拉克斯-米爾格拉姆定理

維基百科,自由的百科全書
(重新導向自拉克斯-米爾格拉姆定理
前往: 導覽搜尋

拉克斯-米爾格拉姆定理數學泛函分析的定理,以彼得·拉克斯阿瑟·米爾格拉姆命名。這定理可用來藉弱形式求解偏微分方程,因此主要用作有限元法的理論基礎。

敘述[編輯]

\exists\,c>0, \forall (u,v)\in \mathcal{H}^2\,,\ |a(u,v)|\leq c\|u\|\|v\|
  • \mathcal{H}強制(有稱為\mathcal{H}-橢圓性):
\exists \,\alpha>0, \forall u\in\mathcal{H}\,,\ a(u,u) \geq \alpha\|u\|^2

那麼存在唯一的u \in \mathcal{H},使得對所有v\in\mathcal{H}都有a(u,v)=Lv

(1) \quad \exists!\ u \in \mathcal{H},\ \forall v\in\mathcal{H},\quad a(u,v)=Lv

而且如果a對稱的,那麼 u \mathcal{H}中唯一的元素,使得以下泛函最小值J:\mathcal{H}\rightarrow\RJ(v) = \tfrac{1}{2}a(v,v)-Lv對所有v\in\mathcal{H},即:

(2) \quad \exists!\ u \in \mathcal{H},\quad J(u) = \min_{v\in\mathcal{H}}\ J(v)

證明[編輯]

一般情形[編輯]

套用里斯表示定理到連續線性型上,可知存在唯一的f\in\mathcal{H},使得Lv=\langle f,v\rangle對任意v\in\mathcal{H}成立。

對所有u\in\mathcal{H},映射v\mapsto a(u,v)\mathcal{H}上連續線性型,因此同樣可知存在唯一的A_u\in\mathcal{H},使得a(u,v)=\langle A_u,v\rangle對任意v\in\mathcal{H}成立。易知算子A:u\mapsto A_u 是一個\mathcal{H}上連續線性自同態。由此可把(1)表示成如下等價形式:

\exists!\ u \in \mathcal{H},\ Au=f

要證明此命題,只要證得A是從\mathcal{H}\mathcal{H}雙射。首先證明它是單射,再證它是滿射

a的強制性,使用柯西-施瓦茨不等式,得到對任何v\in\mathcal{H}

\alpha\|v\|^2 \leq a(v,v) = \langle Av,v\rangle \leq \|Av\|\|v\|

從而知對任何v \in \mathcal{H}

\|Av\| \geq \alpha\|v\| (*)。

這證明了A是單射。

要證明滿射,考慮算子A\mathcal{H}內的\mathcal{Z}

不等式(*)表示,如A u_n柯西序列,那麼u_n\mathcal{H}內的柯西序列。由\mathcal{H}的完備性,u_n收斂至u \in \mathcal{H}。因A連續,得出A u_n收斂至A u

\mathcal{Z}因此為\mathcal{H}中的子空間,由投影定理可知\mathcal{H}= \mathcal{Z} \oplus \mathcal{Z}^{\perp}

再設元素w \in \mathcal{Z}^{\perp},從定義有\langle Aw,w\rangle = 0,因此

\alpha\|w\|^2 \leq a(w,w) = \langle Aw,w\rangle = 0

故得w=0。所以\mathcal{Z}^{\perp}\{0\},證得A是滿射。

自同態A是雙射,故在\mathcal{H}內存在唯一的u使得Au=f,且可以由u=A^{-1}f得出。

附註[編輯]

不用求出u,有其範數的上界估計

\|u\| \leq \frac{\|L\|'}{\alpha}

其中\|\cdot\|' 表示對偶空間\mathcal{H}^*的範數。

對稱情形[編輯]

如果雙線性型a對稱,那麼對所有w\in\mathcal{H}有:

J(u+w) = J(u)+\Big(a(u,w)-Lw\Big)+\frac{1}{2}a(w,w)

u是命題(1)的唯一解,有

J(u+w) = J(u)+\frac{1}{2}a(w,w)

a的強制性有:

J(u+w) \geq J(u) + \frac{\alpha}{2}\|w\|^2

v = u+w,從上式有J(u) \leq J(v)對任意v\in\mathcal{H}成立,因而得到(2)的結果。

應用[編輯]

這定理是有限元法的基礎。實際上,若不在\mathcal{H}內求u,而是在\mathcal{H}的有限n維子空間\mathcal{H}_n內求u_n,那麼

  • 如果a對稱,以a內積u_nu的投影。
  • 給出\mathcal{H}_n(\varphi_i),上述問題化為求解線性方程組:
\underline{\underline{A}} \underline{u_n} = \underline{b}

其中A_{ij}=a(\varphi_j,\varphi_i)b_i=L\varphi_i