整除規則

整除是數學中兩自然數間一種關係。自然數甲可被自然數乙整除，是指乙是甲的因數，且甲是乙的整數倍數，也就是甲除以乙沒有餘數。下面列出了十進位中判斷整數除以另一整數的商為整數，且餘數為零的一些規則。

基本判別[編輯]

0：所有非0的整數之倍數。
±1：所有整數之因數。

可於最後幾位判別[編輯]

2和5都是10的因數，在十進位判別是否有 $2^{k}$ 或 $5^{k}$ 的因數只須取其最後k位，除以 $2^{k}$ 或 $5^{k}$ ，可除盡即是：

±2：所有偶數（0、2、4、6、8結尾）皆有此因數。如2、−6、989896、11111112、−454
±4：最後兩位數可以被4除盡，即是。如9898989898540→40/4＝10
±8：若最後三位數可以被8除盡，即是。如8000、1256000、95872
±5：查看最後一位數。如果可以被5除盡（為0或5），即是。如5454545、45454500、50
±10：看最後一位數為0（即末兩位為10的整倍數）即是。如530、73500、50
± $2^{n}$ ：最後n位數可以被 $2^{n}$ 除盡。
± $5^{n}$ ：最後n位數可以被 $5^{n}$ 除盡。
± $10^{n}$ ：最後n位數字都全部是0。

上面的性質亦可推廣到求餘數：
$\sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv \sum _{r=0}^{k-1}10^{r}a_{r}{\pmod {2^{k}}}$
$\sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv \sum _{r=0}^{k-1}10^{r}a_{r}{\pmod {5^{k}}}$
$\sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv \sum _{r=0}^{k-1}10^{r}a_{r}{\pmod {10^{k}}}$

甚至非十進位下也是一樣。例如十二進位：2、3、4、6都是12的因數，故某數的末k位除以 $2^{k}$ 、 $3^{k}$ 、 $4^{k}$ 、 $6^{k}$ ，所得餘數與原數同餘。

可由各數位判別[編輯]

$\sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv \sum _{r=0}^{n}a_{r}{\pmod {3}}$

$\sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv \sum _{r=0}^{n}a_{r}{\pmod {9}}$

±3：所有位數加起來為3的倍數，即是。如69255：（6＋9＋2＋5＋5）/3＝27/3＝9
±9：所有位數加起來為9的倍數，即是。如69255：（6＋9＋2＋5＋5）/9＝27/9＝3

注意到我們現在是在十進位運算，而9＝10－1。對於任意 $p$ 進位的非負整數除法，當除數是 $p-1$ 時被除數中所有數字相加的和仍與該被除數同餘。
證明：

如被除數為零，命題是平凡。
在任何 $p$ 進位，首先考慮僅有最高位數字非零、其餘位均是零的正數，該數可寫成 $dp^{i}$ ，其中 $d$ 是最高位（第 $i$ 位）數字、 $1\leq d\leq p-1$ ，而 $p^{i}$ 表示後面有 $i$ 個零。（ $p$ 進位逢 $p$ 進一， $p$ 的 $i$ 次方自然是1後面 $i$ 個零。）
那麼 ${\textstyle dp^{i}=dp^{i-1}p}$ ，除以 ${\textstyle p-1}$ 得 ${\textstyle {\frac {dp^{i-1}p}{p-1}}={\frac {dp^{i-1}(p-1)+dp^{i-1}}{p-1}}}$ ，前項顯然整除，故 ${\textstyle dp^{i}=dp^{i-1}(p-1)+dp^{i-1}\equiv dp^{i-1}{\pmod {p-1}}}$ ，推論得 ${\textstyle dp^{i}\equiv dp^{0}=d{\pmod {p-1}}}$ 。
而任何 $p$ 進位正整數均可寫成 $\sum _{i=0}^{n}d_{i}p^{i}$ 的形式，根據上面的結果，這個和（即是該數本身）顯然與所有數字之和 $\sum _{i=0}^{n}d_{i}$ 同餘。證畢。

