最大似然估計

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最大似然估計,也稱為最大概似估計,是一種統計方法,它用來求一個樣本集的相關機率密度函數的參數。這個方法最早是遺傳學家以及統計學家羅納德·費雪爵士在1912年至1922年間開始使用的。

預備知識[編輯]

下邊的討論要求讀者熟悉機率論中的基本定義,如機率分布機率密度函數隨機變數數學期望等。同時,還要求讀者熟悉連續實函數的基本技巧,比如使用微分來求一個函數的極值(即極大值極小值)。

最大似然估計的原理[編輯]

給定一個機率分布D,假定其機率密度函數(連續分布)或機率質量函數(離散分布)為f_D,以及一個分布參數\theta,我們可以從這個分布中抽出一個具有n個值的採樣X_1, X_2,\ldots, X_n,通過利用f_D,我們就能計算出其機率:

\mathbb{P}(x_1,x_2,\dots,x_n) = f_D(x_1,\dots,x_n \mid \theta)

但是,我們可能不知道\theta的值,儘管我們知道這些採樣數據來自於分布D。那麼我們如何才能估計出\theta呢?一個自然的想法是從這個分布中抽出一個具有n個值的採樣X_1, X_2, ..., X_n,然後用這些採樣數據來估計\theta.

一旦我們獲得X_1, X_2,\ldots, X_n,我們就能從中找到一個關於\theta的估計。最大似然估計會尋找關於\theta的最可能的值(即,在所有可能的\theta取值中,尋找一個值使這個採樣的「可能性」最大化)。這種方法正好同一些其他的估計方法不同,如\theta非偏估計,非偏估計未必會輸出一個最可能的值,而是會輸出一個既不高估也不低估的\theta值。

要在數學上實現最大似然估計法,我們首先要定義似然函數:

\mbox{lik}(\theta) = f_D(x_1,\dots,x_n \mid \theta)

並且在\theta的所有取值上,使這個函數最大化(一階導數)。這個使可能性最大的\widehat{\theta}值即被稱為\theta最大似然估計

注意[編輯]

  • 這裡的似然函數是指x_1,x_2,\ldots,x_n不變時,關於\theta的一個函數。
  • 最大似然估計函數不一定是惟一的,甚至不一定存在。

例子[編輯]

離散分布,離散有限參數空間[編輯]

考慮一個拋硬幣的例子。假設這個硬幣正面跟反面輕重不同。我們把這個硬幣拋80次(即,我們獲取一個採樣x_1=\mbox{H}, x_2=\mbox{T}, \ldots, x_{80}=\mbox{T}並把正面的次數記下來,正面記為H,反面記為T)。並把拋出一個正面的機率記為p,拋出一個反面的機率記為1-p(因此,這裡的p即相當於上邊的\theta)。假設我們拋出了49個正面,31個反面,即49次H,31次T。假設這個硬幣是我們從一個裝了三個硬幣的盒子裡頭取出的。這三個硬幣拋出正面的機率分別為p=1/3, p=1/2, p=2/3.這些硬幣沒有標記,所以我們無法知道哪個是哪個。使用最大似然估計,通過這些試驗數據(即採樣數據),我們可以計算出哪個硬幣的可能性最大。這個似然函數取以下三個值中的一個:

\begin{matrix}
\mathbb{P}(\mbox{H=49, T=31 }\mid p=1/3) & = & \binom{80}{49}(1/3)^{49}(1-1/3)^{31} \approx 0.000 \\
&&\\
\mathbb{P}(\mbox{H=49, T=31 }\mid p=1/2) & = & \binom{80}{49}(1/2)^{49}(1-1/2)^{31} \approx 0.012 \\
&&\\
\mathbb{P}(\mbox{H=49, T=31 }\mid p=2/3) & = & \binom{80}{49}(2/3)^{49}(1-2/3)^{31} \approx 0.054 \\
\end{matrix}

我們可以看到當\widehat{p}=2/3時,似然函數取得最大值。這就是p的最大似然估計。

離散分布,連續參數空間[編輯]

現在假設例子1中的盒子中有無數個硬幣,對於0\leq p \leq 1中的任何一個p, 都有一個拋出正面機率為p的硬幣對應,我們來求其似然函數的最大值:

\begin{matrix}
\mbox{lik}(\theta) & = & f_D(\mbox{H=49,T=80-49}\mid p) = \binom{80}{49} p^{49}(1-p)^{31} \\
\end{matrix}

其中0\leq p \leq 1. 我們可以使用微分法來求最值。方程兩邊同時對p微分,並使其為零。

\begin{matrix}
0 & = & \frac{d}{dp} \left( \binom{80}{49} p^{49}(1-p)^{31} \right) \\
  &   & \\
  & \propto & 49p^{48}(1-p)^{31} - 31p^{49}(1-p)^{30} \\
  &   & \\
  & = & p^{48}(1-p)^{30}\left[ 49(1-p) - 31p \right] \\
\end{matrix}
在不同比例參數值下一個二項式過程的可能性曲線t = 3, n = 10;其最大似然估計值發生在其眾數並在曲線的最大值處。

其解為p=0, p=1,以及p=49/80.使可能性最大的解顯然是p=49/80(因為p=0p=1這兩個解會使可能性為零)。因此我們說最大似然估計值\widehat{p}=49/80.

