數論

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數論純粹數學的分支之一,主要研究整數的性質。被譽為「最純」的數學領域。

正整數按乘法性質劃分,可以分成質數合數1,質數產生了很多一般人也能理解而又懸而未解的問題,如哥德巴赫猜想孿生質數猜想等,即。很多問題雖然形式上十分初等,事實上卻要用到許多艱深的數學知識。這一領域的研究從某種意義上推動了數學的發展,催生了大量的新思想和新方法。數論除了研究整數及質數外,也研究一些由整數衍生的數(如有理數)或是一些廣義的整數(如代數整數)。

整數可以是方程式的解(丟番圖方程)。有些解析函數(像黎曼ζ函數)中包括了一些整數、質數的性質,透過這些函數也可以了解一些數論的問題。透過數論也可以建立實數和有理數之間的關係,並且用有理數來逼近實數(丟番圖逼近)。

數論早期稱為算術。到20世紀初,才開始使用數論的名稱[1],而算術一詞則表示「基本運算」,不過在20世紀的後半,有部份數學家仍會用「算術」一詞來表示數論。1952年時數學家Harold Davenport仍用「高等算術」一詞來表示數論,戈弗雷·哈羅德·哈代愛德華·梅特蘭·賴特在1938年寫《數論介紹》簡介時曾提到「我們曾考慮過將書名改為《算術介紹》,某方面而言是更合適的書名,但也容易讓讀者誤會其中的內容」[2]

卡爾·弗里德里希·高斯曾說:「數學是科學的皇后,數論是數學的皇后。」[3]

數論初期的鋪墊工作[編輯]

數論早期鋪墊有三大內容:

  1. 歐幾里得證明素數無窮多個。
  2. 尋找素數的埃拉托斯特尼篩法;歐幾里得求最大公約數的輾轉相除法
  3. 公元420至589年(中國南北朝時期)的孫子定理

以上工作成為現代數論的基本框架。

數論中期工作[編輯]

在中世紀時,除了1175年至1200年住在北非和君士坦丁堡的斐波那契有關等差數列的研究外,西歐在數論上沒有什麼進展。

數論中期主要指15-16世紀到19世紀,是由費馬梅森歐拉高斯勒讓德黎曼希爾伯特等人發展的。最早的發展是在文藝復興的末期,對於古希臘著作的重新研究。主要的成因是因為丟番圖的《算術》(Arithmetica)一書的校正及翻譯為拉丁文,早在1575年Xylander曾試圖翻譯,但不成功,後來才由Bachet在1621年翻譯完成。

早期的現代數論[編輯]

費馬[編輯]

費馬

皮埃爾·德·費馬(1601–1665)沒有著作出版,他在數論上的貢獻幾乎都在他寫給其他數學家的信上,以及書旁的空白處[4]。費馬的貢獻幾乎沒有數論上的證明[5],不過費馬重覆的使用數學歸納法,並引入無窮遞降法

費馬最早的興趣是在完全數相親數,因此開始研究整數因數,這也開始1636年之後的數學研究,也接觸到當時的數學社群[6]。他已在1643年研讀過巴歇英語Claude Gaspard Bachet de Méziriac版本的丟番圖著作,他的興趣開始轉向丟番圖方程和平方數的和[7]

費馬在數論上的貢獻有:

,若a不是質數p的倍數,則\scriptstyle a^{p-1} \equiv 1 \pmod p.

  • ab互質,則\scriptstyle a^2 + b^2無法被任何除4後同餘-1的質數整除[9],而且每個除4後同餘1的質數都可以表示為\scriptstyle a^2 + b^2.[10],這二個是在1640年證明的,在1649年他在寫給惠更斯的信上提到他用無窮遞降法證明的第二個問題[11],費馬和福蘭尼可英語Frenicle在其他平方形式上也有一些貢獻,不過其中有些錯誤及不嚴謹之處[12]
  • 費馬向英國的數學家提出了求解\scriptstyle x^2 - N y^2 = 1的挑戰(1657年),但在幾個月後就由Wallis及Brouncker證明[13]。費馬認為他們的證明有效,但用了一個在其中未經證明的演算法,費馬自己是由無窮遞降法找到證明。
  • 費馬發展了許多找虧格0或1曲線上點的方法,作法類似丟番圖,有許多特殊的步驟,使用了切線法構建曲線,而不是用割線法[14]
  • 費馬證明了\scriptstyle x^{4} + y^{4} = z^{4}不存在非尋常的正整數解。

費馬在1637年聲稱(費馬最後定理)證明了對於大於2的任意整數\scriptstyle n,不存在 \scriptstyle x^n + y^n = z^n的非尋常的正整數解(目前已知唯一的解是由數學家安德魯·懷爾斯及其學生理查·泰勒證明,遠遠的超過他的時代),但只在一本丟番圖著作的旁邊寫到,而且他沒有向別人宣稱他已有了證明[15]

歐拉[編輯]

歐拉

歐拉(1707–1783)對數論的興趣最早是由他的朋友哥德巴赫所引發,讓他開始專注在費馬的一些研究上[16][17],在費馬沒有使當代的數學家注意此一主題後,歐拉的出現稱為「現代數論的重生」[18]。歐拉數論的貢獻包括以下幾項[19]

