抽象代數

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魔術方塊的所有可能重新排列形成一個群,叫做魔術方塊群是抽象代數中的一個重要概念。

抽象代數亦稱近世代數,是研究各種代數繫結構及性質的分支學科。它是在初等代數基礎上經過數系概念的推廣,與實施代數運算範圍的擴大,從18世紀末萌芽到20世紀30年代,逐步形成現代數學的主要分支之一。

抽象代數是研究以任意對象作為元素的集合,賦予元素間的若干合成法則——即對集合中任意元素a,b有集合中惟一的元素c與之對應——稱為運算,並且這些運算滿足於特定的一些條件——稱為公理.隨著集合所賦予的運算及其所滿足的公理體系的不同而形成各種不同的代數系,如(包括向量空間)、代數等. [1]

抽象代數作為數學的一門學科,主要研究對象是代數結構,比如向量空間代數。這些代數結構中,有的在19世紀就已經被給出了正式的定義。事實上,對抽象代數的研究是應數學更嚴格化的要求而發展起來的。對抽象代數的研究還使人們形成了對全部數學和自然科學的基礎性邏輯假設(的複雜性)的整體認識,現今,幾乎沒有那一個數學分支用不到代數學的結論。此外,隨著抽象代數的發展,代數學家們發現:明顯不同的邏輯結構通過類比可以得到一個很簡練的由公理構成的核心。這對深入研究代數的數學家是有益的,並賦予他們更大的本領。

「抽象代數」這詞,是為了與「初等代數」區別開,後者教授公式和代數表達式的運算方法,其中有實數複數未知項。20世紀初,抽象代數有時也稱為現代代數近世代數

泛代數中有時用抽象代數這一稱呼,但作者大多簡單的稱作「代數」。

歷史及發展[編輯]

代數系的起源較早,在挪威數學家阿貝爾(Abel, N.H.)證明五次以上方程不能用根式求解的進程中就孕育著的概念;1830年,年僅19歲的伽羅瓦(Galois, E.)徹底解決了代數方程的根式求解問題,從而引進數體的擴張、置換群、可解群等概念;後來,凱萊(Cayley, A.)在1854年的文章中給出有限抽象群;戴德金(Dedekind, J.W.R.)於1858年在代數數體中又引入有限交換群和有限群;克萊因(Klein, C.F.)於1872年建立了埃爾朗根綱領,這些都是抽象群產生的主要源泉。然而抽象群的公理系統直到1882年凱萊與韋伯(Weber, H.)在Math.Annalen的同一期分別給出有限群的公理定義,1893年韋伯又給出無限抽象群的定義。由於李(Lie, M.S.)對連續群和弗比尼斯(Frobenius, F.G.)對群表示的系統研究,對群論發展產生了深刻的影響。同時,李在研究偏微分方程組解的分類時引入李代數的概念,然而,它的發展卻是19世紀末和20世紀初,由基靈(Killing, W.K.J.)、外爾(Weyl, (C.H.)H.)和嘉當(Cartan, É.(-J.))等人的卓越工作才建立了系統理論。

域這個名詞雖是戴德金較早引入的,但域的公理系統卻是迪克森(Dickson, L.E.)與亨廷頓(Huntington, E.V.)於19世紀初才獨立給出。而域的系統發展是從1910年,施泰尼茨(Steinitz, E.)的著名論文「域的代數理論」開始的。同期,布爾(Boole, G.)研究人的思維規律,於1854年出版《思維規律的研究》,建立了邏輯代數,即布爾代數。但格論是在1933~1938年,經伯克霍夫George David Birkhoff)(Birkhoff, G.D.)、坎托羅維奇(Канторович.П.В.)、奧爾(Ore, O.)等人的工作才確立了在代數學中的地位。另一方面,1843年,哈密頓(Hamilton, W.R.)引進四元數並奠定了向量代數和向量分析的基礎,而四元數系又構成實數體上有限維可除代數。凱萊與西爾維斯特(Sylvester, J.J.)一起建立了代數型的理論,奠定了代數不變數的矩陣理論。凱萊又是矩陣代數的創始人,他建立了八元數與非結合代數,同時,克里福(Clifford, W.K.)將八元數(復四元數)及外代數推廣到一般克里福代數,並將其成功地應用於非歐幾里得空間中運動的研究。

