,而邁向更高深的解析學

基礎[編輯]

在微積分中,「基礎」意味將一個科目從公理和定義中嚴格地推導出來。早期微積分所使用的無窮小被認為是不嚴謹的,遭到了一系列作者的嚴厲批評,特別是米歇爾·羅爾喬治·貝克萊主教。貝克萊因在他1734年出版的《論分析》中將無窮小描述為「偏激的妖怪數量」而著名。最近的分析認為萊布尼茨版微積分更加嚴密,經得住貝克萊的經驗主義的攻擊。[9] 為微積分的嚴密論證奠基成為數學家們在牛頓、萊布尼茨之後幾世紀的重要工作,直至今日仍是研究的熱點領域。

一些數學家,包括科林·麥克勞林,試圖利用無窮小來進行證明,但直到150多年之後才得以成功。在奧古斯丁·路易·柯西卡爾·魏爾斯特拉斯的努力之下,終於實現對無窮小的符號的迴避。微分和積分的基礎終於被打下了。在柯西的著作中,我們看到了大量的基礎論證,包括通過連續來對無窮小進行定義,和用以定義微分的一個不太精確的(ε, δ)-極限定義版本。魏爾斯特拉斯推導總結了極限概念,迴避了無窮小。繼魏爾斯特拉斯之後,微積分就常以極限作為基礎,而非無窮小了。波恩哈德·黎曼使用這些概念來對積分進行嚴格定義。在這一時期,微積分這一概念被綜合成為歐幾里得空間複平面

在現代數學裡,微積分基礎包括了實變函數論,後者包括了對微積分理論的完全數學證明。微積分的範圍被大大拓寬了。昂利·勒貝格發明了測度,用它來定義所有積分。洛朗·施瓦茨研究了數學分布 (數學分析),可以用其求得任意方程的導數。

極限不是對微積分基礎的唯一推導,如使用亞伯拉罕·羅賓遜非標準分析進行推導。羅賓遜在1960年左右所做的推導襲承了牛頓——萊布尼茨的最初概念,應用數理邏輯的方式將實數系統擴大到了無窮小和無限數量。所得出的結果為超實數,可以套用萊布尼茨式的微積分法則。

重要性[編輯]

早期的微積分概念來自於埃及希臘中國印度伊拉克波斯日本,但現代微積分來自於歐洲。17世紀時,艾薩克·牛頓戈特弗里德·萊布尼茨在前人的基礎上推導出微積分的基本理論。微積分基本概念的產生是建立在求瞬間運動和曲線下面積這兩個問題之上的。

微分應用包括極端速度加速度、曲線斜率最優化等。積分應用包括面積體積弧長質心做功壓力。更高級的應用包括冪級數傅立葉級數等。

微積分為更加精確地理解空間、時間和運動的本質提供了便利。幾個世紀以來,數學家和哲學家都為除以零或無限這一悖論而大為苦惱。這些問題在研究運動面積時常常出現。古希臘哲學家埃利亞的芝諾為該悖論舉出了幾個著名的例子。微積分,特別是極限和無窮級數,為解決該悖論提供了工具。

主要概念[編輯]

微積分主要有三大類分支:極限、微分學、積分學。微積分的基本理論表明了微分和積分是互逆運算,牛頓和萊布尼茨發現了這個定理以後才引起了其他學者對於微積分學的狂熱的研究,而這個發現也使得我們在微分和積分之間可以互相轉換。這個基本理論也提供了一個用代數計算許多積分問題的方法,也就是用不定積分法取代極限運演算法。該理論也可以解決一些微分方程的問題,解決未知數的積分。微分問題在科學領域無處不在。

微積分的基本概念還包括函數無窮序列無窮級數連續等,運算方法主要有符號運算技巧,該技巧與初等代數和數學歸納法緊密相連。

微積分被延伸到微分方程向量分析變分法複分析時域微分微分拓撲等領域。微積分的現代版本是實分析

極限和無窮小[編輯]