$\sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv \sum _{r=0}^{n}(-1)^{r}a_{r}{\pmod {11}}$

±11：將其奇數位之和及偶數位之和相減，如果是0、11等11的倍數，即是。如19866→1＋8＋6－（9＋6）＝0

±7，±11，±13：設正整數 $a=\sum _{r=0}^{n}1000^{r}a_{r}$ ， $1001=7\times 11\times 13$ ，所以

a\equiv \sum _{r=0}^{n}(-1)^{r}a_{r}{\pmod {7}},a\equiv \sum _{r=0}^{n}(-1)^{r}a_{r}{\pmod {13}}

若a＝75312289，則a=75×1000²＋312×1000＋289，289－312＋75＝52，a能被13整除，不能被7和11整除。^[1]

合數判別[編輯]

若某整數能整除某合數則某整數必同時整除所有某合數的質因數。

±6：同時符合±2（末位是0、2、4、6、8）和±3（相加可除盡）的條件（6＝2×3），如66、7986252、99999996
±12：同時符合±4和±3（相加可除盡）的條件（12＝ $2^{2}$ ×3），如60

連續割頭法[編輯]

$\sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv a_{0}+10\sum _{r=1}^{n}10^{r-1}a_{r}{\pmod {k}}$

±7：將個位前的數字乘以3再與個位數相加，得出7的倍數即7的倍數。如154→49→21→7
±13：將個位前的數字乘以3再與個位數相減，得出13的倍數即13的倍數。如156→39→0

$\sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv a_{0}+10a_{1}+100\sum _{r=2}^{n}10^{r-2}a_{r}{\pmod {k}}$

±23：將十位前的數字乘以15再與末兩位數相減，得出23的倍數即23的倍數。如207→23
±31：將十位前的數字乘以7再與末兩位數相加，得出31的倍數即31的倍數。如155→62
±37：將十位前的數字乘以11再與末兩位數相減，得出37的倍數即37的倍數。如333→0

連續割尾法[編輯]

若 $\sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv 0{\pmod {k}}$ ，且 $10x\equiv 1{\pmod {k}}$

則 $a_{0}+10\sum _{r=1}^{n}10^{r-1}a_{r}\equiv xa_{0}+\sum _{r=1}^{n}10^{r-1}a_{r}\equiv 0{\pmod {k}}$

±7：將個位數乘以2再與個位前的數字相減，得出7的倍數即7的倍數。如154→7
±19：將個位數乘以2再與個位前的數字相加，得出19的倍數即19的倍數。如152→19

2到31的整除規則總表[編輯]