19世紀和20世紀之交,庫默爾Ernst Kummer)(Kummer, E.E.)引入對代數數論有重要影響的理想數概念,他於1844年指出整環未必有惟一分解性質.戴德金將庫默爾理想數推廣並引出現代理想的概念,建立了代數數體的理論和代數整數環上理想的惟一分解定理。特別是1894年,嘉當(Cartan, E.J.)關於復單李代數的完全分類以及1907年,韋德伯恩(Wedderburn, J.H.M.)發展了嘉當關於實數體和複數域上線性結合代數的結構定理,從而創立了一般域上結合代數的結構定理,極大地發展了抽象代數的理論。在此期間,群以及與其緊密相關的不變數概念在分析、幾何、力學和理論物理中都發揮了重大影響,而這些學科的發展反過來又促進了代數的發展。如諾特(Noether, M.)研究代數簇在雙有理變換下的不變性質和關於曲面的著名定理,便導致多項式環理想理論的建立。因此,深入研究代數的相關概念,以及從各種具體對象抽象出共同特性來進行公理化的研究,就導致抽象代數的進一步演變,促進了相對獨立的學科,如群、域、線性代數、代數數論、環論等向縱深和綜合兩方面發展.德國代數學派在這方面起了領導作用,戴德金希爾伯特(Hilbert, D.)和韋伯以及施泰尼茨等對代數學抽象公理化的研究有很大貢獻,其中突出的成就是布饒爾(Brauer, R.(D.))、哈塞(Hasse, H.)、諾特(Noether,A.E.)、阿爾貝特(Albert, A.A.)關於有限維結合代數的理論,它闡明了有理數體上單代數都是其中心F上的循環代數.特別是諾特於1920年引入左(右)模的概念,並研究了模在有限群表示論中的作用,以及模與代數結構理論之間的聯繫,使模成為數學的重要工具,從而又推動了環論的發展。1921年,她寫的「整環的理想理論」建立了交換諾特環理論,證明了准素分解定理,成為交換代數的里程碑。1926年,她又給出戴德金環的公理刻畫,因此,諾特是抽象代數的奠基人之一。她和阿廷(Artin, E.)以及他們的學生(包括中國數學家曾炯)為中心,在20世紀20—30年代,對體論、類體論、代數的理想理論到阿廷環的推廣取得輝煌成就。其中,阿廷在1927年將代數結構定理推廣到極小條件環上,就是著名的韋德伯恩-阿廷定理,成為環論發展的一個新里程碑;同時,克魯爾(Krull, W.)創立了局部環的理想理論,范·德·瓦爾登(van der Waerden, B.L.)等人發展並簡化了單純代數的結構和環的理想理論.20世紀30年代初,范·德·瓦爾登的《近世代數學》綜合總結了從伽羅瓦起100年來抽象代數各方面的工作,是抽象代數的一個里程碑。由於抽象代數的理論和方法已滲透到數學的各個學科和其他領域(如理論物理、晶體學),這就反過來推動抽象代數在深度和廣度上更加迅速發展,范·德·瓦爾登的書只能是現代數學工作者的基礎了。抽象代數的各分支學科之間,以及與其他學科之間的相互滲透,不僅促進這些學科的進一步發展,也促進了新學科的形成。比如,同期,范·德·瓦爾登與扎里斯基(Zariski, O.)首先將交換代數的方法引進代數幾何;在20世紀40年代,韋伊(Weil, A.)又用抽象代數的方法建立了一般域上代數幾何的理論.又如,域上多重線性代數的概念和理論推廣到交換環上形成環上多重線性代數。

從20世紀40年代初開始,抽象代數進入一個新的階段。1945年,雅各布森(Jacobson, N.)引入根及本原環的理論,成為環論發展的新階段.另一方面,作為線性代數推廣的模論得到進一步發展併產生深刻影響。在20世紀20—30年代出現了以生成元及其定義關係所定義的無限群,經霍爾(Hall, P.)、馬爾采夫(Мальцев, А.И.)等人的精彩工作,到20世紀40年代已形成獨立體系。1962年,費特(Feit,W.)與湯普森(Thompson, J.G.)關於奇數階群必為可解群的定理,是對有限單純群分類的重大突破。從伽羅瓦引入置換群,其後證明An(n≥5)是單純群到1981年有限單純群分類的完全解決,經歷了約150年之久。同期,李代數也得到深入發展,不僅推廣到一般域,而且無限維李代數從20世紀60年代崛起,作為復單李代數推廣的卡茨-穆迪代數就是卡茨(Kac, V.)與穆迪(Moody, R.)於1968年彼此獨立建立的。它與理論物理有密切關係.而李群的深入發展派生出代數群,即群是代數閉體上仿射簇。代數群及其表示理論與多重線性代數、交換環論、代數幾何、李代數等都有十分密切的聯繫,近年來已成為抽象代數的活躍分支.