微積分中最重要的概念是「極限」。微商(即導數)是一種極限。定積分也是一種極限。

從牛頓實際使用它到制定出周密的定義,數學家們奮鬥了200多年。現在使用的定義是魏爾斯特拉斯於19世紀中葉給出的。

數列極限就是當一個有順序的數列往前延伸時,如果存在一個有限數(非無限大的數),使這個數列可以無限地接近這個數,這個數就是這個數列的極限。

數列極限的表示方法是:

\lim_{n \to \infty}x_n = L

其中L就是極限的值。例如當 x_n = {1 \over 2n} 時,它的極限為L=0。就是說n越大(越往前延伸),這個值越趨近於0

微積分是在做一些較小數的計算時發展形成的。歷史上,一開始是用無窮小量來做。無窮小量可以被看作是一個數,但是從某種意義上來說,它「無窮小」。一個無窮小數\mathrm{d}x能夠比0都大,但是小於數列1\frac{1}{2}\frac{1}{3},⋯⋯任一個數,以及小於任何正實數。任何整數倍數的無窮小還是無窮小,換句話說,無窮小不滿足阿基米德性質。從這一點來看,微積分是一組處理無窮小的方法,這種方法失寵於19世紀,因為無窮小的概念不夠精確。但是,這個概念在20世紀由於非標準分析以及光滑無窮小分析的引進被重新提及,非標準分析為無窮小的操作提供了堅實的基礎。在19世紀,無窮小被極限取代,極限描述的是與函數在某一點附近的值有關的值。它們描述了函數在某處附近的行為,類似無窮小,但是使用了普通的實數系統。在這種理論下,微積分是一組處理極限的方法。無窮小被很小的數代替,函數無窮小附近的行為是通過取距離越來越小時的極限來找到的。極限是提供微積分嚴格的基礎最簡單的方式,基於這個原因,它們是標準的做法。

導數[編輯]

運動學中,平均速度等於通過的距離除以所花費的時間——在一小段間隔的時間內,除上其走過的一小段距離,等於這一小段時間內的速度,但是當這一小段間隔的時間趨於零,也就是瞬時速度時,則無法按照通常的除法計算,這時的速度為時間的導數,得用求導的方法計算。也就是說,一個函數的自變量趨近某一極限時,其因變量的增量與自變量的增量之商的極限即為導數。在速度問題上,距離是時間的因變量,隨時間變化而變化;當時間趨於某一極限時,距離增量除以時間增量的極限即為距離對時間的導數。

導數的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率

微分學[編輯]

在點(x, f(x))處的切線。在曲線上一點的導數f'(x)是在該點與曲線相切直線的斜率。

微分學主要研究的是在函數自變量變化時如何確定函數值的瞬時變化率(導數或微商)。換言之,計算導數的方法就叫微分學。微分學的另一個計算方法是牛頓法,該演算法又叫應用幾何法,主要通過函數曲線的切線來尋找點斜率。費馬常被稱作「微分學的鼻祖」。

微分學研究的是一個函數的導數的定義,性質和應用。求導的過程被稱為微分。給定一個函數和定義域內的一個點,在那個點的導數描述了該函數在那一點附近的表現。通過找出一個函數定義域內每一點的導數,可以生成一個新的函數,叫做原函數的導函數,或者導數。在數學術語中,導數是輸入一個函數,輸出另一個函數的線性算子。這比初等代數里的過程更抽象一些,初等代數里的函數常常是輸入一個數,並輸出另一個數。例如,如果在倍增函數中輸入3,則輸出6,和如果在平方函數中輸入3,則輸出9。但是,微分能把平方函數作為輸入,這意味著微分利用平方函數的所有信息去產生另一個函數(生成的函數是倍增函數)。導數的最常見的符號是一個類似撇號的符號,叫作「撇」。從而函數f的導數是f',讀作「f一撇」。例如,如果f(x)=x^2是平方函數,那麼它的導數f'(x)=2x是倍增函數。如果函數的輸入量代表時間,那麼導數就代表關於時間的變化。例如,如果f是輸入時間,輸出那個時間的球的位置的函數,則f的導數就是位置隨著時間怎樣變化,這就是球的速度。如果一個函數是線性的(也就是說,如果函數的圖像是一條直線),那麼這個函數可以寫成y=mx+bx是自變數,y是因變數,by的縱截距,且

m = \frac{\Delta y}{\Delta x}.