這個結果很容易一般化。只需要用一個字母t代替49用以表達伯努利試驗中的被觀察數據(即樣本)的「成功」次數,用另一個字母n代表伯努利試驗的次數即可。使用完全同樣的方法即可以得到最大似然估計值:

\widehat{p}=\frac{t}{n}

對於任何成功次數為t,試驗總數為n的伯努利試驗。

連續分布,連續參數空間[編輯]

最常見的連續機率分布常態分佈,其機率密度函數如下:

f(x\mid \mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

現在有n個正態隨機變數的採樣點,要求的是一個這樣的常態分佈,這些採樣點分布到這個常態分佈可能性最大(也就是機率密度積最大,每個點更靠近中心點),其n個正態隨機變數的採樣的對應密度函數(假設其獨立並服從同一分布)為:

f(x_1,\ldots,x_n \mid \mu,\sigma^2) = \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^\frac{n}{2} e^{-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}

或:

f(x_1,\ldots,x_n \mid \mu,\sigma^2) = \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^{n/2} \exp\left(-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),

這個分布有兩個參數:\mu,\sigma^2.有人可能會擔心兩個參數與上邊的討論的例子不同,上邊的例子都只是在一個參數上對可能性進行最大化。實際上,在兩個參數上的求最大值的方法也差不多:只需要分別把可能性\mbox{lik}(\mu,\sigma) = f(x_1,,\ldots,x_n \mid \mu, \sigma^2)在兩個參數上最大化即可。當然這比一個參數麻煩一些,但是一點也不複雜。使用上邊例子同樣的符號,我們有\theta=(\mu,\sigma^2).

最大化一個似然函數同最大化它的自然對數是等價的。因為自然對數log是一個連續且在似然函數的值域嚴格遞增的上凸函數。[注意:可能性函數(似然函數)的自然對數跟信息熵以及Fisher信息聯繫緊密。]求對數通常能夠一定程度上簡化運算,比如在這個例子中可以看到:

\begin{matrix}
0 & = & \frac{\partial}{\partial \mu} \log \left( \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^\frac{n}{2} e^{-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}} \right) \\
  & = & \frac{\partial}{\partial \mu} \left( \log\left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^\frac{n}{2} - \frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) \\
  & = & 0 - \frac{-2n(\bar{x}-\mu)}{2\sigma^2} \\
\end{matrix}

這個方程的解是\widehat{\mu} = \bar{x} = \sum^{n}_{i=1}x_i/n .這的確是這個函數的最大值,因為它是\mu裡頭惟一的一階導數等於零的點並且二階導數嚴格小於零。

同理,我們對\sigma求導,並使其為零。

\begin{matrix}
0 & = & \frac{\partial}{\partial \sigma} \log \left( \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^\frac{n}{2} e^{-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}} \right) \\
  & = & \frac{\partial}{\partial \sigma} \left( \frac{n}{2}\log\left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right) - \frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) \\
  & = & -\frac{n}{\sigma} + \frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{\sigma^3}
\\
\end{matrix}

這個方程的解是\widehat{\sigma}^2 = \sum_{i=1}^n(x_i-\widehat{\mu})^2/n.

因此,其關於\theta=(\mu,\sigma^2)最大似然估計為:

\widehat{\theta}=(\widehat{\mu},\widehat{\sigma}^2) = (\bar{x},\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2/n).

性質[編輯]

泛函不變性(Functional invariance)[編輯]

如果\widehat{\theta}\theta的一個最大似然估計,那麼\alpha = g(\theta)的最大似然估計是\widehat{\alpha} = g(\widehat{\theta}).函數g無需是一個一一映射。請參見George Casella與Roger L. Berger所著的Statistical Inference定理Theorem 7.2.10的證明。(中國大陸出版的大部分教材上也可以找到這個證明。)

漸近線行為[編輯]

最大似然估計函數在採樣樣本總數趨於無窮的時候達到最小方差(其證明可見於Cramer-Rao lower bound)。當最大似然估計非偏時,等價的,在極限的情況下我們可以稱其有最小的均方差。 對於獨立的觀察來說,最大似然估計函數經常趨於常態分佈

偏差[編輯]

最大似然估計的偏差是非常重要的。考慮這樣一個例子,標有1nn張票放在一個盒子中。從盒子中隨機抽取票。如果n是未知的話,那麼n的最大似然估計值就是抽出的票上標有的n,儘管其期望值的只有(n+1)/2.為了估計出最高的n值,我們能確定的只能是n值不小於抽出來的票上的值。

參見[編輯]

  • 關於Rao-Blackwell定理(Rao-Blackwell theorem)的文章裡頭討論到如何利用Rao-Blackwellisation過程尋找最佳非偏估計(即使均方差最小)的方法。而最大似然估計通常是一個好的起點。
  • 讀者可能會對最大似然估計(如果存在)總是一個關於參數的充分統計(sufficient statistic)的函數感興趣。

外部資源[編輯]