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斯托克斯定理

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微積分學
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函數 · 導數 · 微分 · 積分

斯托克斯定理英文Stokes' theorem)是微分幾何中關於微分形式積分的一個命題,它一般化了向量微積分的幾個定理,以斯托克斯爵士命名。

ℝ³ 上的斯托克斯公式[編輯]

S 是 分片光滑的有向曲面,S 的邊界為有向閉曲線Γ ,即\Gamma=\partial S,且Γ 的正向與 S 的側符合右手規則: 函數P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)都是定義在「曲面 S連同其邊界 Γ」上且都具有一階連續偏導數的函數,則有[1]

\iint_{S}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dydz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)dzdx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy
=\oint_{\Gamma}Pdx+Qdy+Rdz
旋度定理可以用來計算穿過具有邊界的曲面,例如,任何右邊的曲面;旋度定理不可以用來計算穿過閉曲面的通量,例如,任何左邊的曲面。在這圖內,曲面以藍色顯示,邊界以紅色顯示。

這個公式叫做 ℝ³ 上的斯托克斯公式克耳文-斯托克斯定理旋度定理。這和函數的旋度有關,用梯度算符可寫成:[2]

 \int_{S} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}

它將ℝ³ 空間上「向量場旋度的曲面積分」跟「向量場在曲面邊界上的線積分」之間建立聯繫,這是一般的斯托克斯公式(在 n=2 時)的特例,我們只需用ℝ³ 空間上的度量把向量場看作等價的1形式。該定理的第一個已知的書面形式由威廉·湯姆森(克耳文勛爵)給出,出現在他給斯托克斯的信中。

類似的,高斯散度定理

\int_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \; dV = \int_{\partial V} \mathbf{F} \cdot dS

也是一般的斯托克斯公式的一個特例,如果我們把向量場看成是等價的n-1形式,可以通過和體積形式的內積實現。 微積分基本定理格林定理也是一般性斯托克斯定理的特例。使用微分形式的一般化斯托克斯定理當然比其特例更強,雖然後者更直觀而且經常被使用它的科學工作者或工程師認為更方便。

另一種形式[編輯]

通過以下公式可以在對坐標的「曲線積分」和對面積的「面積積分」之間相互轉換:

\iint_{\Sigma}\begin{vmatrix} \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}dS=\oint_{\Gamma}Pdx+Qdy+Rdz

流形上的斯托克斯公式[編輯]

令 M 為一個可定向分段光滑 n 維流形,令 ω 為 M 上的 n−1 階 C1 類緊支撐微分形式。如果 M 表示 M 的邊界,並以 M 的方向誘導的方向為邊界的方向,則

\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega (= \oint_{\partial M} \omega).\!\,

這裡  是 ω 的外微分, 只用流形的結構定義。這個公式被稱為一般的斯托克斯公式generalized Stokes' formula),它被認為是微積分基本定理格林公式高-奧公式ℝ³ 上的斯托克斯公式的推廣;後者實際上是前者的簡單推論。

該定理經常用於 M 是嵌入到某個定義了 ω 的更大的流形中的子流形的情形。

定理可以簡單的推廣到分段光滑的子流形的線性組合上。斯托克斯定理表明相差一個恰當形式的閉形式在相差一個邊界的鏈上的積分相同。這就是同調群德拉姆餘調可以配對的基礎。

應用[編輯]

斯托克斯公式是格林公式的推廣。

利用斯托克斯公式可計算曲線積分


參考文獻[編輯]

  1. ^ 同濟大學數學系 編. 高等數學(第六版)(下冊). 北京: 高等教育出版社, 2007
  2. ^ 謝樹藝編. 高等學校教材•工程數學:矢量分析與場論(第3版). 北京: 高等教育出版社, 2005