數列

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數列是一組按順序排列的,記為\{a_n\}\,\!\{a_n\}=a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n, \cdots\ (n \in N^*)\,\!。其中,數列中的每一個數叫做這個數列的「項」,a_1\,\!為數列的「第一項」或「首項」,a_2\,\!是「第二項」,a_n\,\!是「第n項」。項的總個數為數列的「項數」,項數有限的數列為「有限數列」或「有窮數列」,項數無限的數列為「無限數列」或「無窮數列」。

a_n<a_{n+1}\ (n \in N^*)\,\!則稱數列\{a_n\}\,\!為「遞增數列」;若a_n>a_{n+1}\ (n \in N^*)\,\!則稱數列\{a_n\}\,\!為「遞減數列」;若a_n=a_{n+1}\ (n \in N^*)\,\!,則數列\{a_n\}\,\!為「常數列」;其他的即為「擺動數列」。

特別地,數列是一種特殊的函數,它的自變數為自然數集或其子集。

特殊數列[編輯]

  • 等差數列:是一種特殊數列。數列中,從第二項起,每一項與前一項的差相等。
例如數列1,3,5,7,9,\cdots,9995,9997,9999,\cdots
這就是一個等差數列,因為第二項與第一項的差和第三項與第二項的差相等,都等於2,99999997的差也等於2。我們把像2這樣的後一項與前一項的差稱之為公差,符號為d,但是d可為
若設首項a_1 = a,則等差數列的通項公式為a_n=a+(n-1)d
  • 多階等差數列:又叫高階等差數列,大陸地區則稱之為「質數相關數列」。
把一個數列的所有後項與前一項之差組成一個新的數列,如果這個新的數列是普通等差數列,原數列就叫做二階等差數列。
由此類推,把一個數列的所有後項與前一項之差組成一個新的數列,再把這個新的數列的所有後項與前一項之差組成另一個新的數列,如此進行下去,直到最後的數列如果是普通等差數列,那麼原數列就是多階等差數列。
普通等差數列可以視為一階等差數列,因而常數數列實際就是零階等差數列。
  • 等比數列:是一種特殊數列。它的特點是:從第2項起,每一項與前一項的比都是一個常數。
例如數列2,4,8,16,32,\cdots,2^{197},2^{198},2^{199},\cdots
這就是一個等比數列,因為第二項與第一項的比和第三項與第二項的比相等,都等於2,2^{198}2^{197}的比也等於2。我們把像2這樣的後一項與前一項的比稱之為公比,符號為r
若設首項a_1 = a,則等比數列的通項公式為a_n=ar^{n-1}
  • 斐波那契數列:是一種特殊數列。它的特點是:首兩項均是1,從第3項起,每一項均為前兩項的和。
以數學符號表示,即a_1=a_2=1,且對於n\ge 3a_n=a_{n-1}+a_{n-2}
斐波那契數列的通項公式為a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left({\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)^n-\left({\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\right)^n\right]
  • 正負相間:(-1)^n(-1)^{n-1}
  • 隔項有零:\frac{1}{2} [(-1)^n+1]\frac{1}{2} [(-1)^{n-1}+1]

數列的求和[編輯]

通常對第1項到第n項求和,記為S_n=\sum_{k=1}^n a_n

一般數列的通項求法[編輯]

逐差全加[編輯]

給定數列差d_n時逐差全加,例如:

a_1=1d_n=a_n-a_{n-1}=2n,求a_n
a_n=a_1+\sum_{k=2}^n d_k=n^2+n-1

逐商全乘[編輯]

給定數列比r_n時逐差全乘,例如:

a_1=1r_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{n}{n-1},求a_n
a_n=a_1\prod_{k=2}^n r_k=n

不動點[編輯]

對於形如齊次分式的遞推關係,可利用不動點來推導。

已知Aa_{n+1}+Ba_n+C=0,其中ABC都是常數,求a_n
求這類數列的通項公式,一般的方法就是將之化成一個新的等比數列

  • 如果A\ne-B,那麼這個式子就一定可以化成下面的形式:

A(a_{n+1}+k)=-B(a_n+k)
求出k,那麼數列{a_n+k}就是一個等比數列,從而求出通項公式。

  • 如果A=-B,那麼這個遞推關係是不可能化成等比數列的。實際上,若A=-B,那麼它就是等差數列了。還要注意的一種特殊情況就是A=B的時候,這實際上就是一個等和數列,從這個問題我們可以看到,等和數列也可以化成一個等比數列
  • 除此之外也可以這樣將之化成等比數列

Aa_{n+1}+Ba_n+C=0
Aa_n+Ba_{n-1}+C=0
兩邊相減就有:A(a_{n+1}-a_n)+B(a_n-a_{n-1})=0,如此就化成了一個等比數列

已知Aa_{n+1}+Ba_n+Ca_{n-1}+D=0,其中ABCD都為常數,求a_n
與上述數列一樣,它們一定可以化成下面的形式:
Aa_{n+1}+Ea_n=k(Aa_n+Ea_{n-1})
求出對應係數,然後就可以求出數列{Aa_n+Ea_{n-1}}的通項公式,然後求出a_n的通項公式。實際上這是一種逐步化簡的方法。

從和式求通項[編輯]

S_n=\sum_{k=1}^n a_n可知S_n-S_{n-1}=a_n

S_n看成一個數列,可以先對S_n進行求解,然後得出a_n

數學歸納法[編輯]

求出該數列的前數項,歸納其通項公式,然後用數學歸納法證明公式正確。

數列的斂散性[編輯]

參見[編輯]

一個特殊技術列數列,1,3,5,7,9....其和為N的n次方,即1+3=22,1+3+5=32以此類推。