這個公式給了一條直線的斜率的一個準確值。如果這個函數的圖像不是一條直線,那麼在y上的變化量除以在x上的變化量隨x改變。導數給出了輸出量關於輸入量的變化率這一概念一個確切的含義。具體來說,設f是一個函數,並在它的定義域內取一個點a(a,f(a))是這個函數圖像中的一個點。假設h是一個接近於0的數,這時a+h是一個接近於a的數。所以(a+h,f(a+h))是節點於(a,f(a))的。這兩點間的斜率是

m = \frac{f(a+h) - f(a)}{(a+h) - a} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

這個表達式稱為差商。通過曲線上的兩個點的一條線稱為割線,所以m(a,f(a))(a+h,f(a+h))間割線的斜率。割線僅僅是函數在a點行為的一個近似,因為它不能解釋函數在aa+h之間的情況。通過設定h0來發現函數在a處的行為是不可能的,因為這需要除以0,而除以0也是不可能的。導數定義為h趨向於0時差商的極限,就是說用h可取的所有可能小的值來研究f的行為,並取一個合適的值作為當h等於0時差商的值。

\lim_{h \to 0}{f(a+h) - f(a)\over{h}}.

幾何上,導數是函數fa點處切線的斜率。切線是割線的極限,正如導數是差商的極限。因此,導數有時也被稱為f的斜率。這裡有一個具體的例子,就是求一個平方函數在x等於3處的導數。令這個平方函數為f(x)=x^2:

曲線一點的導數f'(x)是在該點與曲線相切直線的斜率。斜率是通過求割線斜率的極限得出的。這裡紅色的方程是f(x)=x^3-x。切線方程為綠色,經過點(-\frac{3}{2},-\frac{1}{8}),斜率\frac{23}{4}。注意圖中縱橫尺度不等
\begin{align}f'(3) &=\lim_{h \to 0}{(3+h)^2 - 3^2\over{h}} \\
&=\lim_{h \to 0}{9 + 6h + h^2 - 9\over{h}} \\
&=\lim_{h \to 0}{6h + h^2\over{h}} \\
&=\lim_{h \to 0} (6 + h) \\
&= 6.
\end{align}

平方函數在點(3,9)處的切線斜率是6,也就是說,它是朝上走的速度是朝右走的速度的6倍。若平方函數的定義域中的任一點都存在剛才所描述的極限,那麼我們就把它定義為平方函數的導函數,也簡稱為平方函數的導數。以上的一個相似計算表明平方函數的導數是倍增函數。

萊布尼茨記號[編輯]

一個由萊布尼茨引進的常用導數記號,以上面為例,是:


\begin{align}
y&=x^2 \\
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=2x.
\end{align}

在以極限為基礎的理論里,記號\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}並不理解成兩個數的商,而是上面計算的極限的簡記。然而,萊布尼茨打算將它表示成兩個無窮小數的商,x的一個無窮小變化量\mathrm{d}x引起了一個無窮小的變化量\mathrm{d}y。我們也可以把\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}看作一個微分算子,它以一個函數為輸入,以這個函數的導函數作為輸出。例如:


\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2)=2x.

