心臟線

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心臟線
一個圓滾動產生的心臟線
使用圓和切線生成一個心臟線

心臟線是有一個尖點外擺線。也就是說,一個圓沿著另一個半徑相同的圓滾動時,圓上一點的軌跡就是心臟線。

曼德博集合中間的圖形是心臟線。

方程[編輯]

笛卡兒坐標系中,心臟線的參數方程為:

 x(t) = 2r \left( \cos t - {1 \over 2} \cos 2 t \right),
 y(t) = 2r \left( \sin t - {1 \over 2} \sin 2 t \right)

其中r是圓的半徑。曲線的尖點位於(r,0)。

在極坐標系中的方程為:

 \rho(\theta) = 2r(1 - \cos \theta). \

圖像[編輯]

CardioidsLabeled.PNG 這是四個朝著不同方向的心臟線。

面積[編輯]

方程為

 \rho(\theta) = a(1 - \cos \theta)

的心臟線的面積為:

 A = {3\over 2} \pi a^2

軼事[編輯]

傳聞,法國著名數學家笛卡爾曾經流落到瑞典,邂逅瑞典公主克里斯蒂娜Kristina),並成為了公主的數學老師。兩人萌生愛意。國王知道後,強行拆散他們,並且沒收了之後笛卡爾寫給公主的所有信件。後來,笛卡爾染上黑死病,臨死前給公主寄去了最後一封信,信中只寫著一行字:r=a(1-sinθ)。國王和大臣們都看不懂這是什麼意思,只好交還給公主。公主在紙上建立了極坐標系,用筆在上面描下方程的點,看到了方程所表示的心臟線,理解了笛卡爾對自己的深深愛意。[1]

歷史上,笛卡爾和克里斯蒂娜的確有過交情。但笛卡爾是1649年10月4日應克里斯蒂娜邀請才來到瑞典,而當時克里斯蒂娜已成為了瑞典女王。笛卡爾與克里斯蒂娜談論的主要是哲學問題而不是數學。有資料記載,由於克里斯蒂娜女王時間安排很緊,笛卡爾只能在早晨五點與她探討哲學。笛卡爾真正的死因是因天氣寒冷加上過度操勞患上的肺炎,而不是黑死病。[1]

參見[編輯]

參考文獻[編輯]

  1. ^ 1.0 1.1 七夕特獻:數學家們的愛情故事. 2011-08-06 [2014-02-16].