數論

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數論純粹數學的分支之一,主要研究整數的性質。被譽為「最純」的數學領域。

正整數按乘法性質劃分,可以分成質數合數1,質數產生了很多一般人也能理解而又懸而未解的問題,如哥德巴赫猜想孿生質數猜想等,即。很多問題雖然形式上十分初等,事實上卻要用到許多艱深的數學知識。這一領域的研究從某種意義上推動了數學的發展,催生了大量的新思想和新方法。數論除了研究整數及質數外,也研究一些由整數衍生的數(如有理數)或是一些廣義的整數(如代數整數)。

整數可以是方程式的解(丟番圖方程)。有些解析函數(像黎曼ζ函數)中包括了一些整數、質數的性質,透過這些函數也可以了解一些數論的問題。透過數論也可以建立實數和有理數之間的關係,並且用有理數來逼近實數(丟番圖逼近)。

數論早期稱為算術。到20世紀初,才開始使用數論的名稱[1],而算術一詞則表示「基本運算」,不過在20世紀的後半,有部份數學家仍會用「算術」一詞來表示數論。1952年時數學家Harold Davenport仍用「高等算術」一詞來表示數論,戈弗雷·哈羅德·哈代愛德華·梅特蘭·賴特在1938年寫《數論介紹》簡介時曾提到「我們曾考慮過將書名改為《算術介紹》,某方面而言是更合適的書名,但也容易讓讀者誤會其中的內容」[2]

卡爾·弗里德里希·高斯曾說:「數學是科學的皇后,數論是數學的皇后。」

數論初期的鋪墊工作[編輯]

數論早期鋪墊有三大內容:

  1. 歐幾里得證明素數無窮多個。
  2. 尋找素數的埃拉托斯特尼篩法;歐幾里得求最大公約數的輾轉相除法
  3. 公元420至589年(中國南北朝時期)的孫子定理

以上工作成為現代數論的基本框架。

數論中期工作[編輯]

數論中期主要指15-16世紀到19世紀,是由費馬梅森歐拉高斯勒讓德黎曼希爾伯特等人發展的。像費馬費馬小定理提到,若a不是質數p的倍數,則\scriptstyle a^{p-1} \equiv 1 \pmod p.,而費馬最後定理在1637年提出,在三百多年後的1995年才由數學家安德魯·懷爾斯及其學生理查·泰勒證明。

在數論中期時,數論開始由初等數論向解析數論代數數論轉變。像歐拉研究整數分拆五邊形數定理,都是解析數論的課題。而千禧年大獎難題中的黎曼猜想也是和解析數論有關的猜想。

分支[編輯]

初等數論
意指使用不超過高中程度的初等代數處理的數論問題,最主要的工具包括整數的整除性與同餘。重要的結論包括中國餘數定理費馬小定理二次互反律等等。
解析數論
藉助微積分複分析的技術來研究關於整數的問題,主要又可以分為積性數論加性數論兩類。積性數論藉由研究積性生成函數的性質來探討質數分佈的問題,其中質數定理狄利克雷定理為這個領域中最著名的古典成果。加性數論則是研究整數的加法分解之可能性與表示的問題,華林問題是該領域最著名的課題。此外例如篩法圓法等等都是屬於這個範疇的重要議題。
代數數論
引申代數數的話題,關於代數整數的研究,主要的研究目標是為了更一般地解決不定方程的問題,而為了達到此目的,這個領域與代數幾何之間有相當關聯,比如類域論(class field theory)就是此間的顛峰之作。
算術代數幾何
研究有理係數多變數方程組的有理點,其結構(主要是個數)和該方程組對應的代數簇的幾何性質之間的關係,有名的費馬最後定理莫德爾猜想Weil猜想,和千禧年大獎難題中的貝赫和斯維訥通-戴爾猜想都屬此類。
幾何數論
主要在於透過幾何觀點研究整數(在此即格子點)的分佈情形。最著名的定理為閔可夫斯基定理
計算數論英語Computational number theory
藉助電腦的演算法幫助數論的問題,例如素數測試和因數分解等和密碼學息息相關的話題。
超越數論
研究數的超越性,其中對於歐拉常數與特定的黎曼ζ函數值之研究尤其令人感到興趣。
組合數論
利用組合和機率的技巧,非構造性地證明某些無法用初等方式處理的複雜結論。這是由保羅·埃爾德什開創的思路。
模形式

應用[編輯]

參考資料[編輯]

  1. ^ Heath, Thomas L. A History of Greek Mathematics, Volume 1: From Thales to Euclid. Oxford: Clarendon Press. 1921: p.13. 
  2. ^ Apostol, Tom M. An introduction to the theory of numbers. (Review of Hardy & Wright.) Mathematical Reviews (MathSciNet) MR0568909. American Mathematical Society. n.d. 

外部連結[編輯]