在抽象代數中同態和同構起主要作用,它不考慮代數系的特殊結構,而是用統一方法去研究,這種作為各代數結構的比較性研究,首先是把群論、環論和格論中一些共同的概念和平行的結果推廣到代數繫上去,這就產生了泛代數,20世紀30年代末提出的伯克霍夫定理,是它獨立發展的起點。泛代數(不限於二元運算)是以各種不同的代數系之間的共性為主要研究對象的學科,它對模型論、自動機理論和程序語言的語義學都有應用。

將同一種代數以及它們之間的同態映射合起來考慮,就會發現這與數學其他分支研究的對象以及對象間的聯繫(如拓撲空間及連續映射,集合及映射,環及同態等)有許多本質上的共性.1945年,由艾侖伯格(Eilenberg, S.)、麥克萊恩(Maclane, S.)通過研究對偶空間的自然變換建立的範疇論,正好討論了這些共性。範疇是比集合更高層次的公共語言,這種語言和它的理論已滲透到代數幾何(由格羅騰迪克(Grothendieck, A.)和迪厄多內(Dieudonné, J.)於1960年引入)和代數的以及數學的許多分支(如戈德門特(Godement, R.),埃雷斯曼(Ehresmann, C.)於1958年分別引入拓撲學微分幾何),並在其中起著重要作用.

由美國和歐洲數學家在20世紀40年代,幾乎同時彼此獨立發展起來同調代數,它是以代數拓撲為背景,以模為主要研究對象的學科,通過兩類重要的函子與Hom及由它們導出的函子Tor,Ext得出刻畫環的許多深刻結果.由於代數拓撲中赫維茨(Hurewicz, W.)問題的解決,導致1945年艾倫伯格和麥克萊恩定義了群的(係數在任意域上)餘調群.同時,赫希施爾德(Hochschild, G.)引進了結合代數的餘調群,謝瓦萊(Chevalley, C.)等人又發展了李代數的餘調群。同調代數在數論、群論、代數拓撲、代數幾何中都有重要作用。當考慮李群或者作為它的推廣的H空間的同調以及餘調時,就得到霍普夫代數.它的研究是由霍普夫(Hopf, H.)於1941年開始的,鮑萊耳(Borel, A.)於1953年推廣其基本結構定理。霍普夫代數的理論是代數拓撲的常用工具,它在物理學中的模型是量子群。

20世紀60年代起蓬勃發展的代數K理論,它同拓撲K理論一樣是源於格羅騰迪克於1957年的廣義黎曼-羅赫定理的工作。人們企圖推廣線性代數中某些部分如維數理論到環的模上而發展成為由環範疇到阿貝爾範疇的一系列函子,代數K理論就是研究這些函子(如K0、K1、K2等)的理論,它不僅對刻畫環的性質起重要作用,而且在代數幾何等其他學科中也有著值得重視的作用。用模、範疇、同調代數的語言和理論來刻畫和研究環,從而使環論的發展推向更新的階段。

應該指出,20世紀50年代,塞爾(Serre, J.P.)把代數簇理論建立在層的概念上,並建立了凝聚層的餘調,這為格羅騰迪克建立概型理論奠定了基礎,從而使代數幾何的研究進入一個新階段。概型理論也為代數數論提供了新的理論和方法.代數幾何與數學許多分支密切相關,互相促進。如代數幾何中的超越方法與偏微分方程微分方程微分幾何拓撲學緊密相關,代數幾何在控制論與現代粒子物理中也有廣泛應用。

抽象代數學的這些理論發展的同時,由於電子技術的發展和電子計算機的廣泛應用,抽象代數學的一些成果和方法可直接應用到工程技術中,如代數編碼學、語言代數學、代數自動機理論等新的應用代數學的領域相繼產生和發展。同時它又是離散數學的重要組成部分,並對組合數學的突起和蓬勃發展產生重大影響。這些新的應用推動了近代應用代數學的形成、發展與完善。[1]

例子[編輯]

有一個二元運算的代數結構的例子有:

更複雜的例子有:

在泛代數中,類似的代數結構的定義和結果都收集起來。上述各類對象,連同賦予恰當意思的同態,便構成各個範疇。很多時候範疇論提供了適當的形式語言,令各種代數結構間可以對譯和比較。

參考書目[編輯]

  1. ^ 1.0 1.1 《數學辭海(第二卷)》山西教育出版社 中國科學技術出版社 東南大學出版社

參看[編輯]