在這個用法中,分母中的\mathrm{d}x讀作「關於x」。即使微積分理論是用極限的概念,而不是用無窮小的概念發展成的,但是我們常常把\mathrm{d}x\mathrm{d}y這類記號當作無窮小的數來操作。儘管可以避免這樣的操作,但是有時候它們在符號上可以方便地表達全導數這類操作。

積分學[編輯]

積分學是微分學的逆運算,即從導數推算出原函數,又分為定積分與不定積分。一個一元函數的定積分可以定義為無窮多小矩形的面積和,約等於函數曲線下包含的實際面積。因此,我們可以用積分來計算平面上一條曲線所包含的面積、球體圓錐體的表面積或體積等。從技術上來講,積分學是研究線性算子之間的關係。

不定積分是導數的逆運算,即反導數。當fF的導數時,Ff的不定積分。(這種在公式中使用大小寫字母以區分微分積分在數學中很常見。)

定積分輸入公式,得出數字,即給出圖像與橫坐標之間面積的代數解。對定積分的技術定義是矩形總面積的極限,又稱黎曼積分

舉例:在給定時間內行徑的路程:

路程 = 速度 × 時間

如果速度是一定的,那麼上述參數簡單相乘既可得出結果。但如果速度為變數,那麼就不得不使用更強大的公式。其中的一個方式是將行徑路程根據時間近似地劃分成許多小部分,將每個間距中的時間乘以當時的速度,最後將每個間距所行徑的近似路程累計為黎曼和。最基本的概念是,如果時長間隔很短,那麼速度會近似不變。然而,黎曼和只給出行徑路程的近似值。我們必須求得黎曼積分的極限,來得出精確的值。

積分可以被視為在兩點之間(這裡是ab之間)求得曲線下的面積,定義為\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x

如果左圖中的f(x)代表根據時間而改變的速度,那麼a時間點與b時間點之間的路程就可以用陰影區域s來表達。

要求得區域面積的近似值,直觀的辦法就是將ab兩點之間的路程分割為等長線段,每個線段的長度用符號\Delta x來標記。對於每個小線段,我們在方程上找到對應值f(x),記為h。如此,以\Delta x為底、h為高的矩形面積(時間\Delta x乘以速度h) ,就是通過該線段的路程。和每個線段相關聯的是線段上方程的平均值f(x)=h。所有矩形的總和就是數軸與曲線之間面積的近似值,即總行徑路程的近似值。\Delta x的值越小,矩形數量就越多,近似值也就越精確。而如果我們要求得精確值,就必須尋找\Delta x的極限,令其數值逼近零。

積分的符號是\int \,,好像一個拉長的SS意味"求和")。定積分被記為如下:

\int_a^b f(x)\, \mathrm{d}x.

f(x)ab的定積分。萊布尼茨的符號\mathrm{d}x意在表述將曲線下的面積分割為無窮多的矩形,以至於他們的寬\Delta x變成無窮小的\mathrm{d}x。建立在極限上的微積分,符號

\int_a^b \ldots\, \mathrm{d}x

應被理解為輸入方程公式,輸出數字面積。終端微分\mathrm{d}x不是數字,也不是與方程f(x)相乘,而是作為\Delta x余留的極限定義,可被視為積分運算的符號。從形式上來講,微分代表了被積分方程的變數,並作為積分運算的尾括弧。

不定積分,或反導數,被記作:

\int f(x)\, \mathrm{d}x.

常數不同,導數相同的方程,可是說明一個方程的反導數實際上是一組常數不同的方程組。C是常數的方程y=x^2+C求導,得方程y'=2x;後者的反導數可被寫為:

\int 2x\, \mathrm{d}x = x^2 + C.

反導數中的未知常數C被稱為積分常數.

微積分基本公式[編輯]

微積分基本公式(Fundamental Theorem of Calculus)又稱微積分基本定理、牛頓-萊布尼茨公式,證實微分和積分互為逆運算。更精確地說,它將一個反導數的具體值與定積分聯繫起來。因為計算反導數通常比應用定積分定義更加簡單,微積分基本公式為計算定積分提供了一個行之有效的方式。它也可以被理解為微分是積分逆運算的精確解釋。

微積分基本公式:如果方程f在[a, b ]區間是連續的,方程F在區間(a, b)的導數是f,那麼,

\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a).

