曲率

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微積分學
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函數 · 導數 · 微分 · 積分

曲率,符號以κ表示,是幾何體不平坦程度的一種衡量。平坦對不同的幾何體有不同的意義。

曲率半徑,符號以ρ表示,是曲率的導數,單位為

平面曲線的曲率[編輯]

曲線 C 在 P 點的密切圓和曲率半徑

對於平面曲線 C,在一點P的曲率大小等於密切圓英語Osculating circle半徑的倒數,它是一個指向該圓圓心的向量。其大小可用屈光度(dioptre)衡量,1屈光度等於1(弧度)每米。此密切圓的半徑即為曲率半徑

密切圓的半徑越小,曲率越大;所以曲線接近平直的時候,曲率接近0,而當曲線急速轉彎時,曲率很大。

直線曲率處處為0;半徑為r的圓曲率處處為1/r

局部表達式[編輯]

若曲線  y = f(x)\, 其曲率為

\kappa= \frac{|f''(x)|}{(1+f'^2(x))^{3/2}}

對於一個以參數化形式給出的平面曲線c(t) = (x(t),y(t))\, 其曲率為

\kappa= \frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{(x'^2(t)+y'^2(t))^{3/2}}

對於隱式給出的平面曲線f(x,y)=0\, 其曲率為

\kappa=
\nabla\cdot\left(\frac{\nabla f}{\|\nabla f\|}\right)

也就是,f\,梯度的方向的散度。 最後的公式也給出了在歐幾里得空間中的超曲面平均曲率(可以差一個常數)。

空間曲線的曲率[編輯]

對於一個以參數化形式給出的空間曲線c(t)=(x(t),y(t),z(t))\,其曲率為

\kappa=\frac{\sqrt{(z''(t)y'(t)-y''(t)z'(t))^2+(x''(t)z'(t)-z''(t)x'(t))^2+(y''(t)x'(t)-x''(t)y'(t))^2}}{(x'^2(t)+y'^2(t)+z'^2(t))^{3/2}}

三維空間中的曲面曲率[編輯]

對於嵌入在歐幾里得空間R3中的二維曲面,有兩種曲率存在:高斯曲率平均曲率。為計算在曲面給定點的曲率,考慮曲面和由在該點的法向量和某一切向量所確定的平面的交集。這個交集是一個平面曲線,所以有一個曲率;如果選擇其它切向量,這個曲率會改變,並且有兩個極值-最大和最小曲率,稱為主曲率 k1k2,極值方向稱為主方向。這裡我們採用在曲線向和曲面選定法向的相同方向繞轉的時候把曲率置為正數,否則為負的約定。

高斯曲率,以高斯命名,等於主曲率的乘積,k1k2. 它的單位為1/長度2,對於橢球、雙葉雙曲面的一葉、橢圓拋物面為正,對於偽球面、 單葉雙曲面雙曲拋物面為負,對平面圓柱面為0。它決定了曲面局部(正的時候)還是局部鞍點(負的時候)。

高斯曲率的以上定義是外在的,因為它用了曲面在 R3中的嵌入,法向量,外部平面等等。但是高斯曲率實際上是曲面的內在屬性,也就是它不依賴於曲面的特定嵌入;直觀的講,這意味著活在曲面上的螞蟻可以確定高斯曲率。形式化的,高斯曲率只依賴於曲面的黎曼度量。這就是高斯著名的絕妙定理,在他在研究地理測繪和地圖製作時發現。

高斯曲率在一點P的內在定義的一種:想像一直用一條長為r的短線綁在P。她在線拉直的時候繞P點跑並測量繞P點的一圈的周長C(r)。如果曲面是平的,她會發現 C(r) = 2πr。在彎曲的曲面上,C(r)的公式不同,P點的高斯曲率 K可以這樣計算:


K  = \lim_{r \rarr 0} (2 \pi r  - \mbox{C}(r)) \cdot \frac{3}{\pi r^3}.

高斯曲率在整個曲面上的積分和曲面的歐拉示性數有密切關聯;參見高斯-博內定理

平均曲率等於主曲率的和,k1+k2,除以 2。其單位為1/長度。平均曲率和曲面面積的第一變分密切相關,特別的,像肥皂膜這樣的最小曲面平均曲率為0,而肥皂泡平均曲率為常數。不像高斯曲率,平均曲率依賴於嵌入,例如,一個圓柱和一個平面是局部等距的,但是平面的平均曲率為0,而圓柱的非零。

空間的曲率[編輯]

宇宙學上,需要考慮"空間的曲率",就是相應的偽黎曼流形的曲率,見黎曼流形的曲率

沒有曲率的空間稱為平坦空間歐幾里得空間。另見宇宙的形狀

參考[編輯]