文氏圖

維基百科,自由的百科全書
前往: 導覽搜尋
集合A, B和C的文氏圖

文氏圖Venn[1]),或譯溫氏圖維恩圖范氏圖,是在所謂的集合論(或者類的理論)數學分支中,在不太嚴格的意義下用以表示集合(或)的一種草圖。它們用於展示在不同的事物群組(集合)之間的數學邏輯聯繫,尤其適合用來表示集合(或)類之間的「大致關係」,它也常常被用來幫助推導(或理解推導過程)關於集合運算(或類運算)的一些規律。

起源[編輯]

劍橋大學岡維爾與凱斯學院餐廳的彩色玻璃窗

約翰·維恩是19世紀英國哲學家數學家,他在1881年發明了文氏圖。

例子[編輯]

在文氏圖法中,如果有論域,則以一個矩形框(的內部區域)表示論域;各個集合(或類)就以圓/橢圓(的內部區域)來表示。兩個圓/橢圓相交,其相交部分表示兩個集合(或類)的公共元素,兩個圓/橢圓不相交(相離或相切,而實際上在文氏圖中相切是沒有什麼意義的,因為文氏圖是以圖形的內部區域來表示的)則說明這兩個集合(或類)沒有公共元素。

集合A和B

比如黃色的圓圈(集合A)可以表示兩足的所有活物。藍色的圓圈(集合B)可以表示會飛的所有活物。黃色和藍色的圓圈交疊的區域(叫做交集)包含會飛兩足的所有活物──比如鸚鵡。(把每個單獨的活物類型想像為在這個圖中的某個)。

人和企鵝會在橙色圓圈中不與藍色圓圈交疊的部分中。蚊子有六足並且會飛,所以蚊子的點可以在藍色圓圈中不與橙色圓圈交疊的部分中。不是兩足並且不會飛的東西(比如鯨和響尾蛇)可以表示為在這兩個圓圈之外的點。在技術上,上面的文氏圖可以解釋為"集合A和集合B之間的聯繫,它們可以有一些(但不是全部)的元素是公共的"。

集合AB的組合區域叫做集合AB並集。在這個個例中並集包含要麼兩足、要麼會飛、要麼兩足並且會飛的所有東西。圓圈交疊暗示著兩個集合的交集非空──就是說在事實上活物同時在黃色和藍色圓圈中。

文氏圖與其它的圖示法一樣,它不能準確表示一個集合(或類)中到底有哪些元素。

類似的圖[編輯]

歐拉圖可能在外觀上同文氏圖是一致的。它們之間的區別只在於它們的應用領域中,就是說在被分割的全集的類型中。歐拉圖展示對象的特定集合,文氏圖的概念更一般的適用於可能的聯繫。文氏圖和歐拉圖沒有合併的原因可能是,歐拉的版本是早在100多年前就出現了的,歐拉已經有了足夠多的成就了,而Venn只留下了這麼一個圖。

在歐拉圖和文氏圖之間的區別只是在想法上,歐拉圖要展示特定集合之間的聯繫,而文氏圖要包含所有可能的組合。下面是歐拉圖的一個例子:

集合A, B和C

在這個例子中,一個集合完全在另一個集合內部。我們說集合A是在世界中能找到的所有的不同類型的乳酪,集合B是在世界中能找到的所有食物。從這個圖中,你可以看出所有乳酪都是食物,但是不是所有食物都是乳酪。進一步的說,集合C(比如說金屬造物)與集合B沒有公共元素(集合的成員),從此我們可以在邏輯上斷言沒有乳酪是金屬造物(或者反過來說)。在形式上,上述的圖可以在數學上解釋為"集合A是集合B的真子集,而集合C和集合B沒有公共元素"。

或解釋為一個三段論

  • 所有As是Bs
  • 沒有Cs是Bs
  • 所以,沒有Cs是As
  • 所以,沒有As是Cs。

擴展到更多個集合[編輯]

Venn的四集合文氏圖
Venn的五集合文氏圖
Venn的使用橢圓的四集合文氏圖

歷來有許多把文氏圖推廣到多個集合的嘗試。Venn使用橢圓達到了四個集合但從未滿意他的五集合解法。在一個世紀之後,才找到了一種能滿足Venn關於對稱性的非正式要求。這是A. W. F. Edwards在設計彩色玻璃窗以緬懷Venn的時候,所得出的『齒輪』方法:[2]

Edwards的三集合文氏圖
Edwards的四集合文氏圖
Edwards的五集合文氏圖
Edwards的六集合文氏圖

在大眾文化中[編輯]

在美國電視劇生活大爆炸(The Big Bang Theory)S1E14中, Leonard不小心買下了巨型時光機,他納悶道:誰會用800元就賣出一台全尺寸的時間機器?Sheldon回答:在文氏圖中,那是位於"不想再要時間機器"和"需要800元"兩個集合的交接區域。

參見[編輯]

參考文獻[編輯]

  1. ^ 人民教育出版社課程教材研究所 中學數學課程教材研究開發中心. 普通高中課程標準實驗教科書 數學1 必修. 北京: 人民教育出版社. 2007: 6. ISBN 9787107177057. 
  2. ^ Ian Stewart Another Fine Math You've Got Me Into 1992 ch4

外部連結[編輯]