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拉普拉斯變換

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拉普拉斯變換應用數學中常用的一種積分變換,又名拉氏轉換,其符號為 \displaystyle\mathcal{L} \left\{f(t)\right\}。拉氏變換是一個線性變換,可將一個有引數實數tt ≥ 0)的函數轉換為一個引數為複數s的函數:

F(s) = \int_0^\infty f(t) e^{-st}\,dt.

拉氏變換在大部份的應用中都是對射的,最常見的f(t)和F(s)組合常印製成表,方便查閱。拉普拉斯變換得名自皮埃爾-西蒙·拉普拉斯,他在機率論的研究中首先引入了拉氏變換。

拉氏變換和傅立葉變換有關,不過傅立葉變換將一個函數或是信號表示為許多弦波的疊加,而拉氏變換則是將一個函數表示為許多的疊加。拉氏變換常用來求解微分方程及積分方程。在物理及工程上常用來分析線性非時變系統,可用來分析電子電路諧振子光學儀器及機械設備。在這些分析中,拉氏變換可以作時域頻域之間的轉換,在時域中輸入和輸出都是時間的函數,在頻域中輸入和輸出則是複變角頻率的函數,單位是弧度每秒。

對於一個簡單的系統,拉氏變換提供另一種系統的描述方程,可以簡化分析系統行為的時間[1]。像時域下的線性非時變系統,在頻域下會轉換為代數方程,在時域下的捲積會變成頻域下的乘法。

正式定義[編輯]

對於所有實數t ≥ 0,函數f(t)的拉普拉斯變換是函數F(s),定義為:

F(s) =\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt

參數s是一個複數

s = \sigma + i \omega, \,σ和ω為實數。

拉普拉斯變換的其他表示法中使用\displaystyle\mathcal{L}f\displaystyle\mathcal{L}_t\left\{f(t)\right\}而非F\mathcal{L} 是一個運算符號,它代表對其對象進行拉普拉斯積分\int_0^\infty e^{-st}\,dtF(s)\,f(t)\,的拉普拉斯變換結果。

拉普拉斯逆變換[編輯]

拉普拉斯逆變換有許多不同的名稱,如維奇積分傅立葉-梅林積分梅林逆公式,是一個積分:

f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{F\} = \mathcal{L}^{-1}_s \{F(s)\} \equiv \frac{1}{2 \pi i} \lim_{T\to\infty}\int_{\gamma - i T}^{\gamma + i T} e^{st} F(s)\,ds,

其中γ是一個使F(s)的積分路徑在收斂域內的實數。

拉普拉斯變換的存在性[編輯]

關於一個函數f(t)\,的拉普拉斯變換,只有在拉普拉斯積分是收斂的情況下才存在。也就是說,f(t)\,必須是在對於t>0\,的每一個有限區間內都是間斷性連續的,且當t\,趨於無窮大的時候,f(t)\,是指數階地變化。

拉普拉斯變換的基本性質[編輯]

函數f(t)和g(t)的拉普拉斯變換分別為F(s)和G(s):

\begin{align}
  f(t) &= \mathcal{L}^{-1} \{  F(s) \} \\
  g(t) &= \mathcal{L}^{-1} \{  G(s) \} 
\end{align}

下面的表格是一系列單邊拉普拉斯變換的性質:[2]

單邊拉普拉斯變換的性質
時域 s域 注釋
線性疊加  a f(t) + b g(t) \  a F(s) + b G(s) \ 可以用積分的基本規則證明。
時域微分  t f(t) \  -F'(s) \ F′是F的一階導數
頻域微分  t^{n} f(t) \  (-1)^{n} F^{(n)}(s) \ 更一般的形式是F(s)的n階導數。
微分  f'(t) \  s F(s) - f(0) \ f是一個可微函數,並且其導數為指數類型。這條性質可以通過分部積分得到。
二階微分  f''(t) \  s^2 F(s) - s f(0) - f'(0) \ f為二階可微且二階導數是指數型的。通過對f′(t)應用微分性質可得。
一般微分  f^{(n)}(t)  \  s^n F(s) - \sum_{k=1}^{n} s^{k-1} f^{(n - k)}(0) \ fn階可微,其n階導數是指數型的。通過數學歸納法證明。
頻率積分  \frac{1}{t}f(t)  \  \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma \ 這是由頻率微分和條件收斂推導出來的。
積分  \int_0^t f(\tau)\, d\tau  =  (u * f)(t)  {1 \over s} F(s) u(t)是階躍函數,注意到 (uf)(t) 是u(t)和f(t)的卷積
時間標度 f(at)  \frac{1}{a} F \left ( {s \over a} \right )  a > 0 \
頻率平移  e^{at} f(t)  \  F(s - a) \
時域平移  f(t - a) u(t - a) \  e^{-as} F(s) \ u(t)表示階躍函數
乘法 f(t)g(t)  \frac{1}{2\pi i}\lim_{T\to\infty}\int_{c - iT}^{c + iT}F(\sigma)G(s - \sigma)\,d\sigma \ 積分沿完全處在F收斂域內的豎直線Re(σ) = c[3]
卷積  (f * g)(t) = \int_{0}^{t} f(\tau)g(t - \tau)\,d\tau  F(s) \cdot G(s) \
復共軛  f^*(t)  F^*(s^*)
互相關  f(t)\star g(t)  F^*(-s^*)\cdot G(s)
周期函數 f(t) {1 \over 1 - e^{-Ts}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,dt f(t)是一個周期T的周期函數,於是對所有t ≥ 0,有'f(t) = f(t + T)。這條性質是時域平移和幾何級數的結果。
f(0^+)=\lim_{s\to \infty}{sF(s)}.,要求{F(s)}為真分式,即分子的最高次小於分母的最高次,否則使用多項式除法{F(s)}分解
f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)},要求sF(s)的所有極點都在左半複平面或原點為單極點。