更進一步,對於在區間(a, b)的每個x都有,

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^x f(t)\, \mathrm{d}t = f(x).

根據前輩伊薩克·巴羅的成果,艾薩克·牛頓爵士和戈特弗里德·威廉·萊布尼茨發現了這一規律。這也成為他們日後數學分析碩果的重要基石。基本公式為計算定積分提供了簡單的計算反導數的代數方法,而無須使用極限來窮盡。它也是解微分方程的雛形。微分方程可以給出任意方程的導數,成為科學的必備工具。

微積分的符號[編輯]

微分學中的符號「\textrm{d}x」、「\textrm{d}y」等,係由萊布尼茨首先使用。其中的\textrm{d}源自拉丁語中「差」(Differentia)的第一個字母。積分符號「\int_{}\,」亦由萊布尼茨所創,它是拉丁語「總和」(Summa)的第一個字母s的伸長(和Σ有相同的意義)。

微積分學的應用[編輯]

鸚鵡螺對數螺線是微積分增長變幻的經典圖像

微積分學的發展與應用幾乎影響了現代生活的所有領域。它與大部分科學分支關係密切,包括精算、計算機、統計、工程、商業、醫藥、人口統計,特別是物理學;經濟學亦經常會用到微積分學。幾乎所有現代技術,如建築航空等都以微積分學作為基本數學工具。微積分使得數學可以在變數和常量之間互相轉化,讓我們可以已知一種方式時推導出來另一種方式。

物理學大量應用微積分;所有經典力學電磁學都與微積分有密切聯繫。已知密度的物體質量,動摩擦力,保守力場的總能量都可用微積分來計算.例如,將微積分應用到牛頓第二定律中:史料一般將導數稱為「變化率」。物體動量的變化率等於向物體以同一方向所施的力。今天常用的表達方式是\textbf{\emph{F}}=m\textbf{\emph{a}},它包換了微分,因為加速度速度的導數,或是位置矢量的二階導數。已知物體的加速度,我們就可以得出它的路徑。

麥克斯韋爾的電磁學愛因斯坦廣義相對論都應用了微分。化學使用微積分來計算反應速率,放射性衰退。生物學用微積分來計算種群動態,輸入繁殖和死亡率來模擬種群改變。

微積分可以與其他數學分支交叉混合。例如,混合線性代數來求得值域中一組數列的「最佳」線性近似。它也可以用在機率論中來確定由假設密度方程產生的連續隨機變數的機率。在解析幾何對方程圖像的研究中,微積分可以求得最大值、最小值、斜率、凹度、拐點等。

格林公式連接了一個封閉曲線上的線積分與一個邊界為C且平面區域為D的雙重積分。它被設計為求積儀工具,用以量度不規則的平面面積。例如,它可以在設計時計算不規則的花瓣床、游泳池的面積。

在醫療領域,微積分可以計算血管最優支角,將血流最大化。通過藥物在體內的衰退數據,微積分可以推導出服用量。在核醫學中,它可以為治療腫瘤建立放射輸送模型。

在經濟學中,微積分可以通過計算邊際成本邊際利潤來確定最大收益。

微積分也被用於尋找方程的近似值;實踐中,它用於解微分方程,計算相關的應用題,如牛頓法、定點循環、線性近似等。比如,宇宙飛船利用歐拉方法來求得零重力環境下的近似曲線。

微積分學課程[編輯]

在大學的理工科教學中,微積分是「高等數學」的主要內容之一。其教學法由學科創立一開始就受到人們重視。在美國大學先修課程中,AP微積分AB、BC分別為對應大學一元微積分半年、全年課程。

在香港,微積分是新高中課程數學(延展部分)的一部份,這部分是選修的。

參見[編輯]

腳註[編輯]

  1. ^ Morris Kline, Mathematical thought from ancient to modern times, Vol. I
  2. ^ Archimedes, Method, in The Works of Archimedes ISBN 978-0-521-66160-7
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參考文獻[編輯]

外部連結[編輯]