力矩

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在一個旋轉系統裏,作用力\mathbf{F}\,\!、位置向量\mathbf{r}\,\!、力矩\boldsymbol{\tau}\,\!、動量\mathbf{p}\,\!、角動量\mathbf{L}\,\!,這些物理量之間的關係。

物理學裏,作用力使物體繞著轉動軸支點轉動的趨向,[1]稱為力矩torque)。轉動力矩又稱為轉矩。力矩能夠使物體改變其旋轉運動。推擠或拖拉涉及到作用力 ,而扭轉則涉及到力矩。如圖右,力矩\boldsymbol{\tau}\,\!等於徑向向量\mathbf{r}\,\!與作用力\mathbf{F}\,\!叉積

簡略地說,力矩是一種施加於好像螺栓飛輪一類的物體的扭轉力。例如,用扳手的開口箝緊螺栓螺帽,然後轉動扳手,這動作會產生力矩來轉動螺栓或螺帽。

根據國際單位制,力矩的單位是牛頓\cdot。本物理量非能量,因此不能以焦耳(J)作單位;根據英制單位,力矩的單位則是英尺\cdot磅。力矩的表示符號是希臘字母\boldsymbol{\tau}\,\!,或\mathbf{M}\,\!

力矩與三個物理量有關:施加的作用力\mathbf{F}\,\!、從轉軸到施力點的位移向量\mathbf{r}\,\!、兩個向量之間的夾角\theta\,\!。力矩\boldsymbol{\tau}\,\!以向量方程式表示為

\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r}\times \mathbf{F}\,\!

力矩的大小為

\tau = rF\sin \theta\,\!

歷史[編輯]

力矩的概念,起源於阿基米德槓桿的研究。

定義[編輯]

用右手定則決定力矩方向

力矩等於作用於槓桿的作用力乘以支點到力的垂直距離。例如,3 牛頓的作用力,施加於離支點2 處,所產生的力矩,等於1牛頓的作用力,施加於離支點6米處,所產生的力矩。力矩是個向量。力矩的方向與它所造成的旋轉運動的旋轉軸同方向。力矩的方向可以用右手定則來決定。假設作用力垂直於槓桿。將右手往槓桿的旋轉方向彎捲,伸直的大拇指與支點的旋轉軸同直線,則大拇指指向力矩的方向[2]

假設作用力\mathbf{F}\,\!施加於位置為\mathbf{r}\,\!的粒子。選擇原點(以紅點表示)為參考點,只有垂直分量F_{\perp}\,\!會產生力矩。這力矩\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r}\times \mathbf{F}\,\!的大小為\tau= |\mathbf{r}||\mathbf{F}_{\perp}|= |\mathbf{r}||\mathbf{F}|\sin\theta\,\!,方向為垂直於螢幕向外。

更一般地,如圖右,假設作用力\mathbf{F}\,\!施加於位置為\mathbf{r}\,\!的粒子。選擇原點為參考點,力矩\boldsymbol{\tau}\,\!以方程式定義為

\boldsymbol{\tau}\ \stackrel{def}{=}\ \mathbf{r} \times \mathbf{F}\,\!

力矩大小為

\tau= |\mathbf{r}||\mathbf{F}|\sin\theta\,\!

其中,\theta\,\!是兩個向量\mathbf{F}\,\!\mathbf{r}\,\!之間的夾角。

力矩大小也可以表示為

\tau = rF_{\perp}\,\!

其中,F_{\perp}\,\!是作用力\mathbf{F}\,\!對於\mathbf{r}\,\!的垂直分量。

任何與粒子的位置向量平行的作用力不會產生力矩。

從叉積的性質,可以推論,力矩垂直於位置向量\mathbf{r}\,\!和作用力\mathbf{F}\,\!。力矩的方向與旋轉軸平行,由右手定則決定。

力矩與角動量之間的關係[編輯]

地心重力\mathbf{F_g}\,\!的力矩造成角動量\mathbf{L}\,\!的改變。因此,陀螺呈現進動現象。

假設一個粒子的位置為\mathbf{r}\,\!,動量為\mathbf{p}\,\!。選擇原點為參考點,此粒子的角動量\mathbf{L}\,\!

\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}\,\!

粒子的角動量對於時間的導數為

\begin{align}\frac{d\mathbf{L}}{dt} & = \mathbf{r} \times \frac{d\mathbf{p}}{dt} + \frac{d\mathbf{r}}{dt} \times \mathbf{p} \\
 & =\mathbf{r} \times m \frac{d\mathbf{v}}{dt} +  \mathbf{v} \times m\mathbf{v} \\
 & =\mathbf{r} \times m \mathbf{a} \\
\end{align}\,\!

其中,m\,\!是質量,\mathbf{v}\,\!是速度,\mathbf{a}\,\!是加速度。

應用牛頓第二定律\mathbf{F}=m\mathbf{a}\,\!,可以得到

\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}\,\!

按照力矩的定義,\boldsymbol{\tau}\ \stackrel{def}{=}\ \mathbf{r} \times \mathbf{F}\,\!,所以,

\boldsymbol{\tau} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}\,\!

作用於一物體的力矩,決定了此物體的角動量\mathbf{L}\,\!對於時間t\,\!的導數。

假設幾個力矩共同作用於物體,則這幾個力矩的淨力矩\boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}}\,\!共同決定角動量的對於時間的變化:

\boldsymbol{\tau}_1 + \cdots + \boldsymbol{\tau}_n = \boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}\,\!