  • 費馬研究的證明,包括費馬小定理(歐拉延伸到非質數的模數),以及\scriptstyle p = x^2 + y^2若且唯若\scriptstyle p\equiv 1\; mod\; 4,這項研究可推導到所有整數都可以表示為四個平方數的證明(第一個完整證明是由約瑟夫·拉格朗日提出,費馬很快的也提出證明),和\scriptstyle x^4 + y^4 = z^2沒有非零整數解的證明,表示為費馬最後定理n=4時成立,歐拉用類似方式證明了n=3的情形。
  • 佩爾方程,最早誤以為是歐拉證明[20],歐拉也寫了連分數和佩爾方程的關係[21]
  • 二次式,繼費馬之後,歐拉繼續研究哪些質數可以表示為\scriptstyle x^2 + N y^2,其中有些顯示二次互反律的性質[22] [23][24]
  • 丟番圖方程:歐拉研究一些虧格為0或1的丟番圖方程[25][26],特別的是他研讀丟番圖的著作,試圖要找到系統化的方法,但時機尚不成熟,幾何數論才剛形成而已[27]。歐拉有注意到丟番圖方程和橢圓積分之間的關係[27]

分支[編輯]

初等數論
意指使用不超過高中程度的初等代數處理的數論問題,最主要的工具包括整數的整除性與同餘。重要的結論包括中國餘數定理費馬小定理二次互反律等等。
解析數論
藉助微積分複分析的技術來研究關於整數的問題[28],主要又可以分為積性數論英語Multiplicative number theory加性數論英語Additive number theory兩類。積性數論藉由研究積性生成函數的性質來探討質數分佈的問題,其中質數定理狄利克雷定理為這個領域中最著名的古典成果。加性數論則是研究整數的加法分解之可能性與表示的問題,華林問題是該領域最著名的課題。此外例如篩法圓法等等都是屬於這個範疇的重要議題。
代數數論
引申代數數的話題,關於代數整數的研究,主要的研究目標是為了更一般地解決不定方程的問題,而為了達到此目的,這個領域與代數幾何之間有相當關聯,比如類域論(class field theory)就是此間的顛峰之作。
算術代數幾何
研究有理係數多變數方程組的有理點,其結構(主要是個數)和該方程組對應的代數簇的幾何性質之間的關係,有名的費馬最後定理、莫德爾猜想(法爾廷斯定理英語Faltings' theorem)、Weil猜想英語Weil conjectures,和千禧年大獎難題中的貝赫和斯維訥通-戴爾猜想都屬此類。
幾何數論
主要在於透過幾何觀點研究整數(在此即格子點)的分佈情形。最著名的定理為閔可夫斯基定理
計算數論英語Computational number theory
藉助電腦的演算法幫助數論的問題,例如素數測試和因數分解等和密碼學息息相關的話題。
超越數論
研究數的超越性,其中對於歐拉常數與特定的黎曼ζ函數值之研究尤其令人感到興趣。
組合數論
利用組合和機率的技巧,非構造性地證明某些無法用初等方式處理的複雜結論。這是由保羅·埃爾德什開創的思路。
模形式
數學上一個滿足一些泛函方程與增長條件、在上半平面上的(複)解析函數

應用[編輯]

參考資料[編輯]

  1. ^ Heath, Thomas L. A History of Greek Mathematics, Volume 1: From Thales to Euclid. Oxford: Clarendon Press. 1921: p.13. 
  2. ^ Apostol, Tom M. An introduction to the theory of numbers. (Review of Hardy & Wright.) Mathematical Reviews (MathSciNet) MR0568909. American Mathematical Society. n.d. 
  3. ^ The Queen of Mathematics
  4. ^ Weil 1984, pp. 45–46.
  5. ^ Weil 1984,第118頁,數論比其他數學領域容易出現這様的情形(說明在 Mahoney 1994,第284頁)
  6. ^ Mahoney 1994,第48, 53–54頁
  7. ^ Weil 1984, p. 53.
  8. ^ Tannery & Henry 1891,Vol. II, p. 209, Letter XLVI from Fermat to Frenicle, 1640, cited in Weil 1984,第56頁
  9. ^ Tannery & Henry 1891,Vol. II, p. 204, cited in Weil 1984,第63頁
  10. ^ Tannery & Henry 1891,Vol. II, p. 213.
  11. ^ Tannery & Henry 1891,Vol. II, p. 423.
  12. ^ Weil 1984, pp. 80, 91–92.
  13. ^ Weil 1984, p. 92.
  14. ^ Weil 1984,Ch. II, sect. XV and XVI.
  15. ^ Weil 1984, p. 104.
  16. ^ Weil 1984, pp. 2, 172.
  17. ^ Varadarajan 2006, p. 9.
  18. ^ Weil 1984,第2頁 and Varadarajan 2006,第37頁
  19. ^ Varadarajan 2006,第39頁 and Weil 1984,第176–189頁
  20. ^ Weil 1984,第174頁
  21. ^ Weil 1984, p. 183.
  22. ^ Varadarajan 2006, pp. 44–47.
  23. ^ Weil 1984, pp. 177–179.
  24. ^ Edwards 1983, pp. 285–291.
  25. ^ Varadarajan 2006, pp. 55–56.
  26. ^ Weil 1984, pp. 179–181.
  27. ^ 27.0 27.1 Weil 1984, p. 181.
  28. ^ Apostol, Tom M., Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001 

參考書目[編輯]

外部連結[編輯]