變換簡表[編輯]

原函數
f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s) \right\}
轉換後函數
F(s) = \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\}
收斂區域
 \delta(t) \  1 \  \mathrm{all} \  s \,
 \delta(t-\tau) \  e^{-\tau s} \  
 u(t) \  { 1 \over s }  s > 0 \,
 u(t-\tau) \  { e^{-\tau s} \over s }  s > 0 \,
 t \cdot u(t)\ \frac{1}{s^2}  s > 0 \,
 e^{-\alpha t} \cdot u(t)  \  { 1 \over s+\alpha }   s > - \alpha \
( 1-e^{-\alpha t})  \cdot u(t)  \ \frac{\alpha}{s(s+\alpha)}   s > 0\
 \sin(\omega t) \cdot u(t) \  { \omega \over s^2 + \omega^2  }  s > 0  \
 \cos(\omega t) \cdot u(t) \  { s \over s^2 + \omega^2  }  s > 0 \
 \sinh(\alpha t) \cdot u(t) \  { \alpha \over s^2 - \alpha^2 }  s > | \alpha | \
 \cosh(\alpha t) \cdot u(t) \  { s \over s^2 - \alpha^2  }  s > | \alpha | \
e^{-\alpha t}  \sin(\omega t) \cdot u(t) \  { \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2  }  s > -\alpha \
e^{-\alpha t}  \cos(\omega t) \cdot u(t) \  { s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2  }  s > -\alpha \
{  t^n \over n! } \cdot u(t)  { 1 \over s^{n+1} }  s > 0 \,
\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t) \frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}  s > - \alpha \,
 \sqrt[n]{t} \cdot u(t)  s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)  s > 0 \,
 \ln \left (  { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t)  - { t_0 \over s} \  [ \  \ln(t_0 s)+\gamma \ ]  s > 0 \,
 J_n( \omega t) \cdot u(t) \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}  s > 0 \,
 (n > -1) \,
I_n(\omega t) \cdot u(t)  \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}}  s > | \omega | \,
 Y_0(\alpha t) \cdot u(t) -{2 \sinh^{-1}(s/\alpha) \over \pi \sqrt{s^2+\alpha^2}}  s > 0 \,
 K_0(\alpha t) \cdot u(t)    
 \mathrm{erf}(t) \cdot u(t)  {e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}  s > 0 \,

與其他變換的聯繫[編輯]

  • 與傅立葉變換關係

s = iω或s = 2πfi,有:


\begin{align}
\hat{f}(\omega) & = \mathcal{F}\left\{f(t)\right\} \\[1em]
& = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}|_{s =  i\omega}  =  F(s)|_{s = i \omega}\\[1em]
& = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t.\\
\end{align}
  • 與z變換的聯繫

z 變換表達式為:

 X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}

其中 z \leftarrow e^{s T} \ . 比較兩者表達式有:

X_q(s) =  X(z) \Big|_{z=e^{sT}}.

例子:如何應用此變換及其性質[編輯]

拉普拉斯變換在物理學和工程中是常用的;線性時不變系統的輸出可以通過卷積單位脈衝響應與輸入信號來計算,而在拉氏空間中執行此計算將卷積通過轉換成乘法來計算。後者是更容易解決,由於它的代數形式。

拉普拉斯變換也可以用來解決微分方程,這被廣泛應用於電力工程。拉普拉斯變換把線性差分方程化簡為代數方程,這樣就可以通過代數規則來解決。原來的微分方程可以通過施加逆拉普拉斯變換得到其解。英國電力工程師奧利弗·黑維塞第一次提出了一個類似的計劃,雖然沒有使用拉普拉斯變換;以及由此產生的演算被譽為黑維塞演算。

在工程學上的應用[編輯]

應用拉普拉斯變換解常變數齊次微分方程,可以將微分方程化為代數方程,使問題得以解決。在工程學上,拉普拉斯變換的重大意義在於:將一個信號從時域上,轉換為複頻域(s域)上來表示,對於分析系統特性系統穩定有著重大意義;在線性系統控制自動化上都有廣泛的應用。

相關條目[編輯]

參考書目、資料來源[編輯]

  1. ^ Korn & Korn 1967,§8.1
  2. ^ Korn & Korn 1967,第226–227頁
  3. ^ Bracewell 2000,Table 14.1, p. 385
  • 電機電子類科《工程數學》,ISBN 957-584-377-0,作者陳錫冠、胡曦、周禎暉老師,高立出版社。
  • Korn, G. A.; Korn, T. M., Mathematical Handbook for Scientists and Engineers 2nd, McGraw-Hill Companies, 1967, ISBN 0-07-035370-0 .