整除數	整除規則	示例
2	末位是偶數（0、2、4、6、8）。	1294：末位4是偶數，能被2整除。
3	計算各位之和，其結果能被3整除。	405：4＋0＋5＝9，636：6＋3＋6＝15，兩者都能被3整除。 16兆4992億0585萬4376：1＋6＋4＋9＋9＋2＋0＋5＋8＋5＋4＋3＋7＋6＝69→6＋9＝15→1＋5＝6，能被3整除。
3	分別統計1、4、7出現總數與2、5、8出現總數，兩者之差能被3整除。	16兆4992億0585萬4376：數字1、4、7出現總數是4，數字2、5、8出現總數是4，4－4＝0，能被3整除。
4	末兩位能被4整除。	40832：末兩位32，能被4整除。
	十位數為偶數時，個位數為0、4、8。十位數為奇數時，個位數為2、6。	40832：十位數3是奇數，個位數為2，能被4整除。
	十位數乘2加個位數，其結果能被4整除。	40832：2×3＋2＝8，能被4整除。
5	末位是0、5。	495：末位是5，能被5整除。
6	能同時被2、3整除。	1458：1＋4＋5＋8＝18，能被3整除；末位數2是偶數，能被2整除，繼而能被6整除。
7	每三位分組，從右往左每組交替加減，其結果能被7整除。	136萬9851：851－369＋1＝483，能被7整除。
	從右往左每六位為一組，每組相加的結果能被7整除。	1649萬8888：16＋498888＝498904，能被7整除。
	個位數乘2，並從其餘位中減去，其結果能被7整除。	483：48－3×2＝42，能被7整除。
	個位數乘5，加到其餘位中，其結果能被7整除。	483：48＋3×5＝63，能被7整除。
	最高位乘3，與次高位相加，替換掉頭兩位，其能被7整除。	483：4×3＋8＝20，將20替換掉48； 203：2×3＋0＝6，將6替換掉20；63：6×3＋3＝21，能被7整除。
	末兩位加其餘位乘以2，其結果能被7整除。	48萬3595：4835×2＋95＝9765，97×2＋65＝259，2×2＋59＝63，能被7整除。
	從末位起由右至左依次乘1、3、2、−1、−3、−2（循環），相加的結果能被7整除。	48萬3595：4×（−2）＋8×（−3）＋3×（−1）＋5×2＋9×3＋5×1＝7，能被7整除。
8	百位數是偶數時，末兩位是個能被8整除的數字。	624：百位數6是偶數，末兩位24，能被8整除。
	百位數是奇數時，末兩位加4是個能被8整除的數字。	352：百位數3是奇數，末兩位52＋4＝56，能被8整除。
	末位加其餘位乘2，其結果能被8整除。	56：5×2＋6＝16，能被8整除。
	末三位能被8整除。	34152：末三位152能被8整除。
	百位乘4加十位乘2加個位，其結果能被8整除。	34152：1×4＋5×2＋2＝16，能被8整除。
9	計算各位之和，其結果能被9整除。	2880：2＋8＋8＋0＝18：1＋8＝9，能被9整除。
10	末位是0。	130：末位是0，能被10整除。
11	從高位到低位交錯加減，其結果能被11整除。	91萬8082：9－1＋8－0＋8－2＝22，能被11整除。
	從右往左每兩位為一組，每組相加的結果能被11整除。	627：6＋27＝33，能被11整除。 50215：5＋02＋15＝22，能被11整除。
	末位被其餘位減去，其結果能被11整除。	627：62－7＝55，能被11整除。
	將個位數加到百位中，其結果能被11整除。	627：62＋70＝132：13＋20＝33，能被11整除。
	該數為偶數位數時，首位減末位，加到其餘位，其結果能被11整除。	91萬8082（六位數）：1808＋（9－2）＝1815，81＋1－5＝77，能被11整除。
	該數為奇數位數時，首位加末位，從其餘位中減去，其結果能被11整除。	14179（五位數）：417－（1＋9）＝407，0－（4＋7）＝−11，能被11整除。
12	能同時被3、4整除。	288：能同時被3、4整除，繼而能被12整除。
12	將末位從其餘位乘2中減去，其結果能被12整除。	288：28×2－8＝48，能被12整除。
13	每三位分組，從右往左每組交替加減，其結果能被13整除。	291萬1272：2－911＋272＝−637，能被13整除。
	從右往左每六位為一組，每組相加的結果能被13整除。	1億6148萬0059：161＋480059＝480220，能被13整除。
	末位乘4，加到其餘位中，其結果能被13整除。	637：63＋7×4＝91，9＋1×4＝13，能被13整除。