關於物體的繞著固定軸的旋轉運動,

\mathbf{L} = I\boldsymbol{\omega}\,\!

其中,I\,\!是物體對於固定軸的轉動慣量\boldsymbol{\omega}\,\!是物體的角速度

所以,取上述方程式對時間的導數:

\boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}(I\boldsymbol{\omega})}{\mathrm{d}t} = I\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d}t} = I\boldsymbol{\alpha}\,\!

其中,\boldsymbol{\alpha}\,\!是物體的角加速度

單位[編輯]

力矩的定義是距離乘以作用力。根據國際單位制,力矩的單位是牛頓\cdot[3](Nm)。雖然牛頓與米的次序,在數學上,是可以交換的,但是國際重量測量局Bureau International des Poids et Mesures)規定這次序應是牛頓\cdot米,而不是米\cdot牛頓[4]

根據國際單位制能量功量的單位是焦耳,定義為1牛頓\cdot米。但是,焦耳不是力矩的單位。因為,能量是力點積距離的純量;而力矩是距離叉積作用力的向量。當然,因次相同並不儘是巧合,使1牛頓\cdot米的力矩,作用1 全轉,需要恰巧2\pi\,\!焦耳的能量:

E= \tau\theta\,\!

其中,E\,\!是能量,\theta\,\!是移動的角度,單位是弧度

根據英制,力矩的單位是英尺\cdot磅。

矩臂方程式[編輯]

矩臂圖

在物理學外,其他的學術界裡,力矩時常會如以下定義:

\boldsymbol{\tau} = (\textrm{moment\ arm}) \cdot \textrm{force}\,\!

右圖顯示出矩臂(moment arm)、前面所提及的相對位置\mathbf{r}\,\!、作用力\mathbf{F}\,\!(force)。這個定義並沒有指出力矩的方向,只有力矩的大小。所以,並不適用於三維空間問題。

靜力概念[編輯]

當一個物體在靜態平衡時,淨力是零,對任何一點的淨力矩也是零。二維空間的平衡要求是

\sum F_x =0\,\!
\sum F_y =0\,\!
\sum \tau =0\,\!

這裡,F_x,\ F_y \,\!是作用力\mathbf{F}\,\!分別在x-軸與y-軸的分量。假若,這三個聯立方程式有解,則稱此系統為靜定系統;不然,則稱為靜不定系統。

力矩、能量和功率之間的關係[編輯]

假設施加作用力於一物體,使得此物體移動一段距離,則作用力對於此物體做了機械功。類似地,假設施加力矩於一物體,使得此物體旋轉一段角位移,則力矩對於此物體做了機械功。對於穿過質心的固定軸的旋轉運動,以數學方程式表達,

 W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau\ \mathrm{d}\theta\,\!

其中,W\,\!是機械功,\theta_1\,\!\theta_2\,\!分別是初始角和終結角,\mathrm{d}\theta\,\!是無窮小角位移元素。

根據功能定理W\,\!也代表物體的旋轉動能K_{\mathrm{rot}}\,\!的改變,以方程式表達,

K_{\mathrm{rot}} = \tfrac{1}{2}I\omega^2\,\!

功率是單位時間內所做的機械功。對於旋轉運動,功率P\,\!以方程式表達為

 P = \boldsymbol{\tau} \cdot \boldsymbol{\omega}\,\!

請注意,力矩注入的功率只跟瞬時角速度有關,而角速度是否在增加中,或在減小中,或保持不變,功率都與這些狀況無關。

實際上,在與大型輸電網路相連接的發電廠裏,可以觀察到這關係。發電廠的發電機的角速度是由輸電網路的頻率設定,而發電廠的功率輸出是由作用於發電機轉動軸的力矩所決定。

在計算功率時,必須使用一致的單位。採用國際單位制,功率的單位是瓦特,力矩的單位是牛頓-米,角速度的單位是每秒弧度(不是每分鐘轉速rpm,也不是每秒鐘轉速)。

力矩原理[編輯]

力矩原理闡明,幾個作用力施加於某位置所產生的力矩的總和,等於這些作用力的淨力所產生的力矩。力矩原理又名伐里農定理(Varignon's theorem)[5],以方程式表達,

(\mathbf{r}\times\mathbf{F}_1) + (\mathbf{r}\times\mathbf{F}_2) + \cdots = \mathbf{r}\times(\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2 + \cdots)\,\!

參閱[編輯]

參考文獻[編輯]

  1. ^ Serway, R. A. and Jewett, Jr. J. W. (2003). Physics for Scientists and Engineers. 6th Ed. Brooks Cole. ISBN 0-53440-842-7.
  2. ^ *喬治亞州州立大學Georgia State University)線上物理網頁: 力矩的右手定則 [2007-09-08] 
  3. ^ SI brochure Ed. 8, Section 5.1, Bureau International des Poids et Mesures. 2006 [2007-04-01] 
  4. ^ SI brochure Ed. 8, Section 2.2.2, Bureau International des Poids et Mesures. 2006 [2007-04-01] 
  5. ^ Engineering Mechanics: Equilibrium, by C. Hartsuijker, J. W. Welleman, page 64
  • Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.). W. H. Freeman. 2004. ISBN 0-7167-0809-4. 

外部連結[編輯]