	將末兩位從其餘位乘4中減去，其結果能被13整除。	923：9×4－23＝13，能被13整除。
	末位乘9，從其餘位中減去，其結果能被13整除。	637：63－7×9＝0，能被13整除。
14	能同時被2、7整除。	224：能同時被2、7整除，繼而能被14整除。
14	末兩位與其餘位乘2相加，其結果能被14整除。	364：3×2＋64＝70 1764：17×2＋64＝98，兩者都能被14整除。
15	能同時被3、5整除。	390：能同時被3、5整除，繼而能被15整除。
16	千位數是偶數時，末三位能被16整除。	25萬4176：千位數4是偶數，末三位176，能被16整除。
	千位數是奇數時，末三位加8能被16整除。	3408：千位數3是奇數，末三位408＋8＝416，能被16整除。
	末兩位與其餘位乘4相加，其結果能被16整除。	176：1×4＋76＝80， 1168：11×4＋68＝112，兩者都能被16整除。
	末四位能被16整除。	15萬7648：末四位7648能被16整除。
17	末位乘5，從其餘位中減去，其結果能被17整除。	221：22－1×5＝17，能被17整除。
	將末兩位從其餘位乘2中減去，其結果能被17整除。	4675：46×2－75＝17，能被17整除。
	從右往左每八位為一組，從右往左每組交替加減，其結果能被17整除。	1億1725萬0581：17250581－1＝17250580，能被17整除。
18	能同時被2、9整除。	342：能同時被2、9整除，繼而能被18整除。
19	末位乘2，加到其餘位中，其結果能被19整除。	437：43＋7×2＝57，能被19整除。
	末兩位乘4，加到其餘位中，其結果能被19整除。	6935：69＋35×4＝209，能被19整除。
	從右往左每九位為一組，從右往左每組交替加減，其結果能被19整除。	11億7225萬0581：172250581－1＝172250580，能被19整除。
20	末位是0，次末位是偶數。	360：末位是0，次末位6是偶數，能被20整除。
20	末兩位能被20整除。	480：末兩位80，能被20整除。
21	末位乘2，從其餘位中減去，其結果能被21整除。	168：16－8×2＝0，能被21整除。
21	能同時被3、7整除。	231：能同時被3、7整除，繼而能被21整除。
22	能同時被2、11整除。	352：能同時被2、11整除，繼而能被22整除。
23	末位乘7，加到其餘位中，其結果能被23整除。	3128：312＋8×7＝368，36＋8×7＝92，能被23整除。
	末兩位乘3，加到其餘位中，其結果能被23整除。	1725：17＋25×3＝92，能被23整除。
	末三位乘2，與其餘位相減，其結果能被23整除。	13萬7931：931×2＝1862，1862－137＝1725，能被23整除。
24	能同時被3、8整除。	864：能同時被3、8整除，繼而能被24整除。
25	末兩位是能被25整除的數（00、25、50、75）	13萬4250：末兩位50，能被25整除。
26	能同時被2、13整除。	156：能同時被2、13整除，繼而能被26整除。
27	每三位分組，各組相加，其結果能被27整除。	264萬4272：2＋644＋272＝918，能被27整除。
	末位乘8，從其餘位中減去，其結果能被27整除。	621：62－1×8＝54，能被27整除。
	將末兩位從其餘位乘8中減去，其結果能被27整除。	6507：65×8－7＝520－7＝513，能被27整除。
28	能同時被4、7整除。	140：能同時被4、7整除，繼而能被28整除。
29	末位乘3，加到其餘位中，其結果能被29整除。	493：49＋3×3＝58，能被29整除。
	末兩位乘9，加到其餘位中，其結果能被29整除。	5510：55＋10×9＝145，能被29整除。
	末三位乘2，與其餘位相減，其結果能被29整除。	17萬3913：913×2＝1826，1826－173＝1653，能被29整除。
30	末位是0，次各位之和能被3整除。	270：能同時被3、10整除，繼而能被30整除。
31	末位乘3，從其餘位中減去，其結果能被31整除。	341：34－1×3＝31，能被31整除。

參見[編輯]

參考資料[編輯]

^ 閔嗣鶴嚴士健. 初等数论(第三版). 高等教育出版社. : 第51–52頁. ISBN 978-7-04-011874-2.

[1] 閔嗣鶴嚴士健. 初等数论(第三版). 高等教育出版社. : 第51–52頁. ISBN 978-7-04-011874-2.

[1]